8.1 Poligone

Poligone

As jy 'n aantal lyne verbind sodat die eindpunt van die eerste lyn die beginpunt van die laaste lyn ontmoet, kry jy 'n poligoon . Elke lyn wat deel van die poligoon uitmaak, staan bekend as 'n sy . 'n Poligoon het binnehoeke - dit is die hoeke aan die binnekant van die poligoon. Poligone het net soveel sye as binnehoeke. As 'n poligoon se sye ewe lank is en sy hoeke ewe groot is, noem ons dit 'n reëlmatige poligoon . Voorbeelde van poligone word getoon in [link] .

Driehoeke

'n Driehoek is 'n drie-sydige poligoon. Daar is verskeie soorte driehoeke: ongelyksydig, gelyksydig, gelykbenig, reghoekig, skerphoekig, stomphoekig. Die eienskappe van hierdie driehoeke is opgesom in [link] .

Naam	Diagram	Eienskappe
gelyksydig		Al 3 sye is ewe lank (aangedui met die kort strepies wat getrek is deur die gelyke sye) en al 3 die hoeke is ewe groot.
gelykbenig		Twee sye is ewe lank. Die hoeke teenoor die gelyke sye is ewe groot.
reghoekig		Hierdie driehoek het een regte hoek. Die sy teenoor hierdie hoek word genoem die skuinssy .
skerphoekig (nie-sillabus)		Alle sye en alle hoeke is van verskillende lengtes/groottes.

As die hoekpunte van 'n driehoek benoem word met A, B en C - dan praat ons van $▵ABC$ .

Eienskappe van driehoeke

Ondersoek : som van die hoeke van 'n driehoek

1. Trek 'n driehoek van enige grootte of vorm op 'n vel papier.
2. Sny dit uit en benoem die hoeke $\widehat{A}$ , $\widehat{B}$ en $\widehat{C}$ aan beide kante van die papier.
3. Trek stippellyne soos aangetoon en sny langs hierdie lyne om 3 stukke papier te kry.
4. Plaas die 3 stukke teen jou liniaal soos aangetoon om te sien dat $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^{\circ }$

Kongruente driehoeke

Simbool	Beskrywing	Diagram
SS90H	As die skuinssy en een ander sy van een reghoekige driehoek gelyk is aan die skuinssy en ooreenkomstige ander sy van 'n tweede driehoek, dan is die driehoeke kongruent.
SSS	As die 3 sye van 'n driehoek net so lank is soos die ooreenkomstige 3 sye van 'n ander driehoek, dan is die 2 driehoeke kongruent.
SHS	As 2 sye en die ingeslote hoek van een driehoek net so groot is soos 2 sye en die ingeslote hoek van 'n ander driehoek, dan is die 2 driehoeke kongruent.
HHS	As 1 sy en 2 hoeke van 'n driehoek net so groot is as die ooreenkomstige sy en 2 hoeke van 'n ander driehoek, dan is die 2 driehoeke kongruent.

Gelykvormige driehoeke

Beskrywing	Diagram
As 3 hoeke van een driehoek gelyk is aan die 3 hoeke van 'n ander driehoek is die driehoeke gelykvormig.
As al 3 sye van 'n driehoek eweredig is aan die ooreenstemmende 3 sye van 'n ander driehoek, dan is die 2 driehoeke gelykvormig.	$\frac{x}{p}=\frac{y}{q}=\frac{z}{r}$

Die stelling van pythagoras

In die volgende figure, bepaal of die 2 driehoeke kongruent is en gebruik dan die resultaat om die onbekendes te vind.

1. Bewys kongruensie

   $D\hat{E}C=B\hat{A}C={55}^{°}$ (som van die hoeke van 'n driehoek is ${180}^{°}$

   $A\hat{B}C=C\hat{D}E={90}^{°}$ (gegee)

   $\text{DE}=\text{AB}=3$ (gegee)

   $\therefore \Delta \text{ABC}\equiv \Delta \text{EDC}$
2. Vind die onbekende veranderlikes

   Ons gebruik Pythagoras om x te bereken:

   $\begin{array}{ccc}\hfill {\text{CE}}^2& =& {\text{DE}}^2+{\text{DC}}^2\hfill \\ \hfill 5^2& =& 3^2+x^2\hfill \\ \hfill x^2& =& 16\hfill \\ \hfill x& =& 4\hfill \end{array}$

   $y={35}^{°}$ (hoeke in 'n driehoek)

   $z=5$ (kongruente driehoeke, $\text{AC}=\text{CE}$ )

Driehoeke

1. Bereken die onbekende veranderlikes in elk van die volgende figure. Alle lengtes is in mm.

   

2. Bepaal of elk van die volgende pare driehoeke kongruent is of nie. Gee redes vir jou antwoorde. As daar nie genoeg inliging is om 'n besluit te neem nie, sê hoekom.

   

Vierhoeke

'n Vierhoek is 'n geslote vier-sydige figuur. Daar is 'n aantal spesiale vierhoeke (trapesium, parallelogram, vlieër, rombus, reghoek, vierkant) waaroor jy later sal leer in Geometry .

Ander poligone

Daar is baie ander poligone waarvan sommige gegee word in die tabel hieronder.

Hoeke van reëlmatige poligone

Jy kan die grootte van die binnehoek van 'n reëlmatige poligoon as volg bereken:

waar $n$ die aantal sye is en $\widehat{A}$ enige hoek is.

Opsomming

• Maak seker dat jy weet wat die volgende terme beteken: vierhoeke, hoekpunte, sye, hoeke, parallelle lyne, loodregte lyne, diagonale/hoeklyne, halveerlyne en snylyne.
• Die eienskappe van driehoeke is bespreek.
• Kongruensie en gelykvormigheid van driehoeke is belangrike konsepte.
• Hoeke kan geklassifiseer word as skerp, reghoekig, stomp, gestrek, refleks of omwenteling.
• Die Stelling van Pythagoras word gebruik om die lengtes van die sye van reghoekige driehoeke te bereken.
• Hoeke:
  • Skerphoek: 'n Hoek tussen $0^{\circ }$ en ${90}^{\circ }$
  • Regte hoek: 'n Hoek van ${90}^{\circ }$
  • Stomphoek: 'n Hoek tussen ${90}^{\circ }$ en ${180}^{\circ }$
  • Gestrekte hoek: 'n Hoek van ${180}^{\circ }$
  • Reflekse hoek: 'n Hoek tussen ${180}^{\circ }$ en ${360}^{\circ }$
  • Omwenteling: 'n Hoek van ${360}^{\circ }$
• Hoeke het verskillende eienskappe en spesiale name daarvoor.
• Daar is verskeie tipes driehoeke: gelyksydig, gelykbenig, reghoekig, skerphoekig.
• Die hoeke van 'n driehoek is saam ${180}^{\circ .}$

Oefeninge

1. Vind al die pare parallelle lyne in die volgende figure en gee redes in elke geval.

   1. 

   2. 

   3. 

2. Vind hoeke $a$ , $b$ , $c$ en $d$ gee redes in elke geval.

   1. 

   2. 

   3. 

3. Identifiseer watter van die volgende pare driehoeke is kongruent en gee redes.

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

Probleem met 'n uitdaging

1. Toon aan dat die som van die drie hoeke van 'n driekhoek gelyk is aan 180 ${}^{\circ }$ deur gebruik te maak van die skets hieronder. Lyn $DE$ is parallel aan $BC$ .