7.3 Espacios de hilbert

Espacios de hilbert

Un espacio vectorial $S$ con un producto interno válido definido enél es llamado espacio de producto interno , que tmabién es espacio lineal normado . Un espacio de Hilbert es un espacio de producto interno que es completo con respecto a la norma definida usando el producto interno. Los espacios de Hilbert fueron nombrados después de que David Hilbert , convirtiera esta idea a través de sus estudios de ecuaciones integrales. Definimos nuestra norma utilizando el producto interno como:

Ejemplos de espacios de hilbert

A continuación mostraremos una lista de algunos ejemplos de espacios de Hilbert . Usted puede verificar que son validos para estudios de producto interno.

• Para $\mathbb{C}^n$ , $$x\cdot y=y^Tx=\begin{pmatrix}\overline{y_0} & \overline{y_1} & \dots & \overline{y_{n-1}}\\ \end{pmatrix}\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ ⋮\\ x_{n-1}\end{array}\right)=\sum_{i=0}^{n-1} x_i\overline{y_i}$$
• Espacio de funciones de energía finita compleja: $L^2(\mathbb{R})$ $$f\cdot g=\int \,d t$$∞ ∞ f t g t
• Espacio de secuencias sumables cuadradas: ${\ell }^2(\mathbb{Z})$ $$x\cdot y=\sum$$∞ ∞ x i y i