5.5 Eigenfunciones de los sistemas lti

IntroducciÓN

Ahora que ya esta familiarizado con la noción de eigenvector de una“matriz de sistema”, si no lo esta de un pequeño repaso a las generalidades de eigenvectores y eigenvalores . También podemos convertir las mismas ideas para sistemas LTI actuando en señales. Un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) $\mathscr{H}$ operando en una salida continua $f(t)$ para producir una salida continua en el tiempo $y(t)$

La matemática es análoga a una matriz $A$ de $N$ x $N$ operando en un vector $x\in {ℂ}^N$ para producir otro vector $b\in {ℂ}^N$ (véase matrices y sistemas LTI para una descripción).

Solo como un eigenvector de $A$ es $v\in {ℂ}^N$ tal que $Av=\lambda v$ , $\lambda \in \mathbb{C}$ ,

Las Eiegenfunciones son las señales mas simples possibles para $\mathscr{H}$ πpara operar en ellas: para calcular la salida, simplemente multiplicamos la entrada por un número complejo $\lambda$ .

Eigenfunciones para cualquier sistema lti

La clase de sistemas LTI tiene un conjunto de eigenfunciones en común: el exponencial complejo $e^{st}$ , $s\in \mathbb{C}$ son eigenfunciones para todo sistema LTI.

Podemos probar la expresando la salida como una convolución de la entrada $e^{st}$ y de la respuesta al impulso $h(t)$ de $\mathscr{H}$ :

Ya que la acción del operador LTI en esta eigenfunción $e^{st}$ es fácil de calcular y de interpretar, es conveniente representar una señal arbitraria $f(t)$ como una combinación lineal de exponentes complejos. Las Series de Fourier nos dan la representación para una señal periódica continua en el tiempo, mientras que (poco más complicada) transformada de Fourier nos deja expandir señales arbitrarias de tiempo continuo.