2.1 Kwadraatsvoltooiing

Siyavula textbooks: wiskunde Page 1 / 1

Kwadraatsvoltooiing

Ons het gesien dat die vergelyking in die vorm:

a^{2} x^{2} - b^{2}

bekend is as die verskil in vierkante en kan as volg gefaktoriseer word:

(a x - b) (a x + b) .

Hierdie eenvoudige faktorisering lei na 'n ander tegniek om kwadratiese vergelykings op te los wat bekend staan as kwadraatsvoltooiing .

Ons wys met 'n eenvoudige voorbeeld, deur te probeer om vir $x$ op te los in:

x^{2} - 2 x - 1 = 0 .

Ons kan nie maklik faktore van hierdie term vind nie, maar die eerste twee terme lyk soortgelyk aan die eerste twee terme van die volmaakte vierkant:

{(x - 1)}^{2} = x^{2} - 2 x + 1 .

Ons kan egter kul en 'n volmaakte vierkant skep deur 2 aan beide kante van die vergelyking te voeg.

\begin{matrix} x^{2} - 2 x - 1 & = & 0 \\ x^{2} - 2 x - 1 + 2 & = & 0 + 2 \\ x^{2} - 2 x + 1 & = & 2 \\ {(x - 1)}^{2} & = & 2 \\ {(x - 1)}^{2} - 2 & = & 0 \end{matrix}

Ons weet dat:

2 = {(\sqrt{2})}^{2}

wat beteken dat:

{(x - 1)}^{2} - 2

is 'n verskil van vierkante. Ons kan dus skryf:

{(x - 1)}^{2} - 2 = [(x - 1) - \sqrt{2}] [(x - 1) + \sqrt{2}] = 0 .

Die oplossing vir $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ is dus:

(x - 1) - \sqrt{2} = 0

(x - 1) + \sqrt{2} = 0 .

Dit beteken $x = 1 + \sqrt{2}$ of $x = 1 - \sqrt{2}$ . Hierdie voorbeeld toon die gebruik van kwadraatsvoltooiing om 'n kwadratiese vergelyking op te los.

Metode: los kwadratiese vergelykings op deur kwadraatsvoltooing

Skryf die vergelyking in die vorm $a x^{2} + b x + c = 0$ . bv. $x^{2} + 2 x - 3 = 0$
Neem die konstante oor na die regterkant van die vergelyking. Bv. $x^{2} + 2 x = 3$
Indien nodig stel die koëffisiënt van $x^{2}$ = 1, deur te deel deur die bestaande koëffisiënt.
Neem die helfte van die koëffisiënt van die $x$ -term, kwadreer dit en voeg dit aan beide kante van die vergelyking. Bv. in $x^{2} + 2 x = 3$ , die helfte van die koëffisiënt van die $x$ -term is 1 en $1^{2} = 1$ . Daarom voeg ons 1 aan albei kante by om $x^{2} + 2 x + 1 = 3 + 1$ te kry.
Skryf die linkerkant as 'n volkome vierkant: ${(x + 1)}^{2} - 4 = 0$
Jy moet dan in staat wees om die vergelyking in terme van die verskil in vierkante te faktoriseer en dan vir $x$ op te los: $(x + 1 - 2) (x + 1 + 2) = 0$

Los op:

x^{2} - 10 x - 11 = 0

deur kwadraatsvoltooiing.

Skryf die vergelyking in die vorm $a x^{2} + b x + c = 0$
$x^{2} - 10 x - 11 = 0$
Neem die konstante oor na die regterkant van die vergelyking
$x^{2} - 10 x = 11$
Kyk dat die koëffisiënt van die term $x^{2}$ 1 is
Die koëffisiënt van die term $x^{2}$ is 1.
Neem die helfte van die koëffisiënt van die $x$ -term, kwadreer dit en voeg dit aan beide kante van die vergelyking
Die koëffisiënt van die term $x$ is -10. Helfte van die koëffisiënt van die term $x$ sal wees $\frac{(- 10)}{2} = - 5$ en die kwadraat sal wees ${(- 5)}^{2} = 25$ . Dus:

$x^{2} - 10 x + 25 = 11 + 25$
Skryf die linkerkant as 'n volkome vierkant
${(x - 5)}^{2} - 36 = 0$
Faktoriseer die vergelyking as die verskil in vierkante
${(x - 5)}^{2} - 36 = 0$

$[(x - 5) + 6] [(x - 5) - 6] = 0$
Los die onbekende waarde op
$\begin{matrix} [x + 1] [x - 11] & = & 0 \\ ∴ x = - 1 & of & x = 11 \end{matrix}$

Los op:

2 x^{2} - 8 x - 16 = 0

deur kwadraatsvoltooiing.

Skryf die vergelyking in die vorm $a x^{2} + b x + c = 0$
$2 x^{2} - 8 x - 16 = 0$
Neem die konstante oor na die regterkant van die vergelyking
$2 x^{2} - 8 x = 16$
Kyk dat die koëffisiënt van die term $x^{2}$ 1 is.
Die koëffisiënt van die term $x^{2}$ is 2. Deel dus beide kante deur 2:

$x^{2} - 4 x = 8$
Neem die helfte van die koëffisiënt van die $x$ -term, kwadreer dit en voeg dit aan beide kante van die vergelyking
Die koëffisiënt van die term $x$ is -4; $\frac{(- 4)}{2} = - 2$ en ${(- 2)}^{2} = 4$ . Dus:

$x^{2} - 4 x + 4 = 8 + 4$
Skryf die linkerkant as 'n volkome vierkant
${(x - 2)}^{2} - 12 = 0$
Faktoriseer die vergelyking as die verskil in vierkante
$[(x - 2) + \sqrt{12}] [(x - 2) - \sqrt{12}] = 0$
Los die onbekende waarde op
$\begin{matrix} [x - 2 + \sqrt{12}] [x - 2 - \sqrt{12}] & = & 0 \\ ∴ x = 2 - \sqrt{12} & or & x = 2 + \sqrt{12} \end{matrix}$
Die laaste drie stappe kan ook op 'n ander manier gedoen word
Laat die linkerkant as 'n volkome vierkant geskryf

${(x - 2)}^{2} = 12$
Kry die vierkantswortel aan beide kante van die vergelyking
$x - 2 = \pm \sqrt{12}$
Los op vir $x$
Dus $x = 2 - \sqrt{12}$ of $x = 2 + \sqrt{12}$

Vergelyk met antwoord in stap 7.

Khan academy video on solving quadratics - 1

Kwadraatsvoltooiing oefeninge

Los die volgende vergelykings op deur kwadraatsvoltooiing:

$x^{2} + 10 x - 2 = 0$
$x^{2} + 4 x + 3 = 0$
$x^{2} + 8 x - 5 = 0$
$2 x^{2} + 12 x + 4 = 0$
$x^{2} + 5 x + 9 = 0$
$x^{2} + 16 x + 10 = 0$
$3 x^{2} + 6 x - 2 = 0$
$z^{2} + 8 z - 6 = 0$
$2 z^{2} - 11 z = 0$
$5 + 4 z - z^{2} = 0$

<< Chapter < Page Page > Chapter >>

Read also:

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

100% Free Mobile Applications
Receive real-time job alerts and never miss the right job again

Source: OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11). OpenStax CNX. Sep 20, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11339/1.4

Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11)' conversation and receive update notifications?

Ask

©flickr:	Math for Economists MCQ By Tony Pizur Start Quiz
	17 AP 17 Endocrine System MCQ By OpenStax Start Quiz
	8 Psychology MCQ 2011 1 Exam By John Gabrieli Start Exam
	7 Biology 07 Cellular Respiration MCQ By OpenStax Start Quiz
	Assembly Programming Language By JavaChamp Team Start Quiz
	Real Estate Finance Exam 2003 By Tod McGrath Start Exam
	11 AP Key Terms 11 The Muscular System By OpenStax Start Key Terms
	2 Human A&P 2- Test 2 By Madison Christian Start Flashcards
	13 AP Key Terms 13 Anatomy of the Nervous System By OpenStax Start Key Terms
©flickr: Jovial	Video Mid Term By Dewey Compton Start Exam