2.1 Права во простор

Права во простор аналитички може да се определи на повеќе начини и подолу ќе се прикажат неколку видови равенки на права и взаемниот однос на две прави.

Каноничен вид равенка на права

Равенката на права низ точката $M_0(x_0,y_0,z_0)$ која е паралелна векторот $\overrightarrow{p}=\{l,m,n\}$ е зададена со продолженото равенство

$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$

и претставува равенка на права во каноничен вид .

Параметарски равенки на права

Ако продолженото равенството со кое е задаена правата во каконичен облик се изедначи со параметарот $\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}=t$ се добива

$\begin{array}{}x=x_0+\text{lt}\\ y=y_0+\text{mt}\\ z=z_0+\text{nt}\end{array}$

што претставува равенка на права во параметарски вид . За секоја вредност на параметарот $t\in R$ се добиваат координатите на една точка од правата.

Пример 1 . Да се покаже дека правата $x=\mathrm{0,}y=t,z=t$ лежи во рамнината $\mathrm{6x}+\mathrm{4y}-\mathrm{4z}=0$ .

Решение . Права лежи во рамнина ако било кои две нејзини точки лежат во рамнината. Во параметарската равенка на прва со задавање на различни вредности на параметарот $t$ се добиваат координатите на различни точки од правата. Така на пример за $t=0$ , една точка од правата е $M_1=(\mathrm{0,0,0})$ , а за $t=2$ , втора точка од правата е $M_2=(\mathrm{0,2,2})$ . Ако ги замениме координатите на точките во равенката на рамнина, за првата точка се добива дека таа ја задоволува равенката на рамнината бидејќи

6∙ 0 + 4∙0 – 4∙0 = 0,

а исто така и за втората точка

6∙ 0 + 4∙2 – 4∙2 = 0,

што значи дека правата лежи во рамнината. ◄

Општ вид равенка на права

Права може да се зададе во вид на пресек на две рамнини

$\begin{array}{}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$

и овој систем од две рамнини претставува општ вид равенка на права .

Координатите на векторот $\overrightarrow{p}$ со кој е паралелна правата се определуваат преку коефициентите од системот рамнини со

$\overrightarrow{p}=\left\{\mid \begin{array}{cc}{B}_1& C_1\\ B_2& C_2\end{array}\mid ,\mid \begin{array}{cc}{C}_1& A_1\\ C_2& A_2\end{array}\mid ,\mid \begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ A_2& B_2\end{array}\mid \right\}=\mid \begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ A_1& B_1& C_1\\ A_2& B_2& C_2\end{array}\mid$ .

Права низ две точки и пресек на две прави

Права може да се определи ако се познати координатите на две нејзини точки. Равенката на права низ која минува низ точките $M_1(x_1,y_1,z_1)$ и $M_2(x_2,y_2,z_2)$ ќе се добие преку равенката на права во каконичен облик, каде една од точките се зема за точка низ која поминува правата на пр. точката $M_1$ , а векторот со кој е паралелна правата е векторот меѓу двете точки и равенката на права низ две точки е

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ .

• Пресекот на две прави , ако постои, е нивната заедничка точка. Две прави кои не се паралелни се сечат само ако лежат во иста рамнина, а во спротивно тие се разминувачки прави и немаат пресек.

Пример 2 . Да се покаже дека правите $x=1+\mathrm{2t},y=2-t,z=4-\mathrm{2t}$ и $x=9+t,y=5+\mathrm{3t},z=-4-t$ се сечат.

Решение . Најпрво преба да се покаже дека правите се компланарни. Правата $x=1+\mathrm{2t},y=2-t,z=4-\mathrm{2t}$

поминува низ точката $M_1(\mathrm{1,2,4})$ и е паралелна на векторот $\overrightarrow{p_1}=\{\mathrm{2,}-\mathrm{1,}-2\}$ , а правата $x=9+t,y=5+\mathrm{3t},z=-4-t$ поминува низ точката $M_2(\mathrm{9,5,}-4)$ и е паралелна на векторот $\overrightarrow{p_2}=\{\mathrm{1,3,}-1\}$ . Двете прави се компланарни бидејќи

$(\overrightarrow{M_1{M}_2},\overrightarrow{p_1},\overrightarrow{p_2})=\mid \begin{array}{ccc}8& 3& -8\\ 1& 3& -1\\ 2& -1& -2\end{array}\mid =0$ .

Компланатните прави (ако не се паралелни) се сечат во точка, што значи дека постојат параметри $t_1$ и $t_2$ такви што координатите на пресечната точка од првата права $x=1+{\mathrm{2t}}_1,y=2-t_1,z=4-{\mathrm{2t}}_1$ и координатите на пресечната точка од втората права $x=9+t_2,y=5+{\mathrm{3t}}_2,z=-4-t_2$ се еднакви, односно точките имаат исти соодветни координати

$1+{\mathrm{2t}}_1=9+t_2$

$2-t_1=5+{\mathrm{3t}}_2$

$4-{\mathrm{2t}}_1=-4-t_2$ .

Од првите две равенки се добива $t_1=3$ и $t_2=-2$ и овие вредности ја задоволуваат третата равенка. Координатите на пресечната точка ќе се добијат со замена на една од добиените вредностите за $t$ во соодветната права. На пр. ако вредноста $t_1=3$ се замени во $x=1+{\mathrm{2t}}_1,y=2-t_1,z=4-{\mathrm{2t}}_1$ се добиваат координатите на пресечната точка $M(\mathrm{7,}-\mathrm{1,}-2)$ . ◄

Агол меѓу две прави

Аголот меѓу правите

$\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}$ и $\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2}$

се определува како агол меѓу векторите $\overrightarrow{p_1}=\{l_1,m_1,n_1\}$ и $\overrightarrow{p_2}=\{l_2,m_2,n_2\}$ со кои се паралелни правите, т.е.

$\text{cos}\varphi =\frac{l_1{l}_2+m_1{m}_2+n_1{n}_2}{\sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2}\sqrt{l_2^2+m_2^2+n_2^2}}$ .

Затоа условот за паралелност на две прави е

$\frac{l_1}{l_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}$ ,

а условот за нормалност е

$l_1{l}_2+m_1{m}_2+n_1{n}_2$ = 0.

Пример 3 . Да се покаже дека правите

$x=2-t,y=\mathrm{2t},z=1+t$ и $x=1+\mathrm{2t},y=3-\mathrm{4t},z=5-\mathrm{2t}$

се паралелни и да се најде растојанието меѓу нив.

Решение . Правите се паралелни бидејќи векторите $\overrightarrow{p_1}=\{-\mathrm{1,2,1}\}$ и $\overrightarrow{p_2}=\{\mathrm{2,}-\mathrm{4,}-2\}$ со кои се паралелни правите го задоволуваат условот за паралелност

$$ $\frac{-1}{2}=\frac{2}{-4}=\frac{1}{-2}$ .

Кога правите се паралелни, растојанието меѓу нив се определува преку нормалното (најкраткото) растојание од било која точка од едната права до втората права. За таа цел низ една точка од првата права се повлекува рамнина нормална на правата и прободот на таа рамнина со втората права е точка која е на најкратко растојание. Растојанието меѓу овие две точки е бараното растојание. Точката $A(\mathrm{2,0,1})$ е точка од првата права $x=2-t,y=\mathrm{2t},z=1+t$ која е добиена за $t=0$ . Равенката на рамнина низ точката $A(\mathrm{2,0,1})$ нормална на векторот $\overrightarrow{p_1}=\{-\mathrm{1,2,1}\}$ ќе гласи $-1(x-2)+2(y-0)+1(z-1)=0$ и по средување се добива

Прободот на оваа рамнина со втората права ги определува координатите на точката $B$ која е на најкратко растојание од точката $A$ . За таа цел се решава системот равенки

$\begin{array}{}-x+\mathrm{2y}+z+1=0\\ x=1+\mathrm{2t},y=3-\mathrm{4t},z=5-\mathrm{2t}\end{array}$

и со замена на параметарските равенки на правата во рамнината се добива

$-(1+\mathrm{2t})+2(3-\mathrm{4t})+5-\mathrm{2t}+1=0$ ,

од каде се определува вредноста на параметарот $t=\frac{\text{11}}{\text{12}}$ . Заменувајќи ја оваа вредност во равенката на втората права $x=2-t,y=\mathrm{2t},z=1+t$ со добиваат координатите на пресечната точка $B\left(\frac{\text{17}}{6},\frac{-2}{3},\frac{\text{19}}{6}\right)$ .

Растојанието меѓу точките $A(\mathrm{2,0,1})$ и $B\left(\frac{\text{17}}{6},\frac{-2}{3},\frac{\text{19}}{6}\right)$ го определува растојанието меѓу паралелните прави:

$d=\sqrt{{\left(\frac{\text{17}}{6}-2\right)}^2+{\left(\frac{-2}{3}-0\right)}^2+{\left(\frac{\text{19}}{6}-1\right)}^2}=\sqrt{\frac{\text{35}}{6}}$ . ◄

Векторски равенки на права

Правата може да се зададе и во векторски вид кога се знае една нејзина точка $M_0(x_0,y_0,z_0)$ и векторот $\overrightarrow{p}=\{l,m,n\}$ со кој правата е паралелна. Векторот низ точките $O$ и $M_0$ e $\overrightarrow{{\text{OM}}_0}=\{x_0,y_0,z_0\}$ и нека се воведе ознаката $\overrightarrow{{\text{OM}}_0}=\overrightarrow{p_0}$ , а $\overrightarrow{r}=\{x,y,z\}$ е било кој вектор со почеток во $O$ и крај во произволна точка $M(x,y,z)$ која лежи на правата.

Равенката

каде $t\in R$ е произволен параметар претставува равенка на права во векторски вид .