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Usando el algoritmo de Cooley-Tukey para derivar la transfromada rápida.

Para derivar la FFT,asumimos que la duración de la señal es una potencia de dos: N 2 l . Considere que pasa a los elementos pares numerados y a los elemenots impares numerados de la solución de la secuencia en la DFT.

S k s 0 s 2 2 2 k N s N 2 2 N 2 k N s 1 2 k N s 3 2 2 1 k N s N 1 2 N 2 1 k N s 0 s 2 2 k N 2 s N 2 2 N 2 1 k N 2 s 1 s 3 2 k N 2 s N 1 2 N 2 1 k N 2 2 k N

Cada término en paréntesis al cuadrado tiene la forma de una longitud N 2 de DFT. La primera es una DFT de los elementos pares nuemrados,y la segunda es de los elementos impares numerados. La primer DFT es combinada con la segunda multiplicadno por el exponencial complejo 2 k N . La media-longitud de la transformada es cada evaluación de losíndices de frecuencia k 0 N 1 . Normalmente el número de indices de frecuencia del rango de una calculación de la DFT esta entre cero y la longitud de la transformación menos uno. La ventaja computacional de la FFT viene de reconocer la natulareza del periódo de la transformada discreta de Fourier. La FFT simplemente reusa las soluciones hechas en la media-longitud de la transformada y las combina a través de sumas y multiplicaciones por 2 k N , que no es periódica sobre N 2 , para rescribir la longitud-N DFT. La ilustra la descomposición. Como se mantiene, ahora resolvemos dos transformadas de longitudes- N 2 (complejidad 2 O N 2 4 ), multiplicar una de ellas por el exponencial complejo (complejidad O N ), y sumar los resultados (complejidad O N ). En este punto, el total de complejidad sigue dominado por la mitad-longitud de la calculación de DFT, pero el coeficente de proporcionalidad ha sido reducido.

Ahora para la diversión. Por que N 2 l , cada una de las transformaciones de media-longitud puede ser reducida a una de dos cuartos-longitud, cada una de estas en dos octavos-longitud, etc. Esta descomposición continua hasta que nos quedamos con una transformada de longitud -2 . Esta transformada es absolutamente simple, involucrando solo sumas. Donde la primer etapa de la FFT tiene N 2 transformadas de longitud-2 (vease la parte de abajo de la ). Pares de estas transformadas son combinados suamando uno a otro multiplicado por el exponencial complejo. Cada par requiere 4 sumas y 4 multiplicaciones, dando un número total de computaciones igual a 8 N 4 N 2 . Este número de computaciones no cambia de etapa a etapa. Ya que el número de etapas, el número de veces que la longitud puede ser dividida por dos, igual a 2 logbase --> N , la complejidad de la FFT es O N N .

DescomposiciÓN de la dft de longitud-8

La descomposición inicial de una longitud-8 DFT en términos usandoíndices pares e impares entradas marca la primera fase de convertirse en el algoritmo de la FFT. Cuando esta transformada de media-longitud esta completamente descompuesta, nos quedamos con el diagrama del panel inferior que representa la solución de la FFT de longitud-8.

Haciendo un ejemplo haremos ahorros de procesos más obvios. Veamos los detalles de la DFT de longitud-8. Como se muestra en la , primero descomponemos la DFT en dos DFT de longitud-4,con las salidas sumadas y restadas en pares. Considerando la como elíndice de frecuencia que va de 0 hasta 7,reciclamos valores de la DFT de longitud-4 para los calculos finales por la periódicidad de la salida de la DFT. Examinando como los pares de salidas se recojen juntas, creamos los alementos computacionales básicos conocidos como una mariposa ( ).

Mariposa

Los elementos computacionales básicos de la transformada rápida de Fourier es la mariposa. Toma dos números complejos, representados por a y b , y forma las cantidades mostradas . Cada mariposa requiere una multiplicación compleja y dos sumas complejas.

Considerando los procesos involucrando la salida de frecuencias comunes de la DFT de dos media-longitud, vemos que las dos multiplicaciones complejas son relacionadas unas con otras, y podemos reducir nuestro proceso en un futuro. Para descomposiciones posteriores las DFT de longitud-4 en las DFT de longitud-2 y combinando sus salidas, llegamos al resumen del diagrama de la transformada rápida de Fourier de longitud-8 ( ). Aunque la multiplicación de los complejos es absolutamente simple (multiplicando por significa partes negativas reales y partes imaginarias), contemosésos para los propósitos de evaluar la complejidad como el complejo se multiplica por completo. Tenemos N 2 4 multiplicaciones complejas y 2 N 16 sumas para cada etapa y 2 logbase --> N 3 etapas, haciendo el número de procesos básicos 3 N 2 2 logbase --> N como se predijo.

Notese que el orden de la secuencia de entrada en dos partes de no estan absolutamente iguales.¿por que no?,¿cómo esta determinado este orden?

El panel de arriba no usa el algoritmo de FFT para procesar la DFT de longitud-4 mientras que el abajo si.El orden es determinado por el algoritmo.

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Otros lagoritmos "rápidos" han sido descubiertos, todos de los cuales hacen uso de cuantos factores tiene la transformada de longitud N. En teoria de números, el número de factores primos de un entero dado tiene medidas como compuesto es el. El número 16 y 81 son altamente compuestos (iguales a 2 4 y 3 4 respectivamente),el número 18 es menor asi que ( 2 1 3 2 ), y el 17 no del todo (es primo). a través de treinta años de desarrollo del algoritmo de la transformada de Fourier, el algoritmo original de Cooley-Tukey esta alejado de los usados con mas frecuancia. Es tan effciente computacionalmente hablando como la transformada de longitud de potencia de dos es frecuentemente usada sin importar la longitud actual de los datos.

Questions & Answers

show that the set of all natural number form semi group under the composition of addition
Nikhil Reply
what is the meaning
Dominic
explain and give four Example hyperbolic function
Lukman Reply
_3_2_1
felecia
⅗ ⅔½
felecia
_½+⅔-¾
felecia
The denominator of a certain fraction is 9 more than the numerator. If 6 is added to both terms of the fraction, the value of the fraction becomes 2/3. Find the original fraction. 2. The sum of the least and greatest of 3 consecutive integers is 60. What are the valu
SABAL Reply
1. x + 6 2 -------------- = _ x + 9 + 6 3 x + 6 3 ----------- x -- (cross multiply) x + 15 2 3(x + 6) = 2(x + 15) 3x + 18 = 2x + 30 (-2x from both) x + 18 = 30 (-18 from both) x = 12 Test: 12 + 6 18 2 -------------- = --- = --- 12 + 9 + 6 27 3
Pawel
2. (x) + (x + 2) = 60 2x + 2 = 60 2x = 58 x = 29 29, 30, & 31
Pawel
ok
Ifeanyi
on number 2 question How did you got 2x +2
Ifeanyi
combine like terms. x + x + 2 is same as 2x + 2
Pawel
x*x=2
felecia
2+2x=
felecia
×/×+9+6/1
Debbie
Q2 x+(x+2)+(x+4)=60 3x+6=60 3x+6-6=60-6 3x=54 3x/3=54/3 x=18 :. The numbers are 18,20 and 22
Naagmenkoma
Mark and Don are planning to sell each of their marble collections at a garage sale. If Don has 1 more than 3 times the number of marbles Mark has, how many does each boy have to sell if the total number of marbles is 113?
mariel Reply
Mark = x,. Don = 3x + 1 x + 3x + 1 = 113 4x = 112, x = 28 Mark = 28, Don = 85, 28 + 85 = 113
Pawel
how do I set up the problem?
Harshika Reply
what is a solution set?
Harshika
find the subring of gaussian integers?
Rofiqul
hello, I am happy to help!
Shirley Reply
please can go further on polynomials quadratic
Abdullahi
hi mam
Mark
I need quadratic equation link to Alpa Beta
Abdullahi Reply
find the value of 2x=32
Felix Reply
divide by 2 on each side of the equal sign to solve for x
corri
X=16
Michael
Want to review on complex number 1.What are complex number 2.How to solve complex number problems.
Beyan
yes i wantt to review
Mark
16
Makan
x=16
Makan
use the y -intercept and slope to sketch the graph of the equation y=6x
Only Reply
how do we prove the quadratic formular
Seidu Reply
please help me prove quadratic formula
Darius
hello, if you have a question about Algebra 2. I may be able to help. I am an Algebra 2 Teacher
Shirley Reply
thank you help me with how to prove the quadratic equation
Seidu
may God blessed u for that. Please I want u to help me in sets.
Opoku
what is math number
Tric Reply
4
Trista
x-2y+3z=-3 2x-y+z=7 -x+3y-z=6
Sidiki Reply
can you teacch how to solve that🙏
Mark
Solve for the first variable in one of the equations, then substitute the result into the other equation. Point For: (6111,4111,−411)(6111,4111,-411) Equation Form: x=6111,y=4111,z=−411x=6111,y=4111,z=-411
Brenna
(61/11,41/11,−4/11)
Brenna
x=61/11 y=41/11 z=−4/11 x=61/11 y=41/11 z=-4/11
Brenna
Need help solving this problem (2/7)^-2
Simone Reply
x+2y-z=7
Sidiki
what is the coefficient of -4×
Mehri Reply
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Shedrak
A soccer field is a rectangle 130 meters wide and 110 meters long. The coach asks players to run from one corner to the other corner diagonally across. What is that distance, to the nearest tenths place.
Kimberly Reply
Jeannette has $5 and $10 bills in her wallet. The number of fives is three more than six times the number of tens. Let t represent the number of tens. Write an expression for the number of fives.
August Reply
What is the expressiin for seven less than four times the number of nickels
Leonardo Reply
How do i figure this problem out.
how do you translate this in Algebraic Expressions
linda Reply
why surface tension is zero at critical temperature
Shanjida
I think if critical temperature denote high temperature then a liquid stats boils that time the water stats to evaporate so some moles of h2o to up and due to high temp the bonding break they have low density so it can be a reason
s.
Need to simplify the expresin. 3/7 (x+y)-1/7 (x-1)=
Crystal Reply
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Chris Reply
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Jobilize.com Reply

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Source:  OpenStax, Señales y sistemas. OpenStax CNX. Sep 28, 2006 Download for free at http://cnx.org/content/col10373/1.2
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