| << Chapter < Page | Chapter >> Page > |
En este modulo veremos algunas de las propiedades básicas de la Transformada de Fourier de Tiempo-Continuo (CTFT). La primera sección contiene una tabla que ilustra las propiedades, y la siguiente sección discute unas de las propiedades mas interesantes más a fondo. En la tabl, oprima en el nombre de la operación para ver la explicación se se encuentra más adelante. Véase este modulo para una tabla expandida de las propiedades de Fourier.
| Nombre de la Operación | Señal ( ) | Transformada ( ) |
|---|---|---|
| Adición | ||
| Multiplicación Escalar | ||
| Simetría | ||
| Escalamiento en el Tiempo | ||
| Desplazamiento en el Tiempo | ||
| Modulación (Desplazamiento de Frecuencias) | ||
| Convolución en el Tiempo | ||
| Convolución en la Frecuencia | ||
| Diferenciación |
Después de haber visto la tabla anterior y tener un sentimiento de las proiedades de la CTFT, ahora nos tomaremos un poc más de tiempo para discutir de las propiedades más importantes yútiles.
La combinación de las propiedades de la adición y de la multiplicación escalar de la tabla anterior demuestran la propiedad básica de linealidada. Lo que debe de ver es que si uno toma la Transformada de Fourier de una combinación lineal de señales entonces esta serála misma que la combinación lineal de la transformada de Fourier de cada señal individual. Esto es crucial cuando usamos la tabla de las transformadas para encontrar la transformada de una señal más complicada.
Empezaremos con la siguiente señal:
La simetría es una propiedad que nos puede hacer la vida más fácil resolviendo problemas que involucran la transformada de Fourier. Basicamente ;p que dice esta propiedad es que ya que la función rectangular en el tiempo es una función sinc en la frecuancia, entonces una función sinc en el tiempo seráuna función rectangular en la frecuencia. Este es un resultado directo de las similaridades entre la CTFT y la inversa de la CTFT. Laúnica diferencia es que es escalda por y una revocación de la frecuancia.
Esta propiedad trata con el efecto de la representación del dominio de frecuancia de una señal si la variable tiempo es alterada. El concepto más importante par entender para la propiedad de escalammiento es que las señales que son estrechas en el tiempo son amplias en la frecuancia y
La tabla anterior muestra esta idea para una transformación general del dominio-tiempo de la señal. Usted debería de ser capaz de notar que esta ecuación muestra la relación mencionada anteriormente: si la variable tiempo incrementa entonces el rango de la frecuencia sera decreciente.
El desplazamiento en el tiempo muestra que un desplazo en el tiempo es equivalente a un desplazo de fase lineal en la frecuencia. Ya que el contenido de la frecuencia depende solamente de la forma de la señal, el cual es invariabe en el desplazo en el tiempo, entonces solamente la fase del espectro seráalterada. Esta propiedad seráprovada facilmente usando la Transformada de Fourier, asi que mostraremos los pasos básicos a continuación:
Primero empezaremos dejando que . Ahora tomemos la transformada de Fourier con la expresión anterior sustituida para .
La modulación es absolutamente imprescindible para las aplicaciones de comunicaiones. Siendo capaces de desplazar una señal a diferentes frecuencias, nos que mas que tomar ventaja de diferentes partes de los espectros del electromagnetismo es lo que nos permite transmitir la televisión, radio y otroas aplicaciones a través del mismo espacio sin interferencia significativa.
La demostración de la propiedad del desplzamiento de la frecuencia es muy similar a la de desplazamiento en el tiempo ; Sin embargo, aqui usaremos la transformada inversa de Fourier. Ya que vamos a través de los pasos anteriores, la demostración de desplazamiento ene l tiempo, a continuación solo mostrara los pasos iniciales y finales de esta demostración:
Convolución es una de las grandes razones para convertir señales en dominios de frecuancia ya que la convolución en el tiempo se convierte en multiplicación en frecuencia. Esta propiedad es también otro buen ejemplo de la simetria entre el tiempo y la frecuencia. También muestra que hay muy poca ganancia cambiando el dominio de frecuancia cuando la multiplicación en el tiempo esta involucrada.
Introduciremos la integral de convolución, pero si no la ha visto anteriormente o necesita refrescar la memoria véase el modulo de convolución de tiempo-continuo para una explicación mas profunda y su derivación.
Ya que los sistemas LTI pueden ser representados en términos de ecuaciones diferenciales, es evidente que con esta propiedad que conviertiendo al dominio de frecuencia nos permitirá convertir esta complicada ecuación diferencial a una ecuación más sencilla que involucre multiplicación y adición. Esto también es visto con mas detalle durante el estudi de la Transformada de Laplace .
Notification Switch
Would you like to follow the 'Señales y sistemas' conversation and receive update notifications?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|