Análisis en el dominio del tiempo para sistemas discretos

Una señal discreta $s(n)$ es retrasada por $n_0$ muestras, cuando se escribe $s(n-n_0)$ , con $n_0> 0$ . Optamos por que $n_0$ tenga avances negativos sobre los números enteros. Opuesto a los retrasos análogos , los retrasos discretos en el tiempo solo pueden tener el valor de números enteros. En el dominio de la frecuencia, el retraso de la señal corresponde a un desplazamiento linear en el ángulo de la señal discreta de la Transformada de Fourier $\leftrightarrow (s(n-n_0), e^{-(i\times 2\pi f{n}_0)}S(e^{i\times 2\pi f}))$ .

Un sistema lineal discreto tiene propiedades de superposición:

Si $S(x(n))=y(n)$ , entonces

Nosotros queremos concentrarnos en sistemas que son lineales e invariantes al desplazamiento. Esto será lo que nos permitirá tener todo el control en el análisis del dominio de la frecuencia y el control de su implementación. Por que no tenemos una conexión física en la “construcción”del sistema, necesitamos solamente tener especificaciones matemáticas. En los sistemas análogos, las ecuaciones diferenciales especifican la entrada y la salida del dominio del tiempo. La correspondiente especificación discreta esta dada en una ecuación diferencial :

Al contrario de una ecuación diferencial que solo provee una descripción implícita de un sistema (nosotros debemos resolver la ecuación diferencial), las ecuaciones diferenciales proveen una manera explicita de resolverlas; calculando las salidas para cada entrada. Nosotros simplemente expresaremos las ecuaciones diferenciales con un programa que calcula cada salida usando valores previos, las corrientes del sistema y las entradas previas.

Las ecuaciones diferenciales son usualmente expresadas en el software con iteraciones de "for" . El programa de MATLAB da información de los primeros 1000 valores formados por medio de las salidas.

Un detalle importante emerge cuando nosotros consideramos hacer que este programa funcione; de hecho, como esta escrito tiene (por lo menos) dos errores. ¿Qué valores de entrada y salida se pueden usar para calcular $y(1)$ ? Nosotros necesitamos valores para $y(0)$ , $y(-1)$ , ..., valores que no tenemos aun. Para calcular estos valores necesitaremos valores previos. La manera de salir de este problema es especificar las condiciones iniciales : debemos proveer p los valores de la salida que ocurren antes que las entradas iniciales. Estos valores pueden ser arbitrarios, la decisión impacta el como responde el sistema con las entradas. Una decisión ocasiona un sistema lineal: Hacer la condición inicial cero. La razón se encuentra en la definición de un sistema lineal : La única manera que las salidas de las suma pueda ser la suma de la salida individual ocurre cuando la condición inicial en cada caso es cero.