3.10 Екстремни вредности на функција од една променлива

Екстремни вредности на функција од една променлива

Во Основни теореми на диференцијалното сметање воведени се поимите за локален екстрем. Така, функцијата $y=f(x)$ има локален минимум (максимум) во точката $x=x_0$ ако вредноста $f(x_0)$ е помала (поголема) од блиските вредности на функцијата кои и претходат или следуваат после оваа вредност на функцијата.

За разлика од локалниот минимум (максимум) на функција, постои и апсолутен минимум (максимум), а тоа е најмалата (најголемата) вредност на функцијата која ја добива на целиот интервал на кој таа се разгледува.

На Сл. 1 е прикажан графикот на функцијата $f(x)$ на затворениот интервал $[a,b]$ . На овој интервал се испитуваат вредностите на функцијата во локалните екстреми и вредностите на функцијата на краевите од интервалот. Забележуваме дека функцијата има локален максимум во точката $x=g$ со вредност на функцијата $f(g)$ , а локалниот минимум е во точката $x=e$ со вредност на функцијата $f(e)$ . Вредностите на функцијата на краевите од интервалот се $f(a)$ и $f(b)$ . Апсолутен минимум е најмалата вредност на функцијата од сите овие вредности, а тоа е локланиот минимум т.е. $f(e)$ . Апсолутниот максимум е најголемата од сите вредности на функцијата, а во наведениот пример тоа е $f(a)$ . Гледаме дека апсолутен екстрем може да се постигне или во локален екстрем или на еден од краевите на интервалот.

Вообичаено е локалниот ектрем да се нарекува само екстрем , затоа понатаму под поимот екстем ќе се подразбира локален екстрем.

Во делот Основни теореми на диференцијалното сметање , со теоремата на Ферма е даден потребниот услов за постоење на екстрем во точката $x_0$ , а тоа е таа да биде стационарна точка, односно $f^{\text{'}}(x_0)=0$ . Секоја стацинорна точка не мора да биде точка на ектрем, тоа е потребен услов, а доволниот услов за екстем може да се спроведе преку две постапки:

• со извод од прв ред преку испитување на интервалите на монотоност;
• со извод од повисок ред.

Постапка за испитување на екстрем преку првиот извод

Оваа постапка го користи знакот на првиот извод за утврдување на монотоноста на функцијата на интервал, а се базира на теоремата Лагранж.

За монотоноста (растењето и опаѓањето) на функцијата на итервалот $(a,b)$ ако важи:

$f^{\text{'}}(x)>0$ , $\forall x\in (a,b)\Rightarrow$ функцијата $f(x)$ е строго монотоно растечка;

, $\forall x\in (a,b)\Rightarrow$ функцијата $f(x)$ е строго монотоно опаѓачка.

Навистина, ако на интервалот $(a,b)$ функцијата расте, тогаш $\forall x_1,x_2\in (a,b)$ и . Од теоремата на Лагранж следува дека постои точка $x_0\in (x_1,x_2)$ за која ќе важи $f(x_2)-f(x_1)=f^{\text{'}}(x_0)(x_2-x_1)$ . Бидејќи функцијата е растечка, знакот на $f^{\text{'}}(x_0)$ ќе биде ист со знакот на разликата $f(x_2)-f(x_1)>0$ , т.е. знакот е позитивен и затоа $f^{\text{'}}(x_0)>0$ кога функцијата расте (Сл. 2.).

Со аналогна постапка се покажува дека ако , функцијата опаѓа (Сл. 3.).

Овој факт ќе се примени во постапка за испитување на екстреми на функција $f(x)$ преку знакот првиот извод и таа постапка се одвива во следните чекори:

1. Со решавање на равенката $f^{\text{'}}(x)=0$ по $x$ се добиваат стационарните точки.

2. Секоја стационарна точка се подредува по својата вредност на бројната оска и со нив дефиниционата област се раздробува на таканаречени интервали на монотоност . Во секој од овие интервали изводната функцијата $f^{\text{'}}(x)$ има постојан знак.