<< Chapter < Page Chapter >> Page >
Се дава постапка за пресметување на изводи и диференцијали од повисок ред.

Изводи и диференцијали од повисок ред

Најпрво ќе покажеме како се пресметува извод од повисок ред.

Извод од повисок ред

Знаеме дека функцијата може да биде зададена на повеќе различни начини, затоа посебно ќе се објасни како се пресметуваат изводите од повисок ред од експлицитна функција, од имплицитна функција и од функција зададена во параметарски облик.

Функција во експлицитен облик

Нека функцијата y = f ( x ) size 12{y=f \( x \) } {} е дифернцијабилна на интервалот ( a , b ) size 12{ \( a,b \) } {} и нека нејзиниот прв извод е y ' = f ' ( x ) size 12{ { {y}} sup { ' }= { {f}} sup { ' } \( x \) } {} . Првиот извод на функцијата f ' ( x ) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) } {} во општ случај е функција од x size 12{x} {} и од него пак може да се бара извод по x size 12{x} {} . Изводот од првиот извод се нарекува втор извод на функцијата или извод од втор ред и се означува со

f ' ( x ) = f ' ' ( x ) size 12{ left ( { {f}} sup { ' } \( x \) right ) rSup { size 8{′} } = { {f}} sup { '' } \( x \) } {} или ( y ' ) ' = y ' ' size 12{ \( { {y}} sup { ' } { { \) }} sup { ' }= { {y}} sup { '' }} {} .

Аналогно, извод од вториот извод е трет извод , при што

f ' ' ( x ) = f ' ' ' ( x ) size 12{ left ( { {f}} sup { '' } \( x \) right ) rSup { size 8{′} } = { {f}} sup { ''' } \( x \) } {} или ( y ' ' ) ' = y ' ' ' size 12{ \( { {y}} sup { '' } { { \) }} sup { ' }= { {y}} sup { ''' }} {} и т.н.

Изводите од втор, трет и повисок ред под заедничко име се нарекуваат изводи од пов и сок ред .

Пример 1.

Да се пресмета y ' ' size 12{ { {y}} sup { '' }} {} ако y = ln ( x + x 2 + 1 ) size 12{y="ln" \( x+ sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} \) } {} .

Решение.

Првиот извод е

y ' = ln ( x + x 2 + 1 = 1 x + x 2 + 1 ( 1 + 2x 2 x 2 + 1 ) = 1 x 2 + 1 size 12{ { {y}} sup { ' }= left ("ln" \( x+ sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} right ) rSup { size 8{′} } = { {1} over {x+ sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } } \( 1+ { {2x} over {2 sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } } \) = { {1} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } } } {} ,

а вториот извод е

y ' ' = 1 x 2 + 1 = 2x 2 x 2 + 1 x 2 + 1 = x ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 size 12{ { {y}} sup { '' }= left ( { {1} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } } right ) rSup { size 8{′} } = { { - { {2x} over {2 sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } } } over {x rSup { size 8{2} } +1} } = - { {x} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } } } {} .

Пример 2.

Да се докаже дека функцијата y = cos e x + sin e x size 12{y="cos"e rSup { size 8{x} } +"sin"e rSup { size 8{x} } } {} ја задоволува равенката y ' ' y ' + ye 2x = 0 size 12{ { {y}} sup { '' } - { {y}} sup { ' }+ ital "ye" rSup { size 8{2x} } =0} {} .

Решение .

Се пресметуваат првиот и вториот извод:

y ' = e x sin e x + e x cos e x size 12{ { {y}} sup { ' }= - e rSup { size 8{x} } "sin"e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{x} } "cos"e rSup { size 8{x} } } {} ,

y ' ' = e x sin e x e x e x cos e x + e x cos e x e x e x sin e x size 12{ { {y}} sup { '' }= - e rSup { size 8{x} } "sin"e rSup { size 8{x} } - e rSup { size 8{x} } e rSup { size 8{x} } "cos"e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{x} } "cos"e rSup { size 8{x} } - e rSup { size 8{x} } e rSup { size 8{x} } "sin"e rSup { size 8{x} } } {} ,

и по средување

y ' ' = e x sin e x e 2x cos e x + e x cos e x e 2x sin e x size 12{ { {y}} sup { '' }= - e rSup { size 8{x} } "sin"e rSup { size 8{x} } - e rSup { size 8{2x} } "cos"e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{x} } "cos"e rSup { size 8{x} } - e rSup { size 8{2x} } "sin"e rSup { size 8{x} } } {} .

Со замена на y , y ' , y ' ' size 12{y, { {y}} sup { ' }, { {y}} sup { '' }} {} во равенката се добива

y ' ' y ' + ye 2x = e x sin e x e 2x cos e x + e x cos e x e 2x sin e x ( e x sin e x + e x cos e x ) + e 2x ( cos e x + sin e x ) = e x sin e x e 2x cos e x + e x cos e x e 2x sin e x + e x sin e x e x cos e x + + e 2x cos e x + e 2x sin e x = 0 alignl { stack { size 12{ { {y}} sup { '' } - { {y}} sup { ' }+ ital "ye" rSup { size 8{2x} } = - e rSup { size 8{x} } "sin"e rSup { size 8{x} } - e rSup { size 8{2x} } "cos"e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{x} } "cos"e rSup { size 8{x} } - e rSup { size 8{2x} } "sin"e rSup { size 8{x} } - {}} {} #- \( - e rSup { size 8{x} } "sin"e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{x} } "cos"e rSup { size 8{x} } \) +e rSup { size 8{2x} } \( "cos"e rSup { size 8{x} } +"sin"e rSup { size 8{x} } \) ={} {} # = - e rSup { size 8{x} } "sin"e rSup { size 8{x} } - e rSup { size 8{2x} } "cos"e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{x} } "cos"e rSup { size 8{x} } - e rSup { size 8{2x} } "sin"e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{x} } "sin"e rSup { size 8{x} } - e rSup { size 8{x} } "cos"e rSup { size 8{x} } +{} {} #+e rSup { size 8{2x} } "cos"e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{2x} } "sin"e rSup { size 8{x} } =0 {} } } {}

што и требаше да се докаже.

Се забележува дека редот на изводот се означува со римски цифри. Бидејки за произволен број n N size 12{n in N} {} не постои соодветен репрезент со римска цифра, изводот на функцијата од n -ти ред се означува со

y ( n ) size 12{y rSup { size 8{ \( n \) } } } {}

што значи дека редот на изводот може на се означи и со конкретен арапски број или со општ број, но тогаш бројот задолжително е во мали загради за да се разликува од ознаката за степен на функција. Затоа на пример, ознаки за изводите се

y v = y ( 5 ) , y x = y ( 10 ) , y xv = y ( 15 ) size 12{y rSup { size 8{v} } =y rSup { size 8{ \( 5 \) } } ,`y rSup { size 8{x} } =y rSup { size 8{ \( "10" \) } } ,`y rSup { size 8{"xv"} } =y rSup { size 8{ \( "15" \) } } } {} и т.н.

Пример 3.

Да се пресмета y ( n ) size 12{y rSup { size 8{ \( n \) } } } {} за функцијата y = xe x size 12{y= ital "xe" rSup { size 8{x} } } {} .

Решение .

Започнуваме со пресметување на изводите. Најпрво првиот извод

y ' = ( xe x ) ' = e x + xe x size 12{ { {y}} sup { ' }= \( ital "xe" rSup { size 8{x} } { { \) }} sup { ' }=e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } } {} ,

потоа вториот извод

y ' ' = ( e x + xe x ) ' = e x + e x + xe x = 2 e x + xe x size 12{ { {y}} sup { '' }= \( e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } { { \) }} sup { ' }=e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } =2e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } } {} ,

третиот извод

y ' ' ' = ( 2 e x + xe x ) ' = 2 e x + e x + xe x = 3 e x + xe x size 12{ { {y}} sup { ''' }= \( 2e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } { { \) }} sup { ' }=2e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } =3e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } } {} .

Од претходно пресметаните изводи може да се претпостави дека y ( n ) size 12{y rSup { size 8{ \( n \) } } } {} ќе биде y ( n ) = ne x + xe x size 12{y rSup { size 8{ \( n \) } } = ital "ne" rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } } {} .

Дека тоа е точно, ќе треба да докажеме дека y ( n + 1 ) = ( n + 1 ) e x + xe x size 12{y rSup { size 8{ \( n+1 \) } } = \( n+1 \) e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } } {} .

За да се пресмета y ( n + 1 ) size 12{y rSup { size 8{ \( n+1 \) } } } {} ќе треба да го диференцираме y ( n ) size 12{y rSup { size 8{ \( n \) } } } {} уште еднаш:

y ( n + 1 ) = ( y ( n ) ) ' = ( ne x + xe x ) ' = ne x + e x + xe x = ( n + 1 ) e x + xe x size 12{y rSup { size 8{ \( n+1 \) } } = \( y rSup { size 8{ \( n \) } } { { \) }} sup { ' }= \( ital "ne" rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } { { \) }} sup { ' }= ital "ne" rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } = \( n+1 \) e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } } {}

и заклучуваме дека навистина

y ( n + 1 ) = ( n + 1 ) e x + xe x size 12{y rSup { size 8{ \( n+1 \) } } = \( n+1 \) e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } } {} ,

со што потврдивме дека претпоставката е точна (за дожување го користевме методот на математичка индукција).

Функција во имплицитен облик

Кога функцијата е зададена во имплицитен облик со равенка F ( x , y ) = 0 size 12{F \( x,y \) =0} {} , оваа имплицитна равенка ја диференцираме член по член по независно пременливата x size 12{x} {} , водејќи сметка дека y size 12{y} {} е функција, односно дека y = y ( x ) size 12{y=y \( x \) } {} . Изразот што се добива за првиот извод уште еднаш се диференцира и се изразува вториот извод. Постапката може и понатаму да продолжи со извод од вториот извод кога се добива извод од трет ред и т.н.

Пример 4.

Да се пресмета y ' ' size 12{ { {y}} sup { '' }} {} за функцијата x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 size 12{ { {x rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } } } + { {y rSup { size 8{2} } } over {b rSup { size 8{2} } } } =1} {} .

Решение .

Бидејќи y ' = dy dx size 12{ { {y}} sup { ' }= { { ital "dy"} over { ital "dx"} } } {} , двете страни на оваа имплицитната равенка (равенка на елипса) ги диференцираме по x size 12{x} {}

d dx x 2 a 2 + y 2 b 2 = d dx ( 1 ) size 12{ { {d} over { ital "dx"} } left ( { {x rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } } } + { {y rSup { size 8{2} } } over {b rSup { size 8{2} } } } right )= { {d} over { ital "dx"} } \( 1 \) } {}

и се добива

2x a 2 + 2y y ' b 2 = 0 size 12{ { {2x} over {a rSup { size 8{2} } } } + { {2y { {y}} sup { ' }} over {b rSup { size 8{2} } } } =0} {}

од каде

y ' = b 2 x a 2 y size 12{ { {y}} sup { ' }= - { {b rSup { size 8{2} } x} over {a rSup { size 8{2} } y} } } {} .

Ако сега првиот извод го диференцираме уште еднаш

d dx ( y ' ) = d dx b 2 x a 2 y size 12{ { {d} over { ital "dx"} } \( { {y}} sup { ' } \) = - { {d} over { ital "dx"} } left ( { {b rSup { size 8{2} } x} over {a rSup { size 8{2} } y} } right )} {}

се добива

y ' ' = b 2 a 2 d dx x y = b 2 a 2 y x y ' y 2 = b 2 a 2 y x b 2 x a 2 y y 2 = b 2 a 2 a 2 y 2 + b 2 x 2 a 2 y y 2 size 12{ { {y}} sup { '' }= - { {b rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } } } cdot { {d} over { ital "dx"} } left ( { {x} over {y} } right )= - { {b rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } } } cdot { {y - x { {y}} sup { ' }} over {y rSup { size 8{2} } } } = - { {b rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } } } cdot { {y - x left ( - { {b rSup { size 8{2} } x} over {a rSup { size 8{2} } y} } right )} over {y rSup { size 8{2} } } } = - { {b rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } } } cdot { { { {a rSup { size 8{2} } y rSup { size 8{2} } +b rSup { size 8{2} } x rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } y} } } over {y rSup { size 8{2} } } } } {}

и со користење на релацијата a 2 y 2 + b 2 x 2 = a 2 b 2 size 12{a rSup { size 8{2} } y rSup { size 8{2} } +b rSup { size 8{2} } x rSup { size 8{2} } =a rSup { size 8{2} } b rSup { size 8{2} } } {} следува дека

y ' ' = b 4 a 2 y 3 size 12{ { {y}} sup { '' }= - { {b rSup { size 8{4} } } over {a rSup { size 8{2} } y rSup { size 8{3} } } } } {} .

Функција во параметарски облик

Кога функцијата е зададена во параметарски облик преку равенките x = x ( t ) , y = y ( t ) size 12{x=x \( t \) ,y=y \( t \) } {} , t size 12{t - {}} {} параметар, вториот извод е извод од првиот извод по променливата x size 12{x} {} . Бидејќи изводот е изразен преку параметарот, затоа целата постапка на диференцирање се изведува преку параметарот преку следната постапка

y ' ' = d dx dy dx = d dx y ˙ x ˙ = d dt dt dx y ˙ x ˙ = d dt y ˙ x ˙ 1 dx dt = y ¨ x ˙ y ˙ x ¨ x ˙ 2 1 x ˙ = y ¨ x ˙ y ˙ x ¨ x ˙ 3 size 12{ { {y}} sup { '' }= { {d} over { ital "dx"} } left ( { { ital "dy"} over { ital "dx"} } right )= { {d} over { ital "dx"} } left ( { { { dot {y}}} over { { dot {x}}} } right )= { {d} over { ital "dt"} } { { ital "dt"} over { ital "dx"} } left ( { { { dot {y}}} over { { dot {x}}} } right )= { {d} over { ital "dt"} } left ( { { { dot {y}}} over { { dot {x}}} } right ) cdot { {1} over { { { ital "dx"} over { ital "dt"} } } } = { { { ddot {y}} { dot {x}} - { dot {y}} { ddot {x}}} over { { dot {x}} rSup { size 8{2} } } } cdot { {1} over { { dot {x}}} } = { { { ddot {y}} { dot {x}} - { dot {y}} { ddot {x}}} over { { dot {x}} rSup { size 8{3} } } } } {}

и конечно запишуваме дека

y ' ' = y ¨ x ˙ y ˙ x ¨ x ˙ 3 size 12{ { {y}} sup { '' }= { { { ddot {y}} { dot {x}} - { dot {y}} { ddot {x}}} over { { dot {x}} rSup { size 8{3} } } } } {} .

Пример 5.

Да се пресмета вториот извод на функцијата x = arcsin t , y = ln ( 1 t 2 ) size 12{x="arcsin"t,y="ln" \( 1 - t rSup { size 8{2} } \) } {} .

Решение .

Ги пресметуваме изводите по параметарот

x ˙ = 1 1 t 2 , x ¨ = 2t 2 1 t 2 1 t 2 = t ( 1 t 2 ) 1 t 2 , y ˙ = 2t 1 t 2 , y ¨ = 2 1 t 2 + 2t 2 ( 1 t 2 ) 2 = 2 1 + t 2 ( 1 t 2 ) 2 , alignl { stack { size 12{ { dot {x}}= { {1} over { sqrt {1 - t rSup { size 8{2} } } } } ,~ { ddot {x}}= { { - { { - 2t} over {2 sqrt {1 - t rSup { size 8{2} } } } } } over {1 - t rSup { size 8{2} } } } = { {t} over { \( 1 - t rSup { size 8{2} } \) sqrt {1 - t rSup { size 8{2} } } } } ,} {} #{ dot {y}}= { { - 2t} over {1 - t rSup { size 8{2} } } } ,~ { ddot {y}}= - 2 { {1 - t rSup { size 8{2} } +2t rSup { size 8{2} } } over { \( 1 - t rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } } } = - 2 { {1+t rSup { size 8{2} } } over { \( 1 - t rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } } } , {} } } {}

и со нивна замена во изразот за втор извод се добива

y ' ' = y ¨ x ˙ y ˙ x ¨ x ˙ 3 = 2 1 + t 2 ( 1 t 2 ) 2 1 1 t 2 2t 1 t 2 t ( 1 t 2 ) 1 t 2 1 1 t 2 3 size 12{ { {y}} sup { '' }= { { { ddot {y}} { dot {x}} - { dot {y}} { ddot {x}}} over { { dot {x}} rSup { size 8{3} } } } = { { - 2 { {1+t rSup { size 8{2} } } over { \( 1 - t rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } } } cdot { {1} over { sqrt {1 - t rSup { size 8{2} } } } } - { { - 2t} over {1 - t rSup { size 8{2} } } } cdot { {t} over { \( 1 - t rSup { size 8{2} } \) sqrt {1 - t rSup { size 8{2} } } } } } over { left ( { {1} over { sqrt {1 - t rSup { size 8{2} } } } } right ) rSup { size 8{3} } } } } {}

и по средување

y ' ' = 2 1 t 2 size 12{ { {y}} sup { '' }= { { - 2} over {1 - t rSup { size 8{2} } } } } {} .

Диференцијали од повисок ред

За функцијата y = f ( x ) size 12{y=f \( x \) } {} диференцијалот се означуваше со

dy = f ' ( x ) dx size 12{ ital "dy"= { {f}} sup { ' } \( x \) ital "dx"} {}

и тој е пак некоја функција од x size 12{x} {} . Ако од диференцијалот побараме пак диференцијал се добива втор диференцијал

d ( dy ) = d 2 y size 12{d \( ital "dy" \) =d rSup { size 8{2} } y} {}

и од правилото за пресметување на диференцијал

d 2 y = f ' ( x ) dx dx = f ' ' ( x ) ( dx ) 2 size 12{d rSup { size 8{2} } y= left ( { {f}} sup { ' } \( x \) ital "dx" right ) rSup { size 8{′} } ital "dx"= { {f}} sup { '' } \( x \) \( ital "dx" \) rSup { size 8{2} } } {} .

Со користење на ознаката ( dx ) 2 = dx 2 size 12{ \( ital "dx" \) rSup { size 8{2} } = ital "dx" rSup { size 8{2} } } {} се добива израз за втор диференцијал

d 2 y = f ' ' ( x ) dx 2 . size 12{d rSup { size 8{2} } y= { {f}} sup { '' } \( x \) ital "dx" rSup { size 8{2} } "." } {}

Со аналогна постапка и се добиваат и диференцијалите од повисок ред:

d 3 y = f ' ' ' ( x ) dx 3 d ( n ) y = f ( n ) ( x ) dx n . alignl { stack { size 12{d rSup { size 8{3} } y= { {f}} sup { ''' } \( x \) ital "dx" rSup { size 8{3} } } {} #dotsvert {} # d rSup { size 8{ \( n \) } } y=f rSup { size 8{ \( n \) } } \( x \) ital "dx" rSup { size 8{n} } "." {}} } {}

Пример 6.

За функцијата y = sin 2 x size 12{y="sin" rSup { size 8{2} } x} {} диференцијалите од втор и трет ред се:

y ' = 2 sin x cos x = sin 2x dy = sin 2 xdx y ' ' = 2 cos 2x d 2 y = 2 cos 2 xdx 2 y ' ' ' = 4 sin 2x d 3 y = 4 sin 2 xdx 3 . alignl { stack { size 12{ { {y}} sup { ' }=2"sin"x"cos"x="sin"2x drarrow ital "dy"="sin"2 ital "xdx"} {} #size 12{ { {y}} sup { '' }=2"cos"2x drarrow d rSup { size 8{2} } y=2"cos"2 ital "xdx" rSup { size 8{2} } } {} # { {y}} sup { ''' }= - 4"sin"2x drarrow d rSup { size 8{3} } y= - 4"sin"2 ital "xdx" rSup { size 8{3} } "." {}} } {}

Questions & Answers

where we get a research paper on Nano chemistry....?
Maira Reply
what are the products of Nano chemistry?
Maira Reply
There are lots of products of nano chemistry... Like nano coatings.....carbon fiber.. And lots of others..
learn
Even nanotechnology is pretty much all about chemistry... Its the chemistry on quantum or atomic level
learn
Google
da
no nanotechnology is also a part of physics and maths it requires angle formulas and some pressure regarding concepts
Bhagvanji
Preparation and Applications of Nanomaterial for Drug Delivery
Hafiz Reply
revolt
da
Application of nanotechnology in medicine
what is variations in raman spectra for nanomaterials
Jyoti Reply
I only see partial conversation and what's the question here!
Crow Reply
what about nanotechnology for water purification
RAW Reply
please someone correct me if I'm wrong but I think one can use nanoparticles, specially silver nanoparticles for water treatment.
Damian
yes that's correct
Professor
I think
Professor
Nasa has use it in the 60's, copper as water purification in the moon travel.
Alexandre
nanocopper obvius
Alexandre
what is the stm
Brian Reply
is there industrial application of fullrenes. What is the method to prepare fullrene on large scale.?
Rafiq
industrial application...? mmm I think on the medical side as drug carrier, but you should go deeper on your research, I may be wrong
Damian
How we are making nano material?
LITNING Reply
what is a peer
LITNING Reply
What is meant by 'nano scale'?
LITNING Reply
What is STMs full form?
LITNING
scanning tunneling microscope
Sahil
how nano science is used for hydrophobicity
Santosh
Do u think that Graphene and Fullrene fiber can be used to make Air Plane body structure the lightest and strongest. Rafiq
Rafiq
what is differents between GO and RGO?
Mahi
what is simplest way to understand the applications of nano robots used to detect the cancer affected cell of human body.? How this robot is carried to required site of body cell.? what will be the carrier material and how can be detected that correct delivery of drug is done Rafiq
Rafiq
if virus is killing to make ARTIFICIAL DNA OF GRAPHENE FOR KILLED THE VIRUS .THIS IS OUR ASSUMPTION
Anam
analytical skills graphene is prepared to kill any type viruses .
Anam
Any one who tell me about Preparation and application of Nanomaterial for drug Delivery
Hafiz
what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Математика 1. OpenStax CNX. Nov 17, 2014 Download for free at http://legacy.cnx.org/content/col11377/1.12
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Математика 1' conversation and receive update notifications?

Ask