4.4 Интегрирање на дробнорационални функции

Најпрво да се потсетиме на поимот за полином и некои негови својства.

Функцијата

во која коефициентите $a_i(i=\mathrm{0,}\cdots ,n)$ се константи и а $n$ е природен број или нула се нарекува полином од $n$ -ти ред по променливата $x\text{.}$

Два полинома од ист ред се еднакви ако им се еднакви коефициентите пред соодветните степени на променливата.

Равенката од облик

се нарекува алгебарска равенка, а нејзините $n$ по број нули (решенија на ревнката) се реални или имагинарни.

Секој полином може да се претстави како производ од линерни фактори (множители) од обликот $x-a$ и/или квадратни фактори од обликот ${\text{ax}}^2+\text{bx}+c$ кои не се сведуваат на линерани фактори.

Количникот на два полинома $P_n(x)$ и $Q_m(x)$ т.е. $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ се нарекува дробнорационална функција. Ако за степените на полиномите од броителот и именителот важи:

• функцијата е права дробнорационална функција ;
• $n\ge m,$ функција е неправа д робнорационална функција .

Секоја неправа дробнорационална функција со делење може да се сведе на права.

Пример 1.

Сведување на права дробнорационална функција по претходно делење на полиномите од броителот и именителот:

Типови дробнорационални функции

Секоја права дробнорационална функција може да се разложи на сума од елементарни дробнорационални функции од обликот $\frac{A}{(x-a{)}^k}$ или $\frac{\text{Bx}+C}{({\text{ax}}^2+\text{bx}+c{)}^k}$ каде $A,B,C$ се константи, а $k\in N\text{.}$ Во зависност од обликот на факторите од именителот, дробнорационалните функции се делат на четири типови и за секој од нив се дава постапка за нивно разложување со цел тие полесно да се интегрираат.

Тип i. именител со различни линеарни фактори

Нека именителот на дробнорационалната функција се факторизира со различни линерани фактори. На секој линеарен фактор $x-a$ од именителот му соодветствува собирок од облик $\frac{A}{x-a},$ при што коефициентот $A$ треба да се определи. Интегралот од овој тип дробнорационални функции е сума од логаритамски функции, бидејќи дробнорационалната функција се спретставува со сума од елементарни функции од облик $\frac{A}{x-a},$ а нивниот интеграл е

Пример 2.

Да се пресмета

Подинтегралната функција е дробнорационална и затоа најпрво се факторизира именителот:

Бидејќи сите фактори на именителот се линерани и различни (именителот има три реални и различни нули), дробнорационалната функција се разложува на три собирока од обликот:

и ако се ослободиме од именителот се добива

и по средување на полиномот од десната страна по степените на $x$

Определувањето на коефициентите $A,B,C$ може да се изврши на два начина.

Прв начин :

Применувајќи ја особината за еднаквост на два полинома, од левата и десната страна на равенството, со изедначување на коефициентите пред соодветните степени на променливата $x$ се добива системот линеарни равенки