1. Home
  2. Математика 1
  3. Диференцијално сметање за функции
  4. Лопиталово правило

3.8 Лопиталово правило

<< Chapter < Page
  Математика 1   Page 1 / 1
Chapter >> Page >
Се дава поедноставен облик на Лопиталово правило и негова примена во пресметување на гранична вредност на функција во некој облик на неопределонст кога тоа може да се примени. Методот е илустриран со примери.

Лопиталово правило

Лопиталовата теорема е позната под името Лопиталово правило и се користи за наоѓање на гранична вредност во некој од неопределените облици:

0 0 , ∞ ∞ , ∞ − ∞ , ∞ ⋅ 0,0 0 , ∞ 0 , 1 ∞ . size 12{ { {0} over {0} } , { { infinity } over { infinity } } , infinity - infinity , infinity cdot 0,0 rSup { size 8{0} } , infinity rSup { size 8{0} } ,1 rSup { size 8{ infinity } } "." } {}

Лопиталово правило

Ако f ( x ) size 12{f \( x \) } {} и g ( x ) size 12{g \( x \) } {} се две непрекинати и диференцијабилни функции и ако

lim x → a f ( x ) = lim x → a g ( x ) = 0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =0} {}

или

lim x → a f ( x ) = lim x → a g ( x ) = ± ∞ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) = +- infinity } {}

и ако постои lim x → a f ' ( x ) g ' ( x ) , size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f rSup { size 8{'} } \( x \) } over {g rSup { size 8{'} } \( x \) } } ,} {} тогаш

lim x → a f ( x ) g ( x ) = lim x → a f ' ( x ) g ' ( x ) . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f \( x \) } over {g \( x \) } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f rSup { size 8{'} } \( x \) } over {g rSup { size 8{'} } \( x \) } } "." } {}

Ова правило многу ја олеснува постапката на наоѓање гранична вредност на функција од неопределен облик. Правилото ке го илустрираме преку неколку примери.

Пример 1.

(тип на неопределеност 0 0 size 12{ { {0} over {0} } } {} )

lim x → 0 lncos x x 2 = lim x → 0 lncos x ' x 2 ' = lim x → 0 − sin x cos x 2x = − lim x → 0 tan x 2x = − lim x → 0 tan x ' ( 2x ) ' = − lim x → 0 1 cos 2 x 2 = − 1 2 . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { {"lncos"x} over {x rSup { size 8{2} } } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { { left ("lncos"x right ) rSup { size 8{'} } } over { left (x rSup { size 8{2} } right ) rSup { size 8{'} } } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { { - { {"sin"x} over {"cos"x} } } over {2x} } = - {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { {"tan"x} over {2x} } = - {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { { left ("tan"x right ) rSup { size 8{'} } } over { \( 2x \) rSup { size 8{'} } } } = - {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { { { {1} over {"cos" rSup { size 8{2} } x} } } over {2} } = - { {1} over {2} } "." } {}

Пример 2.

(тип на неопределеност ∞ ∞ size 12{ { { infinity } over { infinity } } } {} )

lim x → + ∞ 3x 2 − 5x e x − 10 = lim x → + ∞ ( 3x 2 − 5x ) ' ( e x − 10 ) ' = lim x → + ∞ 6x − 5 e x = lim x → + ∞ ( 6x − 5 ) ' ( e x ) ' = lim x → + ∞ 6 e x = 0 . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow + infinity } } { {3x rSup { size 8{2} } - 5x} over {e rSup { size 8{x} } - "10"} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow + infinity } } { { \( 3x rSup { size 8{2} } - 5x \) rSup { size 8{'} } } over { \( e rSup { size 8{x} } - "10" \) rSup { size 8{'} } } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow + infinity } } { {6x - 5} over {e rSup { size 8{x} } } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow + infinity } } { { \( 6x - 5 \) rSup { size 8{'} } } over { \( e rSup { size 8{x} } \) rSup { size 8{'} } } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow + infinity } } { {6} over {e rSup { size 8{x} } } } =0 "." } {}

Пример 3.

(тип на неопределеност ∞ − ∞ size 12{ infinity - infinity } {} )

Задачите од овој тип се сведуваат под заеднички именител и ако е случај со неопределеност 0 0 size 12{ { {0} over {0} } } {} или ∞ ∞ size 12{ { { infinity } over { infinity } } } {} се применува Лопиталовото правило.

lim x → 2 4 x 2 − 4 − 1 x − 2 = lim x → 2 4 − ( x + 2 ) x 2 − 4 = lim x → 2 2 − x x 2 − 4 = lim x → 2 − 1 2x = − 1 4 . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } left ( { {4} over {x rSup { size 8{2} } - 4} } - { {1} over {x - 2} } right )= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } { {4 - \( x+2 \) } over {x rSup { size 8{2} } - 4} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } { {2 - x} over {x rSup { size 8{2} } - 4} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } { { - 1} over {2x} } = - { {1} over {4} } "." } {}

Пример 4.

(тип на неопределеност ∞ ⋅ 0 size 12{ infinity cdot 0} {} )

Задачите од овој тип неопределеност преку една од трансформациите

∞ ⋅ 0 = 1 0 ⋅ 0 = 0 0 size 12{ infinity cdot 0= { {1} over {0} } cdot 0= { {0} over {0} } } {} или ∞ ⋅ 0 = ∞ ⋅ 1 ∞ = ∞ ∞ size 12{ infinity cdot 0= infinity cdot { {1} over { infinity } } = { { infinity } over { infinity } } } {}

се сведуваат на некоја од неопеделеностите 0 0 size 12{ { {0} over {0} } } {} или ∞ ∞ size 12{ { { infinity } over { infinity } } } {} кога единствено може да се примени Лопиталово правило.

lim x → − ∞ x 2 e x = lim x → − ∞ x 2 e − x = lim x → − ∞ ( x 2 ) ' ( e − x ) ' = lim x → − ∞ 2x − e − x = − lim x → − ∞ ( 2x ) ' ( e − x ) ' = − lim x → − ∞ 2 − e − x = 0 . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow - infinity } } x rSup { size 8{2} } e rSup { size 8{x} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow - infinity } } { {x rSup { size 8{2} } } over {e rSup { size 8{ - x} } } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow - infinity } } { { \( x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{'} } } over { \( e rSup { size 8{ - x} } \) rSup { size 8{'} } } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow - infinity } } { {2x} over { - e rSup { size 8{ - x} } } } = - {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow - infinity } } { { \( 2x \) rSup { size 8{'} } } over { \( e rSup { size 8{ - x} } \) rSup { size 8{'} } } } = - {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow - infinity } } { {2} over { - e rSup { size 8{ - x} } } } =0 "." } {}

Пример 5.

(тип на неопределеност 0 0 , ∞ 0 , 1 ∞ size 12{0 rSup { size 8{0} } , infinity rSup { size 8{0} } ,1 rSup { size 8{ infinity } } } {} )

Задачите кои содржат некој од овие типови неопределеност се решаваат со претходно логаритмирање за да се доведат на некоја од неопределеностите 0 0 size 12{ { {0} over {0} } } {} или ∞ ∞ size 12{ { { infinity } over { infinity } } } {} . Мора да се води сметка дека вредноста добиена со логаритмирање не е границата, туку логаритам од границата и затоа треба да се антилогаритмира!

lim x → π / 2 ( tan x ) 2x − π size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } \( "tan"x \) rSup { size 8{2x - π} } } {}

Оваа граница е од обликот ∞ 0 size 12{ infinity rSup { size 8{0} } } {} и затоа границата ја логаритмираме

ln lim x → π / 2 ( tan x ) 2x − π = lim x → π / 2 ln ( tan x ) 2x − π = lim x → π / 2 ( 2x − π ) lntan x = ( 0 ⋅ ∞ ) = lim x → π / 2 lntan x 1 2x − π = ∞ ∞ = lim x → π / 2 ( lntan x ) ' 1 2x − π ' = lim x → π / 2 1 tan x ⋅ 1 cos 2 x − 2 ( 2x − π ) 2 = alignl { stack { size 12{"ln" {"lim"} cSub{ size 8{x rightarrow π/2} } \( "tan"x \) rSup { size 8{2x - π} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } "ln" \( "tan"x \) rSup { size 8{2x - π} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } \( 2x - π \) "lntan"x= \( 0 cdot infinity \) ={}} {} # = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } { {"lntan"x} over { { {1} over {2x - π} } } } = left ( { { infinity } over { infinity } } right )= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } { { \( "lntan"x \) rSup { size 8{'} } } over { left ( { {1} over {2x - π} } right ) rSup { size 8{'} } } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } { { { {1} over {"tan"x} } cdot { {1} over {"cos" rSup { size 8{2} } x} } } over { { { - 2} over { \( 2x - π \) rSup { size 8{2} } } } } } ={} {}} } {}

= − lim x → π / 2 ( 2x − π ) 2 sin 2x = 0 0 = − lim x → π / 2 [ ( 2x − π ) 2 ] ' ( sin 2x ) ' = − lim x → π / 2 2 ( 2x − π ) 2 cos 2x = 0 1 = 0 . size 12{ {}= - {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } { { \( 2x - π \) rSup { size 8{2} } } over {"sin"2x} } = left ( { {0} over {0} } right )= - {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } { { \[ \( 2x - π \) rSup { size 8{2} } \] rSup { size 8{'} } } over { \( "sin"2x \) rSup { size 8{'} } } } = - {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } { {2 \( 2x - π \) } over {2"cos"2x} } = { {0} over {1} } =0 "." } {}

Бидејќи добивме

ln lim x → π / 2 ( tan x ) 2x − π = 0 size 12{"ln" {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } \( "tan"x \) rSup { size 8{2x - π} } =0} {}

после антилогаритмирање следува дека

lim x → π / 2 ( tan x ) 2x − π = e 0 = 1 . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } \( "tan"x \) rSup { size 8{2x - π} } =e rSup { size 8{0} } =1 "." } {}
<< Chapter < Page Page > Chapter >>

Read also:

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Математика 1. OpenStax CNX. Nov 17, 2014 Download for free at http://legacy.cnx.org/content/col11377/1.12
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Математика 1' conversation and receive update notifications?

Ask