7.2 Producto interno

Definición: producto interno

De seguro ya tiene una idea del producto interno , también conocido como producto punto , en $\mathbb{R}^n$ de alguno de sus cursos de matemáticas o de cómputo. Si no, definiremos el producto interno de la siguiente manera, tenemos dados algunas $x\in \mathbb{R}^n$ y $y\in \mathbb{R}^n$

Producto Interno

El producto interno esta definido matemáticamente de la siguiente manera:

$x\cdot y=y^Tx=\begin{pmatrix}{y}_0 & y_1 & \dots & y_{n-1}\\ \end{pmatrix}\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ ⋮\\ x_{n-1}\end{array}\right)=\sum_{i=0}^{n-1} x_i{y}_i$

Producto interno en 2-d

Si tenemos $x\in \mathbb{R}^2$ y $y\in \mathbb{R}^2$ , entonces podemos escribir el producto interno como:

Geométricamente, el producto interno nos dice sobre la fuerza de $x$ en la dirección de $y$ .

Las siguientes características son dadas por el producto interno:

• $x\cdot y$ mide la longitud de la proyección de $y$ sobre $x$ .
• $x\cdot y$ es el máximo (dadas $(x)$ , $(y)$ ) donde $x$ y $y$ estan en la misma dirección ( $(\theta =0)\implies (\cos \theta =1)$ ).
• $x\cdot y$ es cero cuando $(\cos \theta =0)\implies (\theta =90°)$ , es decir $x$ y $y$ son ortogonales .

Reglas del producto interno

En general el producto interno en un espacio vectorial complejo es solo una función (tomando dos vectores y regresando un número complejo) que satisface ciertas condiciones:

• Simetria Conjugada: $$x\cdot y=\overline{x\cdot y}$$
• Escalado: $$\alpha x\cdot y=\alpha (x\cdot y)$$
• Aditividad: $$x+y\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$$
• "Positividad": $$\forall x, x\neq 0\colon x\cdot x> 0$$

Ortogonal

Decimos que $x$ y $y$ son ortogonales si: $$x\cdot y=0$$