3.11 Примена на изводите во испитување и скицирање график на

Примена на изводите во испитување и скицирање график на функција

Под испитување на функција се подразбира низа од различни постапки кои се извршуваат со цел да се добијат информации за функцијата како што се: вредности за кои е дефинирана функцијата, пресечни точки на функцијата со координатните оски, дали функцијата е симетрична, дали има асимптоти, каде расте а каде опаѓа, дали има екстреми, превои. Овие испитувања беа прикажани во делот за Основни својства на функциите и сите овие испитувања водат кон добивање сознанија за особините на функцијата врз чија основа можеме да го скицираме графикот на функцијата.

Затоа постапката за испитување на функцијата $y=f(x)$ , а потоа и скицирање на нејзиниот график, вообичаено се спроведува преку следниве испитувања:

1. ДЕФИНИЦИОНА ОБЛАСТ . Во зависност од обликот на функцијата $f(x)$ се определува нејзината дефинициона област.

2. НУЛИ . Се определуваат пресечните точки на функцијата со координатните оски. Пресечните точки со $x-$ оската се нарекуваат нули на функцијата и се добиваат од $y=0$ , односно преку решавање на равенката $f(x)=0$ . Функцијта може да има една или повеќе нули, но може да нема ниту една. Освен овие нули, бидејќи ќе разгледуваме само еднозначни функции, ќе бараме и пресечна точка на функцијата со $y-$ оската (доколку ја има само една е) и тоа е точката $(\mathrm{0,}f(0))\text{.}$

3. СИМЕТРИЧНОСТ . Се испитува и утврдува дали функцијата е парна, непарна или е ни парна ни непарна (можен е само еден од овие три случаи). Функцијата е парна ако $f(-x)=f(x)$ и графикот на функција е симетричен во однос на $y-$ оската. За непарната функција важи $f(-x)=-f(x)$ и нејзиниот график е симетричен во однос на координатниот почеток. Кај парните и непарните функции освен што имаат симетричен график, исто така и нивната дефинициона област е симетрична. Третиот вид на функции се оние кои не се ниту парни ниту непарни и кај нив не постои симетрија ниту во графикот ниту во дефиниционата област.

4. ПЕРИОДИЧНОСТ. Доколку функцијата е периодична, се испитува колкав е нејзиниот период. Периодот $T$ е најмалиот позитивен број за кој важи $f(x+T)=f(x)$ .

5. АСИМПТОТИ . Постојат три вида асимптоти и тоа: вертикални, хоризонтални и коси и тие се определуваат преку гранични вредности. Вертикалните асимптоти се вертикални прави кои се во точките во кои функцијата не е дефинирана (има бескрајна вредност). Ако функцијата е дробно рационална од облик $\frac{h(x)}{g(x)}$ , тогаш вертикалните асимптоти се добиваат преку решавање на равенката $g(x)=0$ . Хоризонталната асимптота се добива преку границата $\underset{x\to \pm \infty }{\text{lim}}f(x)=b$ и тогаш правата $y=b$ е хоризонтална асимптота. Косата асимптота е од облик $y=\text{kx}+n$ , каде што $k=\underset{x\to \pm \infty }{\text{lim}}\frac{f(x)}{x}$ а $n=\underset{x\to \pm \infty }{\text{lim}}\left(f(x)-\text{kx}\right)$ . Во делот за асимптоти нагласивме дека функција може да има една или повеќе вертикални асимптоти, а хоризонталната и косата асимптота взаемно се исклучуваат (може да постои само една од нив).

6. ИСПИТУВАЊЕ СО ПРВ ИЗВОД . Се пресметува првиот извод на функцијата и се утврдуваат стационарните точки преку решавање на равенката $f^{\text{'}}(x)=0$ . Со стационарните точки се раздробува дефиниционата област и се формираат интервали на монотоност преку утврдување на знакот на првиот извод на секој од овие интервали. На интервалот на кој првиот извод е позитивен функцијата расте, а ако тој е негативен функцијата опаѓа.