1. Home
  2. Неопределен интеграл
  3. Неопределен интеграл
  4. Поим за неопределен интеграл

Поим за неопределен интеграл

<< Chapter < Page
  Неопределен интеграл   Page 1 / 1
Chapter >> Page >
Се дефинира примитивна функција и неопределн интеграл. Се дава таблица од основни интеграли и правила за интегрирање. The primitive function and non proper integral is defined. The table of non proper integrals is given.

Поим за неопределен интеграл и негово решавање

Во делот диференцијално сметање за функција од една променлива, за дадена функција се бараше нејзиниот извод. Сосема пририродно е да се постави инверзната задача: како да се определи функцијата чии што извод е познат?

Дефиниција :

Функцијата F ( x ) size 12{F \( x \) } {} е примитивна функција за функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} на [ a , b ] size 12{ \[ a,b \] } {} ако ∀ x ∈ [ a , b ] size 12{ forall x in \[ a,b \] } {} важи

F ' ( x ) = f ( x ) . size 12{ { {F}} sup { ' } \( x \) =f \( x \) "." } {}

Бидејки важи

[ F ( x ) + C ] ' = F ' ( x ) = f ( x ) , C − const , size 12{ \[ F \( x \) +C { { \] }} sup { ' }= { {F}} sup { ' } \( x \) =f \( x \) ,~C - ital "const",} {}

тоа значи дека постои цела класа функции F ( x ) + C size 12{F \( x \) +C} {} кои меѓусебно се разликуваат за константа C size 12{C} {} и имаат ист извод f ( x ) size 12{f \( x \) } {} .

Дефиниција :

Нека F ( x ) size 12{F \( x \) } {} е примитивна функција за функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} на [ a , b ] size 12{ \[ a,b \] } {} . Множеството примитивни функции F ( x ) + C size 12{F \( x \) +C} {} се нарекува неопределен интеграл за функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} и се означува со

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C . size 12{ Int {f \( x \) ital "dx"=F \( x \) +C "." } } {}

Пример 1.

Познато ни е дека за функцијата f ( x ) = ln x size 12{f \( x \) ="ln"x} {} изводот е f ' ( x ) = 1 x size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) = { {1} over {x} } } {} , па оттаму со инверзна постапка (интегрирање)

∫ 1 x dx = ln ∣ x ∣ + C . size 12{ Int { { {1} over {x} } ital "dx"="ln" \lline x \lline } +C "." } {}

Ознаката за интеграл ∫ size 12{ Int {} } {} е издолжена буква S size 12{S} {} и е воведена од Лајбниц. Тоа е првата буква од зборот сума, а потекнува од дефиницијата за определен интеграл кој се дефинира преку суми наречени интегрални суми.

Во неопределениот интеграл ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C : size 12{ Int {f \( x \) ital "dx"=F \( x \) +C} } {}

  • изразот f ( x ) dx size 12{f \( x \) ital "dx"} {} се нарекува подинтегрален израз ;
  • функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} се нарекува подинтегрална функција ;
  • C size 12{C} {} e интегрална константа .

Постапката за наоѓање на неопределен инеграл за функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} се нарекува интегрирање на функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} .

Од дефиницијата за неопределен интеграл следува дека:

  • ( ∫ f ( x ) dx ) ' = ( F ( x ) + C ) ' = F ' ( x ) = f ( x ) size 12{ \( Int {f \( x \) ital "dx"} { { \) }} sup { ' }= \( F \( x \) +C { { \) }} sup { ' }= { {F}} sup { ' } \( x \) =f \( x \) } {}
  • d ∫ f ( x ) dx = d ( F ( x ) + C ) = dF ( x ) = F ' ( x ) dx = f ( x ) dx size 12{d Int {f \( x \) ital "dx"=d \( F \( x \) +C \) = ital "dF" \( x \) = { {F}} sup { ' } \( x \) ital "dx"=f \( x \) ital "dx"} } {}
  • ∫ dF ( x ) = F ( x ) + C . size 12{ Int { ital "dF" \( x \) =F \( x \) +C "." } } {}

Правила за интегрирање

За интегралите важат само следните две правила:

1. ∫ ( f ( x ) ± g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx size 12{ Int { \( f \( x \) +- g \( x \) \) ital "dx"= Int {f \( x \) ital "dx" +- Int {g \( x \) ital "dx"} } } } {}

2. ∫ Kf ( x ) dx = K ∫ f ( x ) dx , ( K − const ) . size 12{ Int { ital "Kf" \( x \) ital "dx"=K Int {f \( x \) ital "dx",~ \( K - ital "const" \) "." } } } {}

Овие правила лесно се докажуваат со диференцирање на наведените равенства.

Таблица од основни интеграли

Аналогно како за изводите, и за интегралите се дава таблица од основни интеграли, a тоа се оние интеграли на кои се сведуваат сите интеграли кои може да се решат. Оваа таблица е инверзна на таблицата од изводи, бидејки и постапката интегрирање е инверзна на постапката диференцирање. Воглавно таблицата од основни интеграли е следната:

Таблица од основни интеграли (таблични интеграли)
∫ x n dx = x n + 1 n + 1 + C , ( n ≠ − 1 ) size 12{ Int {x rSup { size 8{n} } ital "dx"= { {x rSup { size 8{n+1} } } over {n+1} } +C,~ \( n<>- 1 \) } } {}
∫ 1 x dx = ln ∣ x ∣ + C size 12{ Int { { {1} over {x} } } ital "dx"="ln" \lline x \lline +C} {}
∫ e x dx = e x + C size 12{ Int {e rSup { size 8{x} } ital "dx"} =e rSup { size 8{x} } +C} {}
∫ a x dx = a x ln a + C size 12{ Int {a rSup { size 8{x} } ital "dx"} = { {a rSup { size 8{x} } } over {"ln"a} } +C} {}
∫ sin xdx = − cos x + C size 12{ Int {"sin" ital "xdx"= - "cos"x+C} } {}
∫ cos xdx = sin x + C size 12{ Int {"cos" ital "xdx"="sin"x+C} } {}
∫ 1 cos 2 x dx = tan x + C size 12{ Int { { {1} over {"cos" rSup { size 8{2} } x} } ital "dx"="tan"x+C} } {}
∫ 1 sin 2 x dx = − cot x + C size 12{ Int { { {1} over {"sin" rSup { size 8{2} } x} } ital "dx"= - "cot"x+C} } {}
∫ 1 1 + x 2 dx = arctan x + C size 12{ Int { { {1} over {1+x rSup { size 8{2} } } } ital "dx"="arctan"x+C} } {}
∫ 1 1 − x 2 dx = 1 2 ln ∣ 1 + x 1 − x ∣ + C size 12{ Int { { {1} over {1 - x rSup { size 8{2} } } } ital "dx"= { {1} over {2} } "ln" lline { {1+x} over {1 - x} } rline +C} } {}
∫ 1 1 − x 2 dx = arcsin x + C size 12{ Int { { {1} over { sqrt {1 - x rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"="arcsin"x+C} } {}
∫ 1 1 + x 2 dx = ln ∣ x + 1 + x 2 ∣ + C size 12{ Int { { {1} over { sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"="ln" \lline x+ sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } \lline +C} } {}
∫ 1 x 2 − 1 dx = ln ∣ x + x 2 − 1 ∣ + C size 12{ Int { { {1} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } - 1} } } ital "dx"="ln" \lline x+ sqrt {x rSup { size 8{2} } - 1} \lline +C} } {}

Видовме дека за секоја непрекината функција лесно може да се најде неjзиниот извод, додека обратната задача е многу потешка. Може да се најде интеграл од непрекината функција само ако таа се сведе на некој наведените видови интеграли дадени во таблицата од основни интеграли. Затоа и задачата за решавање на интеграл, односно определувањето на примитивната функција не е само потешка задача туку во општ случај таа е нерешлива.

Пример 2.

Да се реши интегралот ∫ x + xa x − 2x 2 3x dx . size 12{ Int { { { sqrt {x} + ital "xa" rSup { size 8{x} } - 2x rSup { size 8{2} } } over {3x} } } ital "dx" "." } {}

РЕШЕНИЕ:

За решавање на оваа задача се применуваат двете правила за интегрирање

∫ x + xa x − 2x 2 3x dx = size 12{ Int { { { sqrt {x} + ital "xa" rSup { size 8{x} } - 2x rSup { size 8{2} } } over {3x} } } ital "dx"={}} {}

= ∫ x 3x dx + ∫ xa x 3x dx + ∫ − 2x 2 3x dx = size 12{ {}= Int { { { sqrt {x} } over {3x} } } ital "dx"+ Int { { { ital "xa" rSup { size 8{x} } } over {3x} } } ital "dx"+ Int { { { - 2x rSup { size 8{2} } } over {3x} } } ital "dx"={}} {}

= 1 3 ∫ x − 1 2 dx + 1 3 ∫ a x dx − 2 3 ∫ x dx = size 12{ {}= { {1} over {3} } Int {x rSup { size 8{ - { {1} over {2} } } } } ital "dx"+ { {1} over {3} } Int {a rSup { size 8{x} } } ital "dx" - { {2} over {3} } Int {x} ital "dx"={}} {}

= 1 3 x 1 2 1 2 + 1 3 a x ln a − 2 3 x 2 2 + C = size 12{ {}= { {1} over {3} } { {x rSup { size 8{ { {1} over {2} } } } } over { {} rSup { size 8{ { {1} over {2} } } } } } + { {1} over {3} } { {a rSup { size 8{x} } } over {"ln"a} } - { {2} over {3} } { {x rSup { size 8{2} } } over {2} } +C={}} {}

= 2 3 x + a x 3 ln a − x 2 3 + C . size 12{ {}= { {2} over {3} } sqrt {x} + { {a rSup { size 8{x} } } over {3"ln"a} } - { {x rSup { size 8{2} } } over {3} } +C "." } {}

Пример 3.

Да се реши интегралот ∫ 1 cos 2x + sin 2 x dx . size 12{ Int { { {1} over {"cos"2x+"sin" rSup { size 8{2} } x} } } ital "dx" "." } {}

РЕШЕНИЕ:

Бидејки подинтегралната функција не е функција содржана во таблицата од интеграли, со трансформации таа треба да се сведе на решлив-табличен вид. За таа цел се применуваат тригонометриските релацијии

cos 2x = cos 2 x − sin 2 x size 12{"cos"2x=``"cos" rSup { size 8{2} } x`` - `"sin" rSup { size 8{2} } x``} {}

и

cos 2 x + sin 2 x = 1 size 12{"cos" rSup { size 8{2} } x``+`"sin" rSup { size 8{2} } x`=1`} {}

и интегралот е

∫ 1 cos 2x + sin 2 x dx = size 12{ Int { { {1} over {"cos"2x+"sin" rSup { size 8{2} } x} } } ital "dx"={}} {}

= ∫ cos 2 x + sin 2 x cos 2 x − sin 2 x + sin 2 x dx = size 12{ {}= Int { { {"cos" rSup { size 8{2} } x+"sin" rSup { size 8{2} } x} over {"cos" rSup { size 8{2} } x - "sin" rSup { size 8{2} } x+"sin" rSup { size 8{2} } x} } } ital "dx"={}} {}

= ∫ cos 2 x + sin 2 x cos 2 x dx = size 12{ {}= Int { { {"cos" rSup { size 8{2} } x+"sin" rSup { size 8{2} } x} over {"cos" rSup { size 8{2} } x} } } ital "dx"={}} {}

= ∫ cos 2 x cos 2 x dx + ∫ sin 2 x cos 2 x dx = size 12{ {}= Int { { {"cos" rSup { size 8{2} } x} over {"cos" rSup { size 8{2} } x} } } ital "dx"+ Int { { {"sin" rSup { size 8{2} } x} over {"cos" rSup { size 8{2} } x} } } ital "dx"={}} {}

= ∫ dx + ∫ 1 − cos 2 x cos 2 x dx = size 12{ {}= Int { ital "dx"+{}} Int { { {1 - "cos" rSup { size 8{2} } x} over {"cos" rSup { size 8{2} } x} } } ital "dx"={}} {}

= x + ∫ 1 cos 2 x dx − ∫ dx = size 12{ {}=x+ Int { { {1} over {"cos" rSup { size 8{2} } x} } } ital "dx" - Int { ital "dx"} ={}} {}

= tan x + C . size 12{ {}="tan"x+C "." } {}

Пример 4.

Да се реши интегралот ∫ ( 1 + x ) 2 x ( 1 + x 2 ) dx . size 12{ Int { { { \( 1+x \) rSup { size 8{2} } } over {x \( 1+x rSup { size 8{2} } \) } } } ital "dx" "." } {}

РЕШЕНИЕ:

И оваа подинтегрална функција не е табличен случај, затоа најпрво квадрираме и вршиме подредување на собироците од броителот.

∫ ( 1 + x ) 2 x ( 1 + x 2 ) dx = size 12{ Int { { { \( 1+x \) rSup { size 8{2} } } over {x \( 1+x rSup { size 8{2} } \) } } } ital "dx"={}} {}

= ∫ 1 + 2x + x 2 x ( 1 + x 2 ) dx = size 12{ {}= Int { { {1+2x+x rSup { size 8{2} } } over {x \( 1+x rSup { size 8{2} } \) } } } ital "dx"={}} {}

= ∫ 1 + x 2 x ( 1 + x 2 ) dx + ∫ 2x x ( 1 + x 2 ) dx = size 12{ {}= Int { { {1+x rSup { size 8{2} } } over {x \( 1+x rSup { size 8{2} } \) } } ital "dx"+ Int { { {2x} over {x \( 1+x rSup { size 8{2} } \) } } } ital "dx"} ={}} {}

= ∫ 1 x dx + 2 ∫ 1 1 + x 2 dx = size 12{ {}= Int { { {1} over {x} } } ital "dx"+2 Int { { {1} over {1+x rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"={}} {}

= ln ∣ x ∣ + 2 arctan x + C size 12{ {}="ln" \lline x \lline +2"arctan"x+C} {} .

Мора да се нагласи дека при решавање на интегралите, само мал број од нив се основни. За таа цел постојат методи со кои интегралите се сведуваат на основни, а такви се методот на смена на променливата и парцијална интеграција.
<< Chapter < Page Page > Chapter >>

Read also:

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Неопределен интеграл. OpenStax CNX. Dec 02, 2010 Download for free at http://legacy.cnx.org/content/col11240/1.4
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Неопределен интеграл' conversation and receive update notifications?

Ask