2.2 Права и рамнина во простор

Ќе се разгледа взаемниот однос на права и рамнина во простор. Затоа нека се зададени равенките на правата

и рамнината

$\text{Ax}+\text{By}+\text{Cz}+D=0$ .

Агол меѓу права и рамнина

Аголот меѓу правата и рамнината се определува како агол што го зафаќа правата со својата проекција врз рамнината и е даден со формулата

$\text{sin}\varphi =\frac{\mid \text{Al}+\text{Bm}+\text{Cn}\mid }{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{l^2+m^2+n^2}}$ ,

од каде следува дека правата и рамнината се паралелни ако

$\text{Al}+\text{Bm}+\text{Cn}=0$ ,

а нормални ако

$\frac{A}{l}=\frac{B}{m}=\frac{C}{n}$ .

Пример 1 . Да се напише равенката на проекцијата на правата

$\begin{array}{}\mathrm{5x}-\mathrm{4y}-\mathrm{2z}-5=0\\ x+\mathrm{2z}-2=0\end{array}$

врз рамнината $\mathrm{2x}-y+z-1=0$ .

Решение . Ако правата не е нормална на рамнината, проекцијата на правата врз рамнината е права. За да се определи проекцијата, низ правата се повлекува рамнина нормална на дадената рамнина и пресекот на тие две рамнини е бараната права (проекцијата). За таа цел правата се пишува во облик на сноп рамнини

односно во обликот

$(5+\lambda )x-\mathrm{4y}+(-2+\mathrm{2\lambda })z-5-\mathrm{2\lambda }=0$ .

Нормалниот вектор на снопот рамнини е $\overrightarrow{n_1}=\{5+\lambda ,-\mathrm{4,}-2+\mathrm{2\lambda }\}$ , а нормалниот вектор на дадената рамнина е $\overrightarrow{n_2}=\{\mathrm{2,}-\mathrm{1,1}\}$ . Овие вектори треба да се нормални и затоа

$\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_1}=0$ ,

или изразено по координати

$2(5+\lambda )-1(-4)+1(-2+\mathrm{2\lambda })=0$ ,

од каде се добива дека $\lambda =-3$ . Заменувајќи ја оваа вредност во снопот рамнини се добива равенката на рамнина

$\mathrm{2x}-\mathrm{4y}-\mathrm{8z}+1=0$

која поминува низ дадената права и е нормална на дадената рамнина.

Системот од двете равенки на рамнини (добиената нормална рамнина и дадената рамнина)

$\begin{array}{}\mathrm{2x}-\mathrm{4y}-\mathrm{8z}+1=0\\ \mathrm{2x}-y+z-1=0\end{array}$

ја дава равенката на проекцијата на правата врз рамнината зададена во општ вид како пресек на две рамнини. ◄

Пример 2 . Да се определат координатите на точката $M_0(x_0,y_0,z_0)$ која е симетрична на точката $A(\mathrm{1,0,2})$ во однос на рамнината $\mathrm{2x}+y-z+6=0$ .

Решение . За да се опредли симетричната точка, низ точката $A$ се повелекува права нормална на рамнината (нормала). Векторот нормален на рамнината е

$\overrightarrow{n}=\{\mathrm{2,1,}-1\}$ ,

па равенката на нормалата е

$\frac{x-1}{2}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-2}{-1}$ ,

или запишана со параметарски равенки

$\begin{array}{}x=1+\mathrm{2t}\\ y=t\\ z=2-t\text{.}\end{array}$

Прободот на нормалата со рамнината е точка која се добива како решение на системот равенки

$\begin{array}{}\mathrm{2x}+y-z+6=0\\ x=1+\mathrm{2t}\\ y=t\\ z=2-t\text{.}\end{array}$

Овој систем се сведува на равенката

$2(1+\mathrm{2t})+t-(2-t)+6=0$ ,

од каде се добива дека $t=-1$ и со замена на оваа вредност во равенката на правата се добиваат координатите на точката на пробод $B(-\mathrm{1,}-\mathrm{1,}3)\text{.}$ Точката $B$ е средина меѓу точката $A(\mathrm{1,0,2})$ и точката $M_0(x_0,y_0,z_0)$ и нејзините координати се аритметичка средина од координатите на крајните точки

$\begin{array}{}\frac{1+x_0}{2}=-\mathrm{1,}\\ \frac{0+y_0}{2}=-\mathrm{1,}\\ \frac{2+z_0}{2}=3\end{array}$

од каде

$\begin{array}{}{x}_0=-3\\ y_0=-2\\ z_0=\mathrm{4,}\end{array}$

и симетричната точка е $M(-\mathrm{3,}-\mathrm{2,4})$ . ◄

Рамнина низ две прави

Две прави во простор секогаш не определуваат рамнина. Двете прави

$\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}$

и

$\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2}$

определу­ваат рамнина само ако се компланарни, т.е. ако е исполнет условот за компланарност на трите вектори ${\overrightarrow{p}}_1$ , ${\overrightarrow{p}}_2$ и $\overrightarrow{M_1{M}_2}$ кој се задава преку мешаниот производ

$\mid \begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ l_1& m_1& n_1\\ l_2& m_2& n_2\end{array}\mid =0$ .

Пример 3 . Да се покаже дека правите

$\begin{array}{}x=-2+t\\ y=3+\mathrm{2t}\\ z=4-t\end{array}$

и

$\begin{array}{}x=3-t\\ y=4-\mathrm{2t}\\ z=t\end{array}$

се паралелни и да се најде равенката на рамнината која ја определуваат двете прави.

Решение . ( Прв начин ) Векторите со кои се паралелни правите се

${\overrightarrow{p}}_1$ = {1, 2, –1} и ${\overrightarrow{p}}_2$ = {–1, –2, 1},

a правите се паралелни бидејќи го задоволуваат условот за паралелност

$\frac{1}{-1}=\frac{2}{-2}=\frac{-1}{1}=-1$ .

Равенката на рамнината низ двете паралелни прави ќе се добие ако се формира рамнина низ првата права (сноп рамнини) и низ точка од втората права. Првата права која е зададена во параметарски вид со равенките

се доведува во каноничен вид

$\frac{x+2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-4}{-1}$ ,

а потоа и во општ вид

и по средување

$\begin{array}{}\mathrm{2x}-y+7=0\\ x+z-2=0\text{.}\end{array}$

Снопот рамнини што го дефинира оваа права е

и од него треба да се избере рамнината која поминува низ една точка од втората права, а таква е на пример точката (3, 4, 0). Со замена на нејзините координати во снопот рамнини се добива

$2\cdot 3-4+7+\lambda (3+0-2)=0$ ,

од каде $\lambda =-9$ и заменувајќи ја оваа вредност во снопот рамнини равенката на бараната рамнина e

$\mathrm{7x}+y+\mathrm{9z}=\text{25}$ .

( Втор начин ) Повеќето задачи од аналитичка геометрија дозволуваат разни начини на решавање. Оваа задача може да се сведе и на проблемот за компланарност на три вектори, кој е поедноставен начина за нејзино решавање. Затоа треба да се определат три вектори што ги определуваат овие две прави. Бидејќи правите се паралелни се зема само еден од векторите во правец на правите на пр. векторот ${\overrightarrow{p}}_1=\{\mathrm{1,2,}-1\}$ . Вториот вектор е векторот меѓу две точки од правите. На првата права и припаѓа точката $A(-\mathrm{2,3,4})$ а на втората точката $B(\mathrm{3,4,0})$ , а векторот меѓу овие две точки е $\overrightarrow{\text{AB}}=\{\mathrm{5,}\mathrm{1,}-4\}\text{.}$ Третиот вектор $\overrightarrow{\text{AM}}=\{x+\mathrm{2,}y-\mathrm{3,}z-4\}$ е формиран меѓу произволна точка $M(x,y,z)$ од рамнината и една од дадените точки, на пример точката $A(-\mathrm{2,3,4})$ . Овие три вектори треба да се компланарни па затоа

$\mid \begin{array}{ccc}x+2& y-3& z-4\\ 1& 2& -1\\ 5& 1& -4\end{array}\mid =0$ ,

од каде се добива равенката на бараната рамнина

$\mathrm{7x}+y+\mathrm{9z}=\text{25}$ . ◄