N-димензионален простор

Дефиниција. Множеството од сите подредени $n-$ торки $X=(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)$ реални броеви се нарекува n - димензионален простор и се означува $R^n$ . $X$ се нарекува точка на просторот $R^n$ , додека реалните броеви $x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n$ се координати на точката $X$ .

За $n=1$ просторот $R$ е еднодимензионален и тоа е бројната оска, за $n=2$ просторот $R^2$ е дводимензионален и тоа е рамнината, а за $n=3$ просторот $R^3$ е тродимензионален и се нарекува само простор.

Две точки $X=(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)$ и $Y=(y_1,y_2,\text{.}\text{.}\text{.},y_n)$ се совпаѓаат ако и само ако $x_i=y_i,$ $(i=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},n)$ и се пишува $X\equiv Y$ . Во спротивно, точките не се совпаѓаат и се означува .

На две точки $X$ и од просторот $R^n$ може да им се придружи ненегативан реалан број $d(X,Y)$ наречен растојание меѓу тoчките $X$ и $Y$ кое ги задоволува условите:

1. $d(X,Y)=0\iff X\equiv Y$ ,
2. $d(X,Y)=d(Y,X)$ ,
3. .

Бројот $d(X,Y)$ определува метрика $d$ во просторот $R^n$ , a просторот $R^n$ се нарекува метрички простор и се означува со $(R^n,d)$ .

Вообичаена метрика во просторот $R^n$ е Евклидовата метрика која понатаму ќе ја користиме и таа го определува најкраткото праволиниско растојание меѓу две точки $X$ и $Y$ со равенката

$d(X,Y)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+\text{.}\text{.}\text{.}+(x_n-y_n{)}^2}={\left({\sum }_{k=1}^n(x_k-y_k{)}^2\right)}^{1/2}$ .

Постои и поопшта, наречена $l^p-$ метрика која се дефинира со

$d_p(X,Y)={\left({\sum }_{k=1}^n\mid x_k-y_k{\mid }^p\right)}^{1/p},$ $p>0$ .

За $n=2$ , $l^p-$ метриката се сведува на Евклидовата метрика $d_2(X,Y)$ која претставува најкратко (праволиниско) растојание меѓу двете точки $X$ и $Y$ во рамнина.

Една од наједноставните површини во $n-$ димензионалниот метрички простор е сферата.

Дефиниција. Сфера со центар во точката $A=(a_1,a_2,\text{.}\text{.}\text{.},a_n)$ и полупречник $R$ е множеството точки $X\in R^n$ кои го задоволуваат условот $d_2(X,A)=R$ и има равенка

$(x_1-a_1{)}^2+(x_2-a_2{)}^2+\text{.}\text{.}\text{.}+(x_n-a_n{)}^2=R^2$ .

На Сл. 1. се дадени примери на 2- и 3-димензионални $n-$ сфери.

Површината на $n-$ сферата го дели дели просторот $R^n$ на два дела. Внатрешниот дел заедно со површината на сферата се нарекува $n-$ сфера или $n-$ топка со полупречник $R$ и се означува со $K(A,R)$ и се определува со неравенството .

Дефиниција . Сферата се нарекува сферна $\epsilon -$ околина на точката $A$ , а бројот $\epsilon >0$ е полупречник на околината.

Во дводимензионалниот простор $R^2$ сферна $\epsilon -$ околина на точката $A(x_0,y_0)$ е множе­ството точки од внатрешноста на кругот со центар во точката $A$ и радиус $\epsilon$ , т.е.

.

Слика 1. Единични p -сфери во 2- и 3- димензионален простор за различни вредности на p

Во дводимензионалниот простор сферната околина на дадена точка е круг, додека во еднодимензионалниот простор сферната околина е интервал.

Нека го разгледуваме дводимензионалниот простор $R^2$ и нека во него е дадено произволно множество. Точката $A(x_0,y{}_0)$ се нарекува внатрешна точка за множеството ако постои кружница со центар во точката $A(x_0,y{}_0)$ и радиус $\epsilon$ која содржи само точки од множеството. Ако во секоја кружница со радиус $\epsilon$ и центар во точката $A(x_0,y{}_0)$ се наоѓаат и точки кои не припаѓаат на множеството, точката се нарекува гранична точка за тоа множество.

Важни особини за множествата се затвореноста/отвореноста и ограниченоста/ неограниченоста.

Дефиниција. Множеството се нарекува затворено ако тоа ги содржи своите гранични точки, а во спротивно тоа е отворено .

Исто така множеството може да биде ограничено или неограничено.

Во еднодимензионалниот простор $R$ едно множество е ограничено ако тоа може да се смести во внатрешноста на еден конечен интервал. Во просторот $R^2$ множесвото е ограничено ако постои правоаголник со конечни страни во кој се наоѓаат сите точки од множеството и аналогно, во просторот $R^3$ множеството е ограничено ако постои паралелопипед со конечни страни во кој се сместени сите точки од множеството.