4.2 Тангентна рамнина и нормала

Ќе ги определиме равенките на тангентната рамнина и нормалата на површината $f(x,y)$ во нејзината точка $A(x_0,y_0,z_0)$ ако површината е глатка, т. е. функцијата и нејзините парцијални изводи постојат во таа точка

Најпрво се дефинира нормален вектор на површина во дадена точка.

Дефиниција.

Векторот

$\overrightarrow{n}=\left\{\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x},\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y},-1\right\}$

е нормален вектор на површи­ната $f(x,y)$ во точката $A(x_0,y_0,z_0)$ .

Ако површината е зададена во имплицитен облик $F(x,y,z)=0$ , тогаш нормалниот вектор во точката е $A(x_0,y_0,z_0)$ е

$\overrightarrow{n}=\left\{\frac{\partial F(x_0,y_0,z_0)}{\partial x},\frac{\partial F(x_0,y_0,z_0)}{\partial y},\frac{\partial F(x_0,y_0,z_0)}{\partial z}\right\}$ .

Тангентна рамнина

Тангентна рамнина на површина е рамнина која ја допира површината во една точка (Сл. 1).

Слика 1. Тангентна рамнина на површината $f(x,y)$ во точката $A$

Равенката на тангентна рамнина на површината $f(x,y)$ во точката $A(x_0,y_0,z_0)$ од дадената површина е

$\frac{\partial f(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f(x_0,y_0,z_0)}{\partial y}(y-y_0)-(z-z_0)=0$

или

$z-z_0=\frac{\partial f(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f(x_0,y_0,z_0)}{\partial y}(y-y_0)\text{.}$

Тангентната рамнина се добива како равенка на рамнина низ дадена точка од површината и е нормална на векторот $\overrightarrow{n}$ (дел од аналитичка геометрија; точка-нормала облик равенка на рамнина.)

Ако површината е зададена со имплицитната равенка $F(x,y,z)=0$ , тангентната рамнина ќе има равенка

$\frac{\partial F(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial F(x_0,y_0,z_0)}{\partial y}(y-y_0)+\frac{\partial F(x_0,y_0,z_0)}{\partial z}(z-z_0)=0\text{.}$

Нормала

Нормала низ точката $A(x_0,y_0,z_0)$ е права која минува низ таа точка и е нормална на тангентната рамнина.

Равенката на нормалата на површината $f(x,y)$ во точката $A(x_0,y_0,z_0)$ се добива преку формулата за равенка на права низ точка $A(x_0,y_0,z_0)$ паралелна со векторот $\overrightarrow{n}$ :

$\frac{x-x_0}{\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}}=\frac{y-y_0}{\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}}=\frac{z-z_0}{-1}\text{.}$

За површина зададена со имплицитната равенка $F(x,y,z)=\mathrm{0,}$ равенката на нормалата е

$\frac{x-x_0}{\frac{\partial F(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}}=\frac{y-y_0}{\frac{\partial F(x_0,y_0,z_0)}{\partial y}}=\frac{z-z_0}{\frac{\partial F(x_0,y_0,z_0)}{\partial z}}\text{.}$

Пример 1 . Да се напише равенката на тангентната рамнина на елипсоидот $x^2+{\mathrm{2y}}^2+z^2=1$ која е паралелна со рамнината $x-y+\mathrm{2z}=0$ .

Решение . Бидејќи елипсоидот е зададен со равенка во имплицитен облик, парцијалните изводи се $F_x^{\text{'}}=\mathrm{2x},F_y^{\text{'}}=\mathrm{4y},F_z^{\text{'}}=\mathrm{2z},$ а тангентната рамнина ќе биде од обликот

${\mathrm{2x}}_0(x-x_0)+{\mathrm{4y}}_0(y-y_0)+{\mathrm{2z}}_0(z-z_0)=0\text{.}$

Точката $A(x_0,y_0,z_0)$ во која треба да се повлече тангентната рамнина не се знае и таа ќе се определи од условот за паралелност на две рамнини (тангентната рамнина и дадената рамнина $x-y+\mathrm{2z}=0$ )

$\frac{{\mathrm{2x}}_0}{1}=\frac{{\mathrm{4y}}_0}{-1}=\frac{{\mathrm{2z}}_0}{2}$

и условот точката да лежи на елипсоидот

$x_0^2+{\mathrm{2y}}_0^2+z_0^2=1$ .

Овие услови го даваат следниот системот равенки

$\frac{{\mathrm{2x}}_0}{1}=\frac{{\mathrm{4y}}_0}{-1}$

$\frac{{\mathrm{2x}}_0}{1}=\frac{{\mathrm{2z}}_0}{2}$

$x_0^2+{\mathrm{2y}}_0^2+z_0^2=1$

односно ситемот

$\begin{array}{}-\frac{1}{2}{x}_0=y_0\\ {\mathrm{2x}}_0=z_0\end{array}$

$x_0^2+{\mathrm{2y}}_0^2+z_0^2=1\text{.}$

Со замена на првите две равенки во третата равенка се добива квадратната равенка

$x_0^2+2{\left(\frac{-x_0}{2}\right)}^2+{\left({\mathrm{2x}}_0\right)}^2=1$

чии решенија се

$x_0=\pm \sqrt{\frac{2}{\text{11}}},y_0=\mp \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{\text{11}}},z_0=\pm 2\sqrt{\frac{2}{\text{11}}}$ ,

а тоа значи дека постојат две точки на елипсоидот

$A_1\left(\sqrt{\frac{2}{\text{11}}},-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{\text{11}}},2\sqrt{\frac{2}{\text{11}}}\right)$

и

$A_2\left(-\sqrt{\frac{2}{\text{11}}},\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{\text{11}}},-2\sqrt{\frac{2}{\text{11}}}\right)$

во кои тангентните рамнини се паралелни со дадената рамнина, односно постојат две тангентни рамнини.

Равенките на бараните тангентни рамнини се:

Во точката $A_1\left(\sqrt{\frac{2}{\text{11}}},-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{\text{11}}},2\sqrt{\frac{2}{\text{11}}}\right)$ тангентната рамнина е $x-y+\mathrm{2z}=\sqrt{\frac{\text{11}}{2}}$ ,

а во точката $A_2\left(-\sqrt{\frac{2}{\text{11}}},\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{\text{11}}},-2\sqrt{\frac{2}{\text{11}}}\right)$ тангентната рамнина е $x-y+\mathrm{2z}=-\sqrt{\frac{\text{11}}{2}}$ . ◄