5.3 Некои типови диференцијални равенки од втор ред

Пример 1.

Да се реши диференцијалната равенка $y^{\text{'}\text{'}}=x^2-\mathrm{2x}+\text{sin}x$ .

Решение.

Од

$y^{\text{'}\text{'}}=x^2-\mathrm{2x}+\text{sin}x$

преку интегрирање се добива

$y^{\text{'}}=\int (x^2-\mathrm{2x}+\text{sin}x)\text{dx}+C_1$

или

$y^{\text{'}}=\frac{x^3}{3}-x^2-\text{cos}x+C_1$ ,

а после уште едно интегрирање

$y=\int \left(\frac{x^3}{3}-x^2-\text{cos}x+C_1\right)\text{dx}+C_2$

и решавање на интегралот, се добива општото решение на диференцијалната равенка

$y=\frac{x^4}{\text{12}}-\frac{x^3}{3}-\text{sin}x+C_{1}x+C_2$ .

Пример 2.

Да се реши диференцијалната равенка $y^{\text{'}\text{'}}(x^2+1)=\mathrm{2x}{y}^{\text{'}}$ .

Решение.

Во диференцијалната равенка не се јавува функцијата $y$ и затоа ќе се користи смената

$\begin{array}{}{y}^{\text{'}}=p\\ y^{\text{'}\text{'}}=p^{\text{'}}\end{array}$

со која равенката се сведува на диференцијална равенка од прв ред по функцијата $p$ , односно

$p^{\text{'}}(x^2+1)=2\text{xp}$

или

$p^{\text{'}}=\frac{2\text{xp}}{x^2+1}$ .

Бидејќи $p^{\text{'}}=\frac{\text{dp}}{\text{dx}}$ , диференцијалната равенка е

$\frac{\text{dp}}{\text{dx}}=\frac{2\text{xp}}{x^2+1}$

во која променливите може да се раздвојат

$\frac{\text{dp}}{p}=\frac{\mathrm{2x}}{x^2+1}\text{dx}$

и после интегрирање

$\int \frac{\text{dp}}{p}=\int \frac{\mathrm{2x}}{x^2+1}\text{dx}+C_1$

се добива

$\text{ln}\mid p\mid =\text{ln}(x^2+1)+\text{ln}\mid C_1\mid$

(константата $C_1$ ја запишуваме како логаритам) и затоа

$\text{ln}\mid p\mid =\text{ln}\mid C_1\mid (x^2+1)$ ,

или

$p=C_1(x^2+1)$ .

Од користената смена смената $p=y^{\text{'}}$ повторно се добива диференцијална равенка од прв ред

$y^{\text{'}}=C_1(x^2+1)\text{dx}$

во која променливите се раздвојуваат и по интегрирање

$y=\int C_1(x^2+1)\text{dx}+C_2$

и општото решение ќе гласи

$y=C_1(\frac{x^3}{3}+x)+C_2$ .

Пример 3.

Да се реши диференцијалната равенка $y^{\text{'}\text{'}}-2\text{ctg}x\cdot y^{\text{'}}={\text{sin}}^{3}x\text{.}$

Решение.

Со смената

$\begin{array}{}{y}^{\text{'}}=p\\ y^{\text{'}\text{'}}=p^{\text{'}}\end{array}$

зададената диференцијална равенка се сведува на диференцијална равенка од прв ред

$p^{\text{'}}-2\text{ctg}x\cdot p={\text{sin}}^{3}x$

која е линеарна равенка по $p$ со општо решение

$p=e^{\int 2\text{ctgxdx}}\left(C_1+\int {\text{sin}}^3{\text{xe}}^{-\int 2\text{ctgxdx}}\text{dx}\right)$ .

По решавање на интегралите, општото решение е

$p=e^{2\text{ln}\mid \text{sin}x\mid }\left(C_1+\int {\text{sin}}^3{\text{xe}}^{-2\text{ln}\mid \text{sin}x\mid }\text{dx}\right)$

или

$p=e^{{\text{lnsin}}^{2}x}\left(C_1+\int \frac{{\text{sin}}^{3}x}{e^{{\text{lnsin}}^{2}x}}\text{dx}\right)$ ,

а по средување

$p={\text{sin}}^{2}x\left(C_1+\int \frac{{\text{sin}}^{3}x}{{\text{sin}}^{2}x}\text{dx}\right)$

и по решавање на интегралот се добива

$p={\text{sin}}^{2}x\left(C_1-\text{cos}x\right)$ .

Последната равенка е

$p=C_1{\text{sin}}^{2}x-\text{cos}x{\text{sin}}^{2}x$

и тоа е пак диференцијална равенка од прв ред (променливите се раздвојуваат) со враќање на старата променлива од смената $p=y^{\text{'}}$

$y^{\text{'}}=C_1{\text{sin}}^{2}x-\text{cos}x{\text{sin}}^{2}x$

чие што општо решение е

$y=C_1\int \frac{1-\text{cos}\mathrm{2x}}{2}\text{dx}-\int {\text{sin}}^{2}x\text{cos}\text{xdx}+C_2$

и по решавање на интегралите се добива општото решение

$y=C_1(\frac{x}{2}-\frac{\text{sin}\mathrm{2x}}{4})-\frac{1}{3}\text{sin}{}^{3}x+C_2$ .

Пример 4.

Да се реши диференцијалната равенка $\mathrm{2y}{y}^{\text{'}\text{'}}=1+(y^{\text{'}}{)}^2$ .

Решение.

Со смената

$\begin{array}{}{y}^{\text{'}}=p\\ y^{\text{'}\text{'}}=p\frac{\text{dp}}{\text{dy}}\end{array}$

зададената равенка се сведува на равенка од прв ред

$2\text{yp}\frac{\text{dp}}{\text{dy}}=1+p^2$

која по делење со $2\text{yp}$ се запишува во обликот

$\frac{\text{dp}}{\text{dy}}=\frac{1}{2\text{yp}}+\frac{p^2}{2\text{yp}}$ ,

односно се добива Бернулиева диференцијална равенка по функцијата $p$

$p^{\text{'}}-\frac{1}{\mathrm{2y}}p=\frac{1}{2\text{yp}}$

во која степенот на $p$ е $n=-1$ . Со делење на равенката со $p^{-1}$ се добива

$p^{\text{'}}-\frac{1}{\mathrm{2y}}p=\frac{1}{2\text{yp}}\text{/:}{p}^{-1}$

или

$\frac{p^{\text{'}}}{p^{-1}}-\frac{1}{\mathrm{2y}}\frac{p}{p^{-1}}=\frac{1}{\mathrm{2y}}$

и по средување се добива равенката

$p{p}^{\text{'}}-\frac{1}{\mathrm{2y}}{p}^2=\frac{1}{\mathrm{2y}}$ .

Оваа равенка со смената

$t=p^2\Rightarrow t^{\text{'}}=\mathrm{2p}{p}^{\text{'}}\Rightarrow p{p}^{\text{'}}=\frac{t^{\text{'}}}{2}$

се сведува на

$\frac{t^{\text{'}}}{2}-\frac{1}{\mathrm{2y}}t=\frac{1}{\mathrm{2y}}$

односно се добива линеарна диференцијална равенка од прв ред

$t^{\text{'}}-\frac{1}{y}t=\frac{1}{y}$ .

Решението на оваа равенка е

_{$t=e^{\int \frac{1}{y}\text{dy}}\left(C_1+\int \frac{1}{y}{e}^{-\int \frac{1}{y}\text{dy}}\text{dy}\right)$ ,}

_{$t=e^{\text{ln}\mid y\mid }\left(C_1+\int \frac{1}{y}{e}^{-\text{ln}\mid y\mid }\text{dy}\right)$ ,}

_{$t=y\left(C_1+\int \frac{1}{y^2}\text{dy}\right)$ ,}

_{$t=y\left(C_1-\frac{1}{y}\right)$ ,}

и конечно

$t=C_{1}y-1$ .

Заменувајќи за $t=p^2$ се добива

$p^2=C_{1}y-1\Rightarrow p=\sqrt{C_{1}y-1}$

и пак од замената $p=y^{\text{'}}$ се добива уште една диференцијална равенка од прв ред

$y^{\text{'}}=\sqrt{C_{1}y-1}\Rightarrow \frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\sqrt{C_{1}y-1}$

во која променливите се раздвојуваат

$\int \frac{\text{dy}}{\sqrt{C_{1}y-1}}=\int \text{dx}+C_2$

и по решавање на интегралите се добива

$\frac{2}{C_1}\sqrt{C_{1}y-1}=x+C_2$ ,

а по квадрирање се добива општото решение

$4(C_{1}y-1)=C_1^2(x+C_2{)}^2$ .

Пример 5.

Да се реши диференцијалната равенка $y{y}^{\text{'}\text{'}}=(y^{\text{'}}{)}^2-(y^{\text{'}}{)}^3$ .

Решение.

Се користи смената

$\begin{array}{}{y}^{\text{'}}=p\\ y^{\text{'}\text{'}}=p\frac{\text{dp}}{\text{dy}}\end{array}$

која дадената диференцијална равенка од втор ред ја сведува на диференцијална равенка од прв ред

$\text{yp}\frac{\text{dp}}{\text{dy}}=p^2-p^3$ .

Со средување, горната рвенка се сведува на диференцијална равенка во која променливите се раздвојуваат

$\frac{p}{p^2-p^3}\text{dp}=\frac{\text{dy}}{y}$ ,

$\int \frac{1}{p-p^2}\text{dp}=\int \frac{\text{dy}}{y}+\text{ln}\mid C_1\mid$ .

Интегралот од левата страна $\int \frac{1}{p-p^2}\text{dp}$ се решава како интеграл од дробнорационална функција со две реални и различни решенија

$\frac{1}{p-p^2}=\frac{1}{p(1-p)}$

$\frac{1}{p(1-p)}\equiv \frac{A}{p}+\frac{B}{1-p}\Rightarrow 1\equiv A(1-p)+\text{Bp}\Rightarrow A=\mathrm{1,}B=1$

$\int \frac{1}{p-p^2}\text{dp}=\int \frac{1}{p(1-p)}\text{dp}=\int \frac{1}{p}\text{dp}+\int \frac{1}{1-p}\text{dp}=\text{ln}\mid p\mid -\text{ln}\mid 1-p\mid =\text{ln}\mid \frac{p}{1-p}\mid$

и заменето во решението на диференцијалната равенка

$\text{ln}\mid \frac{p}{1-p}\mid =\text{ln}\mid y\mid +\text{ln}\mid C_1\mid$

доведува до

$\frac{p}{1-p}=C_{1}y$ ,

а оваа равенка ја средуваме

$p=C_{1}y(1-p)$

и добиваме

$p(1+C_{1}y)={\text{yC}}_1$ .

Враќајки се на смената $p=y^{\text{'}}=\frac{\text{dy}}{\text{dx}}$ се добива диференцијална равенка од прв ред во која променливите се раздвојуваат

$\frac{1+C_{1}y}{C_{1}y}\text{dy}=\text{dx}$

чие решение е изаразено преку интегралите

$\int \frac{1}{C_{1}y}\text{dy}+\int \frac{C_{1}y}{C_{1}y}=\int \text{dx}+C_2$ ,

а по нивно решавање општото решение на поставенката диференцијална равенка е

$\frac{1}{C_1}\text{ln}\mid y\mid +y=x+C_2$ .