<< Chapter < Page Chapter >> Page >

3. Се определува знакот за f ' ( x ) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) } {} во секој од овие интервали.

Ако во околина на стационарната точка x 0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {} , со зголемување на x size 12{x} {} :

- знакот на f ' ( x ) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) } {} се менува од + size 12{+{}} {} во – , функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} има максимум во точката ( x 0 , f ( x 0 ) ) size 12{ \( x rSub { size 8{0} } ,f \( x rSub { size 8{0} } \) \) } {} (Сл. 4);

Сл. 4. Максимум

- знакот на f ' ( x ) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) } {} се менува од – во + , функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} има минимум во точката ( x 0 , f ( x 0 ) ) size 12{ \( x rSub { size 8{0} } ,f \( x rSub { size 8{0} } \) \) } {} (Сл. 5);

Сл. 5. Минимум

- ако знакот на f ' ( x ) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) } {} не се менува, функцијата нема екстрем во точката ( x 0 , f ( x 0 ) ) size 12{ \( x rSub { size 8{0} } ,f \( x rSub { size 8{0} } \) \) } {} (Превојна точка, Сл. 6).

Сл. 6. Превој

Пред да го изнесеме вториот начин на испитување на екстремите, ќе ја дефинираме закривеноста на лакот од графикот на кривата, односно неговата конвексност или конкавност. Овие поими се дефинираат во зависност од позицијата на точката на гледање на графикот и ако гледаме оддгоре надолу (од позитивниот дел на y size 12{y - {}} {} оската), следат дефиниции:

Дефиниција 1. Функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} е конвексна (вдлабната) на интервалот ( a , b ) size 12{ \( a,b \) } {} ако лакот на функцијата е над тангентата на кривата повлечена во било која точка од интервалот (Сл. 7).

На интервалот на кој функцијата е конвексна, знакот на првиот извод се менува од – во +, што значи дека првиот извод расте и затоа неговиот извод ќе биде позитивен. Извод од првиот извод е втор извод и критериум за конвексност на функција на даден интервал е f ' ' ( x ) > 0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x \)>0} {} .

Сл. 7 Конвексен лак

Дефиниција 2. Функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} е конкавна (испакната) на интервалот ( a , b ) size 12{ \( a,b \) } {} ако лакот на функцијата е под тангентата на кривата повлечена во било која точка од интервалот (Сл. 8).

Аналогно, на интервалот на кој функцијата е конкавна, знакот на првиот извод се менува од + во –, значи првиот извод се намалува и затоа неговиот извод ќе биде негативен, односно изводот од првиот извод т.е. вториот извод ќе биде негативен. Затоа критериум за конкавност на лак на функција на даден интервал е f ' ' ( x ) < 0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x \)<0} {} .

Сл. 8 Конкавен лак

Но, што е со точките во кои f ' ' ( x ) = 0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x \) =0} {} ?

Дефиниција 3. Точката се нарекува превојна точка ако во неа графикот преминува од конкавен во конвексен и обратно .

На Сл. 1 превојни точки се :

x = c size 12{x=c} {} во која f ' ( c ) = 0, f ' ' ( c ) = 0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( c \) =0, { {f}} sup { ' ' } \( c \) =0} {} ,

x = d size 12{x=d} {} во која f ' ( d ) < 0, f ' ' ( d ) = 0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( d \)<0, { {f}} sup { ' ' } \( d \) =0} {} ,

x = f size 12{x=f} {} во која f ' ( f ) > 0, f ' ' ( f ) = 0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( f \)>0, { {f}} sup { ' ' } \( f \) =0} {} .

Од дефиницијата за превојна точка произлегува дека во превојните точки графикот на функцијата ја менува закривеноста, односно во нив се менува знакот за вториот извод и затоа превојните точки се добиваат со решавање на равенката f ' ' ( x ) = 0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x \) =0} {} . Условот f ' ' ( x 0 ) = 0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x rSub { size 8{0} } \) =0} {} е потребен услов точката x 0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {} да биде превојна, но не е доволен.

Сега можеме да да ја прикажеме втората постапка за определување на ектрем на функција во која се користи вториот извод.

Постапка за испитување на екстрем преку вториот извод

Постапката се изведува преку следните чекори:

1. се решава равенката f ' ( x ) = 0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) =0} {} која ги определува стационарните точки;

2. стационарната точка x = x 0 size 12{x=x rSub { size 8{0} } } {} е:

- точка на максимум ако f ' ' ( x 0 ) < 0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x rSub { size 8{0} } \)<0} {} ,

- точка на минимум ако f ' ' ( x 0 ) > 0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x rSub { size 8{0} } \)>0} {} ,

- ако f ' ' ( x 0 ) = 0 size 12{ { {f}} sup { '' } \( x rSub { size 8{0} } \) =0} {} , потребни се дополнителни испитувања.

Пример 1.

За функцијата y = 1 3 x 3 + 1 2 x 2 6x size 12{y= { {1} over {3} } x rSup { size 8{3} } + { {1} over {2} } x rSup { size 8{2} } - 6x} {} да се определат стационарните точки, интервалите на монотоност и екстремите преку првиот извод.

Решение.

а ) Стационарни точки

Стационатните точки се определуваат од првиот извод на функцијата

y ' = x 2 + x 6 size 12{ { {y}} sup { ' }=x rSup { size 8{2} } +x - 6} {} ,

односно со решавање на равенката y ' = 0 size 12{ { {y}} sup { ' }=0} {} . Равенката

x 2 + x 6 = 0 size 12{x rSup { size 8{2} } +x - 6=0} {}

има две решенија x 1 = 3 size 12{x rSub { size 8{1} } = - 3} {} и x 2 = 2 size 12{x rSub { size 8{2} } =2} {} . Вредностите на функцијата во овие точки се

y ( 3 ) = 27 2 size 12{y \( - 3 \) = { {"27"} over {2} } } {} и y ( 2 ) = 22 3 size 12{y \( 2 \) = { { - "22"} over {3} } } {} и стационарните точки имаат координати:

A ( 3, 27 3 ) size 12{A \( - 3, { {"27"} over {3} } \) } {} и B ( 2, 22 3 ) size 12{B \( 2, { { - "22"} over {3} } \) } {} .

б ) Интервали на монотоност

Со стационарните точки x 1 = 3 size 12{x rSub { size 8{1} } = - 3} {} и x 2 = 2 size 12{x rSub { size 8{2} } =2} {} , дефиниционата област на функцијата D = ( , + ) size 12{D= \( - infinity ,+ infinity \) } {} се разделува на подинтервали т.н. интервали на монотоност во кои знакот на првиот извод е постојан.

Интервалите на монотоност се:

( , 3 ) , ( 3,2 ) , ( 2, + ) size 12{ \( - infinity , - 3 \) ,` \( - 3,2 \) ,` \( 2,+ infinity \) } {} .

За секој интервал поединечно се испитува знакот на y ' size 12{ { {y}} sup { ' }} {} .

Така:

На интервалот ( , 3 ) size 12{ \( - infinity , - 3 \) } {} , на пример за x = 5, y ' ( 5 ) = 25 5 6 > 0 size 12{x= - 5,` { {y}} sup { ' } \( - 5 \) ="25" - 5 - 6>0 drarrow } {} функцијата расте на овој интервал.

На интервалот ( 3,2 ) size 12{ \( - 3,2 \) } {} , на пример за x = 0, y ' ( 0 ) = 6 < 0 size 12{x=0,` { {y}} sup { ' } \( 0 \) = - 6<0 drarrow } {} функцијата опаѓа на овој интервал.

На интервалот ( 2, + ) size 12{` \( 2,+ infinity \) } {} , на пример за x = 5, y ' ( 5 ) = 25 + 5 6 > 0 size 12{x=5,` { {y}} sup { ' } \( 5 \) ="25"+5 - 6>0 drarrow } {} функцијата расте на овој интервал.

в ) Екстреми

Во околина на стационарната точка 3 size 12{ - 3} {} функцијата на првиот извод го менува знакот од + size 12{+{}} {} во – , а тоа значи дека функцијата од растечка преминува во опаѓачка и затоа во x = 3 size 12{x= - 3} {} функцијата има max (максимум) и се означува max ( 3, 27 2 ) size 12{ \( - 3, { {"27"} over {2} } \) } {} .

Во околина на стационарната точка 2 size 12{ - 3} {} функцијата на првиот извод го менува знакот од – во + size 12{+{}} {} , односно функцијата од опаѓачка преминува во растечка и затоа во x = 2 size 12{x=2} {} функцијата има min (минимум) и се означува min ( 2, 22 3 ) size 12{ \( 2, { { - "22"} over {3} } \) } {} .

Пример 2.

Да се пресметаат екстремите на функцијата y = 2x 1 + x 2 size 12{y= { {2x} over {1+x rSup { size 8{2} } } } } {} преку вториот извод и да се определат интервалите на конвексност/конкавност.

Решение. Најпрво се пресметува првиот извод

y ' = 2 ( 1 + x 2 ) 2x ( 2x ) ( 1 + x 2 ) 2 size 12{ { {y}} sup { ' }= { {2 \( 1+x rSup { size 8{2} } \) - 2x \( 2x \) } over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } } } } {}

и по средување

y ' = 2 2x 2 ( 1 + x 2 ) 2 size 12{ { {y}} sup { ' }= { {2 - 2x rSup { size 8{2} } } over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } } } } {} .

Определување на стационарни точки:

y ' = 0 2 2x 2 ( 1 + x 2 ) 2 = 0 2 2x 2 = 0 x 2 = 1 x = ± 1 size 12{ { {y}} sup { ' }=0 drarrow { {2 - 2x rSup { size 8{2} } } over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } } } =0 drarrow 2 - 2x rSup { size 8{2} } =0 drarrow x rSup { size 8{2} } =1 drarrow x= +- 1} {} .

Добивме дека функцијата има две стационарни точки x 1 = 1, x 2 = 1 size 12{x rSub { size 8{1} } = - 1,`x rSub { size 8{2} } =1} {} во кои вредноста на функцијата е

y ( 1 ) = 2 ( 1 ) 1 + 1 = 1 size 12{y \( - 1 \) = { {2 \( - 1 \) } over {1+1} } = - 1} {} и y ( 1 ) = 2 ( 1 ) 1 + 1 = 1 size 12{y \( 1 \) = { {2 \( 1 \) } over {1+1} } =1} {} и стационарните точки се ( 1, 1 ) size 12{ \( - 1, - 1 \) } {} и ( 1,1 ) size 12{ \( 1,1 \) } {} .

Го пресметуваме вториот извод:

y ' ' = 4x ( 1 + x 2 ) 2 ( 2 2x 2 ) 2 ( 1 + x 2 ) 2x ( 1 + x 2 ) 4 = 4x ( 1 + x 2 ) ( 1 + x 2 + 2 2x 2 ) ( 1 + x 2 ) 4 size 12{ { {y}} sup { ' ' }= { { - 4x \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } - \( 2 - 2x rSup { size 8{2} } \) 2 \( 1+x rSup { size 8{2} } \) 2x} over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{4} } } } = { { - 4x \( 1+x rSup { size 8{2} } \) \( 1+x rSup { size 8{2} } +2 - 2x rSup { size 8{2} } \) } over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{4} } } } } {} ,

или по средување

y ' ' = 4x ( x 2 3 ) ( 1 + x 2 ) 3 size 12{ { {y}} sup { ' ' }= { {4x \( x rSup { size 8{2} } - 3 \) } over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{3} } } } } {} .

Според критериумот за утврдување на екстрем преку вториот извод:

y ' ' ( 1 ) = 4 ( 1 ) ( 1 3 ) ( 1 + 1 ) 3 = + + > 0 x = 1 size 12{ { {y}} sup { ' ' } \( - 1 \) = { {4 \( - 1 \) \( 1 - 3 \) } over { \( 1+1 \) rSup { size 8{3} } } } = { {+{}} over {+{}} }>0 drarrow x= - 1} {} е точка во која функцијата има минимум, т.е. min ( 1, 1 ) size 12{ \( - 1, - 1 \) } {} ;

y ' ' ( 1 ) = 4 ( 1 ) ( 1 3 ) ( 1 + 1 ) 3 = + < 0 x = 1 size 12{ { {y}} sup { ' ' } \( 1 \) = { {4 \( 1 \) \( 1 - 3 \) } over { \( 1+1 \) rSup { size 8{3} } } } = { { - {}} over {+{}} }<0 drarrow x=1} {} е точка во која функцијата има максимум, т.е. max ( 1,1 ) size 12{ \( 1,1 \) } {} .

Забелешка . Во определувањето на екстремот преку вториот извод го испитуваме само знакот на вториот извод во стационарната точка, без да ја испитуваме неговата точна бројна вредност.

Превојни точки:

y ' ' = 0 4x ( x 2 3 ) ( 1 + x 2 ) 3 = 0 4x ( x 2 3 ) = 0 x 1 = 0, x 2 / 3 = ± 3 size 12{ { {y}} sup { ' ' }=0 drarrow { {4x \( x rSup { size 8{2} } - 3 \) } over { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{3} } } } =0 drarrow 4x \( x rSup { size 8{2} } - 3 \) =0 drarrow x rSub { size 8{1} } =0,x rSub { size 8{2/3} } = +- sqrt {3} } {} .

Со овие три точки дефиниционата област се раздробува на четири подинтервали, при што функцијата е:

конвексна ( y ' ' > 0 size 12{ { {y}} sup { ' ' }>0} {} ) на интервалите ( 3 , 0 ) size 12{ \( - sqrt {3} ,0 \) } {} и ( 3 , + ) size 12{ \( sqrt {3} ,+ infinity \) } {} ,

конкавна ( y ' ' < 0 size 12{ { {y}} sup { ' ' }<0} {} ) на интервалите ( , 3 ) size 12{ \( - infinity , - nroot {} {3} \) } {} и ( 0, 3 ) size 12{ \( 0, sqrt {3} \) } {} .

Се забележува симетрија во конвексноста/конкавноста заради симетричноста на функцијата, односно таа е непарна функција.

Пример 3.

На интервалот [ 1,2 ] size 12{ \[ - 1,2 \] } {} да се определат најмата и најголемата вредност на функцијата y = x 5 5x 4 + 5x 3 + 1 size 12{y=x rSup { size 8{5} } - 5x rSup { size 8{4} } +5x rSup { size 8{3} } +1} {} .

Решение. Од изводот

y ' = 5x 4 20 x 3 + 15 x 2 size 12{ { {y}} sup { ' }=5x rSup { size 8{4} } - "20"x rSup { size 8{3} } +"15"x rSup { size 8{2} } } {}

преку решавање на равенката

y ' = 0 5x 4 20 x 3 + 15 x 2 = 0 size 12{ { {y}} sup { ' }=0 drarrow 5x rSup { size 8{4} } - "20"x rSup { size 8{3} } +"15"x rSup { size 8{2} } =0} {}

5x 2 ( x 2 4x + 3 ) = 0 size 12{5x rSup { size 8{2} } \( x rSup { size 8{2} } - 4x+3 \) =0} {}

се добиваат четири стационарни точки (првите две се исти)

x 1 / 2 = 0 x 3 = 1 x 4 = 3 . alignl { stack { size 12{x rSub { size 8{1/2} } =0} {} #x rSub { size 8{3} } =1 {} # x rSub { size 8{4} } =3 "." {}} } {}

Во бараниот интервал [ 1,2 ] size 12{ \[ - 1,2 \] } {} припаѓаат стационарните точки x = 0, x = 1 size 12{x=0,x=1} {} , додека стационарната точка x = 3 [ 1,2 ] size 12{x=3 notin \[ - 1,2 \] } {} . Затоа понатаму ќе испитуваме екстреми само за стационатните точки x = 0 size 12{x=0} {} и x = 1 size 12{x=1} {} .

y ' ' = 20 x 3 60 x 2 + 30 x size 12{ { {y}} sup { ' ' }="20"x rSup { size 8{3} } - "60"x rSup { size 8{2} } +"30"x} {} ,

y ' ' ( 0 ) = 0 size 12{ { {y}} sup { ' ' } \( 0 \) =0 drarrow } {} ништо не можеме да кажеме за екстремот во стационарната точка x = 0 size 12{x=0} {} .

y ' ' ( 1 ) = 20 60 = 30 < 0 size 12{ { {y}} sup { ' ' } \( 1 \) ="20" - "60"="30"<0 drarrow } {} точката x = 1 size 12{x=1} {} е точка на максимум.

Се пресметуваат вредностите на функцијата во екстремот и на краевите од интервалот:

y ( 1 ) = 1 5 + 5 + 1 = 2, y ( 1 ) = 1 5 5 + 1 = 10 , y ( 2 ) = 32 80 + 40 + 1 = 7 . alignl { stack { size 12{y \( 1 \) =1 - 5+5+1=2,} {} #size 12{y \( - 1 \) = - 1 - 5 - 5+1= - "10",} {} # size 12{y \( 2 \) ="32" - "80"+"40"+1= - 7 "." } {}} } {}

Од вредностите на функцијата y = 2, y = 10 , y = 7 size 12{y=2,y= - "10",y= - 7} {} најголема е y = 2 size 12{y=2} {} , а најмала е y = 10 size 12{y= - "10"} {} .

При тоа, најголемата вредност 2 size 12{2} {} се постигнува во локалниот максимум во точката x = 1 size 12{x=1} {} , а најмалата вредност 10 size 12{ - "10"} {} е во почетната точна на интервалот [ 1,2 ] size 12{ \[ - 1,2 \] } {} , т.е.во x = 1 size 12{x= - 1} {} .

Questions & Answers

what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
anyone know any internet site where one can find nanotechnology papers?
Damian Reply
research.net
kanaga
sciencedirect big data base
Ernesto
Introduction about quantum dots in nanotechnology
Praveena Reply
what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
how to know photocatalytic properties of tio2 nanoparticles...what to do now
Akash Reply
it is a goid question and i want to know the answer as well
Maciej
characteristics of micro business
Abigail
for teaching engĺish at school how nano technology help us
Anassong
Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
there is no specific books for beginners but there is book called principle of nanotechnology
NANO
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
fullerene is a bucky ball aka Carbon 60 molecule. It was name by the architect Fuller. He design the geodesic dome. it resembles a soccer ball.
Tarell
what is the actual application of fullerenes nowadays?
Damian
That is a great question Damian. best way to answer that question is to Google it. there are hundreds of applications for buck minister fullerenes, from medical to aerospace. you can also find plenty of research papers that will give you great detail on the potential applications of fullerenes.
Tarell
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
Mostly, they use nano carbon for electronics and for materials to be strengthened.
Virgil
is Bucky paper clear?
CYNTHIA
carbon nanotubes has various application in fuel cells membrane, current research on cancer drug,and in electronics MEMS and NEMS etc
NANO
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
Do you know which machine is used to that process?
s.
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Математика 1. OpenStax CNX. Nov 17, 2014 Download for free at http://legacy.cnx.org/content/col11377/1.12
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Математика 1' conversation and receive update notifications?

Ask