<< Chapter < Page Chapter >> Page >

3. Се определува знакот за f ' ( x ) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) } {} во секој од овие интервали.

Ако во околина на стационарната точка x 0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {} , со зголемување на x size 12{x} {} :

- знакот на f ' ( x ) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) } {} се менува од + size 12{+{}} {} во – , функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} има максимум во точката ( x 0 , f ( x 0 ) ) size 12{ \( x rSub { size 8{0} } ,f \( x rSub { size 8{0} } \) \) } {} (Сл. 4);

Сл. 4. Максимум

- знакот на f ' ( x ) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) } {} се менува од – во + , функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} има минимум во точката ( x 0 , f ( x 0 ) ) size 12{ \( x rSub { size 8{0} } ,f \( x rSub { size 8{0} } \) \) } {} (Сл. 5);

Сл. 5. Минимум

- ако знакот на f ' ( x ) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) } {} не се менува, функцијата нема екстрем во точката ( x 0 , f ( x 0 ) ) size 12{ \( x rSub { size 8{0} } ,f \( x rSub { size 8{0} } \) \) } {} (Превојна точка, Сл. 6).

Сл. 6. Превој

Пред да го изнесеме вториот начин на испитување на екстремите, ќе ја дефинираме закривеноста на лакот од графикот на кривата, односно неговата конвексност или конкавност. Овие поими се дефинираат во зависност од позицијата на точката на гледање на графикот и ако гледаме оддгоре надолу (од позитивниот дел на y size 12{y - {}} {} оската), следат дефиниции:

Дефиниција 1. Функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} е конвексна (вдлабната) на интервалот ( a , b ) size 12{ \( a,b \) } {} ако лакот на функцијата е над тангентата на кривата повлечена во било која точка од интервалот (Сл. 7).

На интервалот на кој функцијата е конвексна, знакот на првиот извод се менува од – во +, што значи дека првиот извод расте и затоа неговиот извод ќе биде позитивен. Извод од првиот извод е втор извод и критериум за конвексност на функција на даден интервал е f ' ' ( x ) > 0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x \)>0} {} .

Сл. 7 Конвексен лак

Дефиниција 2. Функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} е конкавна (испакната) на интервалот ( a , b ) size 12{ \( a,b \) } {} ако лакот на функцијата е под тангентата на кривата повлечена во било која точка од интервалот (Сл. 8).

Аналогно, на интервалот на кој функцијата е конкавна, знакот на првиот извод се менува од + во –, значи првиот извод се намалува и затоа неговиот извод ќе биде негативен, односно изводот од првиот извод т.е. вториот извод ќе биде негативен. Затоа критериум за конкавност на лак на функција на даден интервал е f ' ' ( x ) < 0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x \)<0} {} .

Сл. 8 Конкавен лак

Но, што е со точките во кои f ' ' ( x ) = 0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x \) =0} {} ?

Дефиниција 3. Точката се нарекува превојна точка ако во неа графикот преминува од конкавен во конвексен и обратно .

На Сл. 1 превојни точки се :

x = c size 12{x=c} {} во која f ' ( c ) = 0, f ' ' ( c ) = 0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( c \) =0, { {f}} sup { ' ' } \( c \) =0} {} ,

x = d size 12{x=d} {} во која f ' ( d ) < 0, f ' ' ( d ) = 0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( d \)<0, { {f}} sup { ' ' } \( d \) =0} {} ,

x = f size 12{x=f} {} во која f ' ( f ) > 0, f ' ' ( f ) = 0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( f \)>0, { {f}} sup { ' ' } \( f \) =0} {} .

Од дефиницијата за превојна точка произлегува дека во превојните точки графикот на функцијата ја менува закривеноста, односно во нив се менува знакот за вториот извод и затоа превојните точки се добиваат со решавање на равенката f ' ' ( x ) = 0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x \) =0} {} . Условот f ' ' ( x 0 ) = 0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x rSub { size 8{0} } \) =0} {} е потребен услов точката x 0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {} да биде превојна, но не е доволен.

Сега можеме да да ја прикажеме втората постапка за определување на ектрем на функција во која се користи вториот извод.

Постапка за испитување на екстрем преку вториот извод

Постапката се изведува преку следните чекори:

1. се решава равенката f ' ( x ) = 0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) =0} {} која ги определува стационарните точки;

2. стационарната точка x = x 0 size 12{x=x rSub { size 8{0} } } {} е:

- точка на максимум ако f ' ' ( x 0 ) < 0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x rSub { size 8{0} } \)<0} {} ,

- точка на минимум ако f ' ' ( x 0 ) > 0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x rSub { size 8{0} } \)>0} {} ,

- ако f ' ' ( x 0 ) = 0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x rSub { size 8{0} } \) =0} {} , потребни се дополнителни испитувања.

Пример 1.

За функцијата y = 1 3 x 3 + 1 2 x 2 6x size 12{y= { {1} over {3} } x rSup { size 8{3} } + { {1} over {2} } x rSup { size 8{2} } - 6x} {} да се определат стационарните точки, интервалите на монотоност и екстремите преку првиот извод.

Решение.

а ) Стационарни точки

Стационатните точки се определуваат од првиот извод на функцијата

y ' = x 2 + x 6 size 12{ { {y}} sup { ' }=x rSup { size 8{2} } +x - 6} {} ,

односно со решавање на равенката y ' = 0 size 12{ { {y}} sup { ' }=0} {} . Равенката

x 2 + x 6 = 0 size 12{x rSup { size 8{2} } +x - 6=0} {}

има две решенија x 1 = 3 size 12{x rSub { size 8{1} } = - 3} {} и x 2 = 2 size 12{x rSub { size 8{2} } =2} {} . Вредностите на функцијата во овие точки се

y ( 3 ) = 27 2 size 12{y \( - 3 \) = { {"27"} over {2} } } {} и y ( 2 ) = 22 3 size 12{y \( 2 \) = { { - "22"} over {3} } } {} и стационарните точки имаат координати:

A ( 3, 27 3 ) size 12{A \( - 3, { {"27"} over {3} } \) } {} и B ( 2, 22 3 ) size 12{B \( 2, { { - "22"} over {3} } \) } {} .

б ) Интервали на монотоност

Со стационарните точки x 1 = 3 size 12{x rSub { size 8{1} } = - 3} {} и x 2 = 2 size 12{x rSub { size 8{2} } =2} {} , дефиниционата област на функцијата D = ( , + ) size 12{D= \( - infinity ,+ infinity \) } {} се разделува на подинтервали т.н. интервали на монотоност во кои знакот на првиот извод е постојан.

Интервалите на монотоност се:

( , 3 ) , ( 3,2 ) , ( 2, + ) size 12{ \( - infinity , - 3 \) ,` \( - 3,2 \) ,` \( 2,+ infinity \) } {} .

За секој интервал поединечно се испитува знакот на y ' size 12{ { {y}} sup { ' }} {} .

Така:

На интервалот ( , 3 ) size 12{ \( - infinity , - 3 \) } {} , на пример за x = 5, y ' ( 5 ) = 25 5 6 > 0 size 12{x= - 5,` { {y}} sup { ' } \( - 5 \) ="25" - 5 - 6>0 drarrow } {} функцијата расте на овој интервал.

На интервалот ( 3,2 ) size 12{ \( - 3,2 \) } {} , на пример за x = 0, y ' ( 0 ) = 6 < 0 size 12{x=0,` { {y}} sup { ' } \( 0 \) = - 6<0 drarrow } {} функцијата опаѓа на овој интервал.

На интервалот ( 2, + ) size 12{` \( 2,+ infinity \) } {} , на пример за x = 5, y ' ( 5 ) = 25 + 5 6 > 0 size 12{x=5,` { {y}} sup { ' } \( 5 \) ="25"+5 - 6>0 drarrow } {} функцијата расте на овој интервал.

в ) Екстреми

Во околина на стационарната точка 3 size 12{ - 3} {} функцијата на првиот извод го менува знакот од + size 12{+{}} {} во – , а тоа значи дека функцијата од растечка преминува во опаѓачка и затоа во x = 3 size 12{x= - 3} {} функцијата има max (максимум) и се означува max ( 3, 27 2 ) size 12{ \( - 3, { {"27"} over {2} } \) } {} .

Во околина на стационарната точка 2 size 12{ - 3} {} функцијата на првиот извод го менува знакот од – во + size 12{+{}} {} , односно функцијата од опаѓачка преминува во растечка и затоа во x = 2 size 12{x=2} {} функцијата има min (минимум) и се означува min ( 2, 22 3 ) size 12{ \( 2, { { - "22"} over {3} } \) } {} .

Пример 2.

Да се пресметаат екстремите на функцијата y = 2x 1 + x 2 size 12{y= { {2x} over {1+x rSup { size 8{2} } } } } {} преку вториот извод и да се определат интервалите на конвексност/конкавност.

Решение. Најпрво се пресметува првиот извод

y ' = 2 ( 1 + x 2 ) 2x ( 2x ) ( 1 + x 2 ) 2 size 12{ { {y}} sup { ' }= { {2 \( 1+x rSup { size 8{2} } \) - 2x \( 2x \) } over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } } } } {}

и по средување

y ' = 2 2x 2 ( 1 + x 2 ) 2 size 12{ { {y}} sup { ' }= { {2 - 2x rSup { size 8{2} } } over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } } } } {} .

Определување на стационарни точки:

y ' = 0 2 2x 2 ( 1 + x 2 ) 2 = 0 2 2x 2 = 0 x 2 = 1 x = ± 1 size 12{ { {y}} sup { ' }=0 drarrow { {2 - 2x rSup { size 8{2} } } over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } } } =0 drarrow 2 - 2x rSup { size 8{2} } =0 drarrow x rSup { size 8{2} } =1 drarrow x= +- 1} {} .

Добивме дека функцијата има две стационарни точки x 1 = 1, x 2 = 1 size 12{x rSub { size 8{1} } = - 1,`x rSub { size 8{2} } =1} {} во кои вредноста на функцијата е

y ( 1 ) = 2 ( 1 ) 1 + 1 = 1 size 12{y \( - 1 \) = { {2 \( - 1 \) } over {1+1} } = - 1} {} и y ( 1 ) = 2 ( 1 ) 1 + 1 = 1 size 12{y \( 1 \) = { {2 \( 1 \) } over {1+1} } =1} {} и стационарните точки се ( 1, 1 ) size 12{ \( - 1, - 1 \) } {} и ( 1,1 ) size 12{ \( 1,1 \) } {} .

Го пресметуваме вториот извод:

y ' ' = 4x ( 1 + x 2 ) 2 ( 2 2x 2 ) 2 ( 1 + x 2 ) 2x ( 1 + x 2 ) 4 = 4x ( 1 + x 2 ) ( 1 + x 2 + 2 2x 2 ) ( 1 + x 2 ) 4 size 12{ { {y}} sup { ' ' }= { { - 4x \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } - \( 2 - 2x rSup { size 8{2} } \) 2 \( 1+x rSup { size 8{2} } \) 2x} over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{4} } } } = { { - 4x \( 1+x rSup { size 8{2} } \) \( 1+x rSup { size 8{2} } +2 - 2x rSup { size 8{2} } \) } over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{4} } } } } {} ,

или по средување

y ' ' = 4x ( x 2 3 ) ( 1 + x 2 ) 3 size 12{ { {y}} sup { ' ' }= { {4x \( x rSup { size 8{2} } - 3 \) } over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{3} } } } } {} .

Според критериумот за утврдување на екстрем преку вториот извод:

y ' ' ( 1 ) = 4 ( 1 ) ( 1 3 ) ( 1 + 1 ) 3 = + + > 0 x = 1 size 12{ { {y}} sup { ' ' } \( - 1 \) = { {4 \( - 1 \) \( 1 - 3 \) } over { \( 1+1 \) rSup { size 8{3} } } } = { {+{}} over {+{}} }>0 drarrow x= - 1} {} е точка во која функцијата има минимум, т.е. min ( 1, 1 ) size 12{ \( - 1, - 1 \) } {} ;

y ' ' ( 1 ) = 4 ( 1 ) ( 1 3 ) ( 1 + 1 ) 3 = + < 0 x = 1 size 12{ { {y}} sup { ' ' } \( 1 \) = { {4 \( 1 \) \( 1 - 3 \) } over { \( 1+1 \) rSup { size 8{3} } } } = { { - {}} over {+{}} }<0 drarrow x=1} {} е точка во која функцијата има максимум, т.е. max ( 1,1 ) size 12{ \( 1,1 \) } {} .

Забелешка . Во определувањето на екстремот преку вториот извод го испитуваме само знакот на вториот извод во стационарната точка, без да ја испитуваме неговата точна бројна вредност.

Превојни точки:

y ' ' = 0 4x ( x 2 3 ) ( 1 + x 2 ) 3 = 0 4x ( x 2 3 ) = 0 x 1 = 0, x 2 / 3 = ± 3 size 12{ { {y}} sup { ' ' }=0 drarrow { {4x \( x rSup { size 8{2} } - 3 \) } over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{3} } } } =0 drarrow 4x \( x rSup { size 8{2} } - 3 \) =0 drarrow x rSub { size 8{1} } =0,x rSub { size 8{2/3} } = +- sqrt {3} } {} .

Со овие три точки дефиниционата област се раздробува на четири подинтервали, при што функцијата е:

конвексна ( y ' ' > 0 size 12{ { {y}} sup { ' ' }>0} {} ) на интервалите ( 3 , 0 ) size 12{ \( - sqrt {3} ,0 \) } {} и ( 3 , + ) size 12{ \( sqrt {3} ,+ infinity \) } {} ,

конкавна ( y ' ' < 0 size 12{ { {y}} sup { ' ' }<0} {} ) на интервалите ( , 3 ) size 12{ \( - infinity , - nroot {} {3} \) } {} и ( 0, 3 ) size 12{ \( 0, sqrt {3} \) } {} .

Се забележува симетрија во конвексноста/конкавноста заради симетричноста на функцијата, односно таа е непарна функција.

Пример 3.

На интервалот [ 1,2 ] size 12{ \[ - 1,2 \] } {} да се определат најмата и најголемата вредност на функцијата y = x 5 5x 4 + 5x 3 + 1 size 12{y=x rSup { size 8{5} } - 5x rSup { size 8{4} } +5x rSup { size 8{3} } +1} {} .

Решение. Од изводот

y ' = 5x 4 20 x 3 + 15 x 2 size 12{ { {y}} sup { ' }=5x rSup { size 8{4} } - "20"x rSup { size 8{3} } +"15"x rSup { size 8{2} } } {}

преку решавање на равенката

y ' = 0 5x 4 20 x 3 + 15 x 2 = 0 size 12{ { {y}} sup { ' }=0 drarrow 5x rSup { size 8{4} } - "20"x rSup { size 8{3} } +"15"x rSup { size 8{2} } =0} {}

5x 2 ( x 2 4x + 3 ) = 0 size 12{5x rSup { size 8{2} } \( x rSup { size 8{2} } - 4x+3 \) =0} {}

се добиваат четири стационарни точки (првите две се исти)

x 1 / 2 = 0 x 3 = 1 x 4 = 3 . alignl { stack { size 12{x rSub { size 8{1/2} } =0} {} #x rSub { size 8{3} } =1 {} # x rSub { size 8{4} } =3 "." {}} } {}

Во бараниот интервал [ 1,2 ] size 12{ \[ - 1,2 \] } {} припаѓаат стационарните точки x = 0, x = 1 size 12{x=0,x=1} {} , додека стационарната точка x = 3 [ 1,2 ] size 12{x=3 notin \[ - 1,2 \] } {} . Затоа понатаму ќе испитуваме екстреми само за стационатните точки x = 0 size 12{x=0} {} и x = 1 size 12{x=1} {} .

y ' ' = 20 x 3 60 x 2 + 30 x size 12{ { {y}} sup { ' ' }="20"x rSup { size 8{3} } - "60"x rSup { size 8{2} } +"30"x} {} ,

y ' ' ( 0 ) = 0 size 12{ { {y}} sup { ' ' } \( 0 \) =0 drarrow } {} ништо не можеме да кажеме за екстремот во стационарната точка x = 0 size 12{x=0} {} .

y ' ' ( 1 ) = 20 60 = 30 < 0 size 12{ { {y}} sup { ' ' } \( 1 \) ="20" - "60"="30"<0 drarrow } {} точката x = 1 size 12{x=1} {} е точка на максимум.

Се пресметуваат вредностите на функцијата во екстремот и на краевите од интервалот:

y ( 1 ) = 1 5 + 5 + 1 = 2, y ( 1 ) = 1 5 5 + 1 = 10 , y ( 2 ) = 32 80 + 40 + 1 = 7 . alignl { stack { size 12{y \( 1 \) =1 - 5+5+1=2,} {} #size 12{y \( - 1 \) = - 1 - 5 - 5+1= - "10",} {} # size 12{y \( 2 \) ="32" - "80"+"40"+1= - 7 "." } {}} } {}

Од вредностите на функцијата y = 2, y = 10 , y = 7 size 12{y=2,y= - "10",y= - 7} {} најголема е y = 2 size 12{y=2} {} , а најмала е y = 10 size 12{y= - "10"} {} .

При тоа, најголемата вредност 2 size 12{2} {} се постигнува во локалниот максимум во точката x = 1 size 12{x=1} {} , а најмалата вредност 10 size 12{ - "10"} {} е во почетната точна на интервалот [ 1,2 ] size 12{ \[ - 1,2 \] } {} , т.е.во x = 1 size 12{x= - 1} {} .

Questions & Answers

what are the products of Nano chemistry?
Maira Reply
There are lots of products of nano chemistry... Like nano coatings.....carbon fiber.. And lots of others..
learn
Even nanotechnology is pretty much all about chemistry... Its the chemistry on quantum or atomic level
learn
Preparation and Applications of Nanomaterial for Drug Delivery
Hafiz Reply
Application of nanotechnology in medicine
what is variations in raman spectra for nanomaterials
Jyoti Reply
I only see partial conversation and what's the question here!
Crow Reply
what about nanotechnology for water purification
RAW Reply
please someone correct me if I'm wrong but I think one can use nanoparticles, specially silver nanoparticles for water treatment.
Damian
yes that's correct
Professor
I think
Professor
what is the stm
Brian Reply
is there industrial application of fullrenes. What is the method to prepare fullrene on large scale.?
Rafiq
industrial application...? mmm I think on the medical side as drug carrier, but you should go deeper on your research, I may be wrong
Damian
How we are making nano material?
LITNING Reply
what is a peer
LITNING Reply
What is meant by 'nano scale'?
LITNING Reply
What is STMs full form?
LITNING
scanning tunneling microscope
Sahil
how nano science is used for hydrophobicity
Santosh
Do u think that Graphene and Fullrene fiber can be used to make Air Plane body structure the lightest and strongest. Rafiq
Rafiq
what is differents between GO and RGO?
Mahi
what is simplest way to understand the applications of nano robots used to detect the cancer affected cell of human body.? How this robot is carried to required site of body cell.? what will be the carrier material and how can be detected that correct delivery of drug is done Rafiq
Rafiq
if virus is killing to make ARTIFICIAL DNA OF GRAPHENE FOR KILLED THE VIRUS .THIS IS OUR ASSUMPTION
Anam
analytical skills graphene is prepared to kill any type viruses .
Anam
Any one who tell me about Preparation and application of Nanomaterial for drug Delivery
Hafiz
what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
anyone know any internet site where one can find nanotechnology papers?
Damian Reply
research.net
kanaga
sciencedirect big data base
Ernesto
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Математика 1. OpenStax CNX. Nov 17, 2014 Download for free at http://legacy.cnx.org/content/col11377/1.12
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Математика 1' conversation and receive update notifications?

Ask