3.1 Поим за реална функција од повеќе реални променливи

Дефиниција . Секое пресликување $f$ , кое произволно подмножество од множеството $R^n$ го пресликува во подмножество од $R$ се нарекува реална функција од n реални променливи .

Дефиниција . Подмножеството кое се пресликува се нарекува домен (дефинициона област) на функцијата $f$ и се означува со $D_f$ , а неговата слика е кодомен на функцијата $f$ и се означува со $D_f^{-1}$ .

Слика 1. Функција од n -променливи

Функцијата од n променливи вообичаено се означува со $f:R^n\to \text{R}$ или $f:D_f\to D_f^{-1}$ , односно со $Y=f(X)=f(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)$ .

Дефиниција . Функција со две променливи е пресликување на доменот $D_{\text{xy}}$ во $R$ , односно $f:R^2\to \text{R}$ и се означува со $z=f(x,y)$ каде $(x,y)\in R^2$ .

Функцијата од две променливи графички се претставува како дел од површина во простор, т.е. како множество точки во просторот $\Gamma =\{(x,y,f(x,y))\mid (x,y)\in D_{\text{xy}}\}$ .

Пример 1 . На Сл. 2. а) е прикажан дел од графикот на функцијата

$f(x,y)=2+e^{-x/3-y/4}\text{cos}(3\text{.}\mathrm{2x})\text{cos}(1\text{.}\mathrm{4y})$ ,

над правоаголниот домен $D_{\text{xy}}=\{\mathrm{1,2}\text{.}5\}\times \{0\text{.}\mathrm{5,2}\text{.}3\}$ . ◄

а)

Слика 2. а) График на дел од функција со две променли­ви над правоаголен домен

Освен што функцијата со две променливи графички се прикажува како дел од површина во простор, таа може да се прикаже и во рамнина преку проекција на ниво-линиите на дадената површината.

Дефиниција . Ниво линии на една површина над доменот $D_{\text{xy}}$ е множеството на точки на висина $z=C$ , т.е.

$N_c=\{f(x,y)=C\mid (x,y)\in D_{\text{xy}},C\in R\}$ .

Најчесто некој дел од површина во простор се претставува со низа од ниво-линии $N_{C_1},N_{C_2},\text{.}\text{.}\text{.},N_{C_k}$ кои одговараат на низата константи кои се бираат така да го покриваат интервалот од минималната до максималната вредност на функцијата $f$ над дадениот домен. На Сл. 2. б) прикажани се 11 ниво-линии на површи­ната од Сл. 2. а).

б)

Слика 2. б) Ниво линии на истата функција.

На Слика 3 а) прикажана е проекцијата на ниво линиите од Слика 2.

а) б)

Слика 3. Ниво линии-проекција; Изохипси

Домен на функција од две променливи

Доменот на функција од две променливи се определува во дводимензионален простор, односно во $\text{xOy}-$ рамнината. Во најопшт случај тоа е рамнина или некој нејзин дел и се определува според обликот на функцијата и нејзините огранучувања.

Пример 2 . Да се определи и нацрта доменот на функцијата

а) $f(x,y)=\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}$ ;

б) $f(x,y)=\text{arcsin}\frac{y}{x}+\sqrt{\mathrm{2x}-x^2-y^2}$ .

Решение . а) Бидејќи функцијата $f(x,y)$ е дефинирана преку збир од две функции, нејзиниот домен ќе биде пресек на домените за секоја поединечна функција од збирот. Доменот на функцијата квадратен корен се определува од условот подкореновата величина да е ненегативна и затоа дадената функција ќе биде дефинирана за $x+y\ge 0$ и $x-y\ge 0$ , односно за $y\ge -x$ и .

Графичкиот приказ на овие неравенства е (Сл. 4):

• делот од рамнината од I квадрант со правата $y=x$ и под неа;
• делот од IV квадрант со правата $y=-x$ и рамнината над неа.

Слика 4. Домен на функцијата $z=\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}$

б) И оваа функција е дефинирана како збир на две функции. Аркус синус е функција дефинирана за вредности на аргументот кои се по апсолутна вредност помали или еднакви на 1, па затоа функцијата $\text{arcsin}\frac{y}{x}$ ќе биде дефинирана за

и x ≠ 0,

додека втората функција од збирот е квадратен корен $\sqrt{\mathrm{2x}-x^2-y^2}$ и е дефинирана за $\mathrm{2x}-x^2-y^2\ge 0$ . На Слика 5 графички е прикажан доменот на функцијата $f$ кој е реше­ни­е на системот неравенки

.

Слика 5. Домен на функцијата $f(x,y)=\text{arcsin}\frac{y}{x}+\sqrt{\mathrm{2x}-x^2-y^2}$ .