Algebra lineal: conceptos básicos

Este pequeño tutorial da algunos términos clave de álgebra lineal, no pretende remplazar o ser muy provechoso como en aquellos que usted pretende ganar una profundidad en álgebra lineal. En cambio esto es una pequeña introducción a algunos términos e ideas de álgebra lineal para darnos un pequeño repaso para aquellos que tratan de tener un mejor entendimiento o de aprender sobre eigenvectores (vectores propios) y eigenfunciones (funciones propias), que juegan un papel muy importante en la obtención de ideas importantes en Señales y Sistemas. La meta de estos conceptos es de proveer un respaldo para la descomposición de señales y para conducirnos a la derivación de las Series de Fourier .

Independencia lineal

Un conjunto de vectores $\forall x, x_i\in \mathbb{C}^n\colon \{x_1, x_2, \dots , x_k\}()$ es linealmente independiente si ninguno de los vectores puede escribirse como una combinación lineal de los otros.

1 Linealmente Independiente

Un conjunto dado de vectores $\{x_1, x_2, \dots , x_n\}()$ , es linealmente independiente si $$c_1{x}_1+c_2{x}_2+\dots +c_n{x}_n=0$$ solo cuando $c_1=c_2=\dots =c_n=0$

Como podemos ver en los dos ejemplos anteriores, a veces la independencia de vectores puede ser vista fácilmente a través de una gráfica. Sin embargo esto no es tan sencillo, cuando se nos dan tres o más vectores. Puede decir fácilmente cuando o no estos vectores son independientes . Probablemente no, esto es, por lo cual el método usado en la solución anterior se vuelve importante.

Subespacio generado

Subespacio Generado

El subespacio generado o span del conjuto de vectores $\{x_1, x_2, \dots , x_k\}()$ es el conjunto de vectores que pueden ser escritos como una combinación lineal de $\{x_1, x_2, \dots , x_k\}()$ $$\mathrm{subespacio\; generado}(\{x_1, \dots , x_k\}())=\{\forall \alpha , {\alpha }_i\in \mathbb{C}^n\colon {\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\dots +{\alpha }_k{x}_k\}()$$

Bases

Base

Una base para $\mathbb{C}^n$ es un conjunto de vectores que: (1) generan $\mathbb{C}^n$ y (2) es linealmente independiente.

Si $\{b_1, \dots , b_2\}()$ es una base para $\mathbb{C}^n$ , entonces podemos expresar cualquier $x\in \mathbb{C}^n$ como una combinación lineal de $b_i$ 's: $$\forall \alpha , {\alpha }_i\in \mathbb{C}\colon x={\alpha }_1{b}_1+{\alpha }_2{b}_2+\dots +{\alpha }_n{b}_n$$

En los dos ejemplos de bases anteriores, $x$ es el mismo vector en ambos casos, pero podemos expresarlo de varias diferentes maneras (dimos solo dos de las muchas posibilidades). Se puede extender aun más la idea de bases para espacio de funciones .