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Este modulo define la desigualdad de Cauchy-Schwarz y discute algunos de sus usos prácticos, especialmente en el detector de filtro acoplado. También, provaremos la desigualdad de CS para espacios vectoriales reales.

Introducción

Recordando que en 2 , x y x y θ

x y x y
La misma relación se mantiene para espacios de producto interno .

Desigualdad de cauchy-schwarz

Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Para x , y en un espacio de producto interno x y x y que mantiene la igualdad si y solo si x y y son linealmente dependientes , es decir x α y para un escalar α .

Detector de filtro acoplado

También conocido como una de las aplicaciones de Cauchy-Schwarz.

Conceptos detrás de los filtros acoplados

Dados dos vectores, f y g , entonces la desigualdad de Cauchy-Schwarz CSI (Cauchy-Schwarz Inequality) es maximizada cuando f α g . Esto nos dice que:

  • f es en la misma "dirección" como g .
  • Si f y g son funciones, f α g significa que f y g tienen la misma forma.
Por ejemplo, suponiendo que tenemos un conjunto de señales, definidas como g 1 t g 2 t g k t , y que queremos ser capaces de decir cual, y si alguna de estas señales se asemeja a otra señal dada f t .
Para poder encontrar las señal(es) que se asemeja a f t tomamos el producto interno. Si g i t se asemeja a f t , entonces el valor absoluto del producto interno, f t g i t , será largo .
Esta idea de ser capaz de medir el rango de dos señales “semejantes” nos da un Detector de Filtro Acoplado .

Comparando señales

El simple uso de Filtro Acoplado será tomar un conjunto de “candidatos” de señales, digamos que nuestro conjunto de g 1 t g 2 t g k t , y tratar de acoplarla a nuestra “plantilla” de señal, f t . Por ejemplo digamos que tenemos las siguientes plantillas ( ) y señales de candidatos ( ):

Señal platilla

Nuestra señal de la queremos encontrar una semejante a esta.

Señales candidatas

Claramente podemos ver cual de las señales nos dará una mejor semejanza a nuestra señal de platilla.

Ahora si nuestra única pregunta fuera cual de estas funciones se acerca mas f t entonces fácilmente tenemos la respuesta basada en la inspección g 2 t . Sin embargo, este no siempre será el caso. También querremos obtener un método o algoritmo que pueda automatizar estas comparaciones. O tal vez queramos tener un valor cuantitativo expresando que tan similares son las señales. Para tratar estas especificaciones, presentaremos un método mas formal para comparar señales, el cual, tal como se menciono anteriormente, esta basado en el producto interno.

Para poder ver cuales de las señales candidatas, g 1 t ó g 2 t , mejor se asemeja a f t % necesitamos realizar los siguientes pasos:

  • Normalice g i t
  • Tome el producto interno con f t
  • Encuentre el más grande
O ponerlo matemáticamente
Mejor candidato i f g i g i

Encontrando un patrón

Extendiendo estos pensamientos del Filtro Acoplado para encontrar semejanzas entre señales, podemos usar la idea de buscar un patrón en una señal larga. La idea es simplemente realizar en varias ocasiones el mismo cálculo como lo hicimos anteriormente; sin embargo, ahora en lugar de calcular en diferentes señales, simplemente realizamos el producto interno con una versión diferente cambiada por nuestra señal patrón. Por ejemplo, digamos que tenemos las siguientes dos señales: una señal patrón ( ) y una señal larga ( ).

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Source:  OpenStax, Señales y sistemas. OpenStax CNX. Sep 28, 2006 Download for free at http://cnx.org/content/col10373/1.2
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