3.10 Екстремни вредности на функција од една променлива  (Page 2/2)

Пример 1.

За функцијата $y=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-\mathrm{6x}$ да се определат стационарните точки, интервалите на монотоност и екстремите преку првиот извод.

Решение.

а ) Стационарни точки

Стационатните точки се определуваат од првиот извод на функцијата

$y^{\text{'}}=x^2+x-6$ ,

односно со решавање на равенката $y^{\text{'}}=0$ . Равенката

$x^2+x-6=0$

има две решенија $x_1=-3$ и $x_2=2$ . Вредностите на функцијата во овие точки се

$y(-3)=\frac{\text{27}}{2}$ и $y(2)=\frac{-\text{22}}{3}$ и стационарните точки имаат координати:

$A(-\mathrm{3,}\frac{\text{27}}{3})$ и $B(\mathrm{2,}\frac{-\text{22}}{3})$ .

б ) Интервали на монотоност

Со стационарните точки $x_1=-3$ и $x_2=2$ , дефиниционата област на функцијата $D=(-\infty ,+\infty )$ се разделува на подинтервали т.н. интервали на монотоност во кои знакот на првиот извод е постојан.

Интервалите на монотоност се:

$(-\infty ,-3),(-\mathrm{3,2}),(\mathrm{2,}+\infty )$ .

За секој интервал поединечно се испитува знакот на $y^{\text{'}}$ .

Така:

На интервалот $(-\infty ,-3)$ , на пример за $x=-\mathrm{5,}{y}^{\text{'}}(-5)=\text{25}-5-6>0\Rightarrow$ функцијата расте на овој интервал.

На интервалот $(-\mathrm{3,2})$ , на пример за функцијата опаѓа на овој интервал.

На интервалот $(\mathrm{2,}+\infty )$ , на пример за $x=\mathrm{5,}{y}^{\text{'}}(5)=\text{25}+5-6>0\Rightarrow$ функцијата расте на овој интервал.

в ) Екстреми

Во околина на стационарната точка $-3$ функцијата на првиот извод го менува знакот од $+$ во – , а тоа значи дека функцијата од растечка преминува во опаѓачка и затоа во $x=-3$ функцијата има max (максимум) и се означува max $(-\mathrm{3,}\frac{\text{27}}{2})$ .

Во околина на стационарната точка $2$ функцијата на првиот извод го менува знакот од – во $+$ , односно функцијата од опаѓачка преминува во растечка и затоа во $x=2$ функцијата има min (минимум) и се означува min $(\mathrm{2,}\frac{-\text{22}}{3})$ .

Пример 2.

Да се пресметаат екстремите на функцијата $y=\frac{\mathrm{2x}}{1+x^2}$ преку вториот извод и да се определат интервалите на конвексност/конкавност.

Решение. Најпрво се пресметува првиот извод

$y^{\text{'}}=\frac{2(1+x^2)-\mathrm{2x}(\mathrm{2x})}{(1+x^2{)}^2}$

и по средување

$y^{\text{'}}=\frac{2-{\mathrm{2x}}^2}{(1+x^2{)}^2}$ .

Определување на стационарни точки:

$y^{\text{'}}=0\Rightarrow \frac{2-{\mathrm{2x}}^2}{(1+x^2{)}^2}=0\Rightarrow 2-{\mathrm{2x}}^2=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$ .

Добивме дека функцијата има две стационарни точки $x_1=-\mathrm{1,}{x}_2=1$ во кои вредноста на функцијата е

$y(-1)=\frac{2(-1)}{1+1}=-1$ и $y(1)=\frac{2(1)}{1+1}=1$ и стационарните точки се $(-\mathrm{1,}-1)$ и $(\mathrm{1,1})$ .

Го пресметуваме вториот извод:

$y^{\text{'}\text{'}}=\frac{-\mathrm{4x}(1+x^2{)}^2-(2-{\mathrm{2x}}^2)2(1+x^2)\mathrm{2x}}{(1+x^2{)}^4}=\frac{-\mathrm{4x}(1+x^2)(1+x^2+2-{\mathrm{2x}}^2)}{(1+x^2{)}^4}$ ,

или по средување

$y^{\text{'}\text{'}}=\frac{\mathrm{4x}(x^2-3)}{(1+x^2{)}^3}$ .

Според критериумот за утврдување на екстрем преку вториот извод:

$y^{\text{'}\text{'}}(-1)=\frac{4(-1)(1-3)}{(1+1{)}^3}=\frac{+}{+}>0\Rightarrow x=-1$ е точка во која функцијата има минимум, т.е. min $(-\mathrm{1,}-1)$ ;

е точка во која функцијата има максимум, т.е. max $(\mathrm{1,1})$ .

Забелешка . Во определувањето на екстремот преку вториот извод го испитуваме само знакот на вториот извод во стационарната точка, без да ја испитуваме неговата точна бројна вредност.

Превојни точки:

$y^{\text{'}\text{'}}=0\Rightarrow \frac{\mathrm{4x}(x^2-3)}{(1+x^2{)}^3}=0\Rightarrow \mathrm{4x}(x^2-3)=0\Rightarrow x_1=\mathrm{0,}{x}_{2/3}=\pm \sqrt{3}$ .

Со овие три точки дефиниционата област се раздробува на четири подинтервали, при што функцијата е:

конвексна ( $y^{\text{'}\text{'}}>0$ ) на интервалите $(-\sqrt{3},0)$ и $(\sqrt{3},+\infty )$ ,

конкавна ( ) на интервалите $(-\infty ,-\sqrt[]{3})$ и $(\mathrm{0,}\sqrt{3})$ .

Се забележува симетрија во конвексноста/конкавноста заради симетричноста на функцијата, односно таа е непарна функција.

Пример 3.

На интервалот $[-\mathrm{1,2}]$ да се определат најмата и најголемата вредност на функцијата $y=x^5-{\mathrm{5x}}^4+{\mathrm{5x}}^3+1$ .

Решение. Од изводот

$y^{\text{'}}={\mathrm{5x}}^4-\text{20}{x}^3+\text{15}{x}^2$

преку решавање на равенката

$y^{\text{'}}=0\Rightarrow {\mathrm{5x}}^4-\text{20}{x}^3+\text{15}{x}^2=0$

${\mathrm{5x}}^2(x^2-\mathrm{4x}+3)=0$

се добиваат четири стационарни точки (првите две се исти)

$\begin{array}{}{x}_{1/2}=0\\ x_3=1\\ x_4=3\text{.}\end{array}$

Во бараниот интервал $[-\mathrm{1,2}]$ припаѓаат стационарните точки $x=\mathrm{0,}x=1$ , додека стационарната точка $x=3\notin [-\mathrm{1,2}]$ . Затоа понатаму ќе испитуваме екстреми само за стационатните точки $x=0$ и $x=1$ .

$y^{\text{'}\text{'}}=\text{20}{x}^3-\text{60}{x}^2+\text{30}x$ ,

$y^{\text{'}\text{'}}(0)=0\Rightarrow$ ништо не можеме да кажеме за екстремот во стационарната точка $x=0$ .

точката $x=1$ е точка на максимум.

Се пресметуваат вредностите на функцијата во екстремот и на краевите од интервалот:

$\begin{array}{}y(1)=1-5+5+1=\mathrm{2,}\\ y(-1)=-1-5-5+1=-\text{10},\\ y(2)=\text{32}-\text{80}+\text{40}+1=-7\text{.}\end{array}$

Од вредностите на функцијата $y=\mathrm{2,}y=-\text{10},y=-7$ најголема е $y=2$ , а најмала е $y=-\text{10}$ .

При тоа, најголемата вредност $2$ се постигнува во локалниот максимум во точката $x=1$ , а најмалата вредност $-\text{10}$ е во почетната точна на интервалот $[-\mathrm{1,2}]$ , т.е.во $x=-1$ .