La región de convergencia, también conocida como
ROC , es importante entender por que define la región donde la
transformada-z existe. La
transformada–z se define por
La ROC para una
, es definida como el rango de
para la cual la transformada-z converge. Ya que la transformada–z es una
serie de potencia , converge cuando
es absolutamente sumable. En otras palabras,
tiene que ser satisfecha para la convergencia.
Propiedades de la región de convergencia
La región de convergencia tiene propiedades que dependen de la características de la señal,
.
La ROC no tiene que contener algún polo. Por definición un polo es donde
es infinito. Ya que
tiene que ser finita para todas las
para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC.
Si
es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en
o
. Una secuencia de
duración finita es aquella que tienen valor de no cero en un intervalo finito
.Mientras que cada valor de
es finito entonces la secuencia será absolutamente sumable. Cuando
entonces existirá
términos por lo tanto la ROC no incluye
.
Cuando
la suma será infinita por lo tanto la ROC no incluye
.
Pero si,
entonces la ROC incluirá
,
y cuando
la ROC incluirá
.
Con esta condiciones, la única señal que tiene una ROC que cubre todo el plano-z es
.
Las siguientes propiedades se aplican a secuencias con duración infinita. Como se menciono anterior mente la transformada-z converge cuando
.
Así que podemos escribir
Podemos separar la suma infinita en su tiempo positive y negativa. Por lo tanto
donde
y
Para que
se infinita,
tiene que estar restringida entonces definamos
para
y
para
De estos también se pueden derivar más propiedades:
Si
es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se extiende hacia fuera en el ultimo polo desde
. Una
secuencia del lado derecho es aquella donde
para
.
Si vemos la porción del tiempo positive de la ultima derivación, se puede deducir que
Por lo tanto para que la suma converja,
,
así que la ROC de una secuencia del lado derecho tiene la forma de
.
Si
es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro desde el polo mas cercano en
. Una secuencia del
lado izquierdo es aquella donde
para
.
Si vemos la porción del lado negativa de la ultima derivación se puede deducir que
Por lo tanto para que la suma converja,
,
así que la ROC de la secuencia del lado izquierdo tiene la forma de
.
Si
es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que esta restringida en su interior y exterior por un polo . Una
secuencia de dos lados es aquella con duración infinita en direcciones positivas y negativas. De la derivación de las dos propiedades, podemos deducir que si
converge, entonces el tiempo positivo y el tiempo negativo converge, y
converge también. Por eso la ROC de una secuencia de dos lados tiene la forma de
.
Ejemplos
Para entender esto mejor veremos los siguientes ejemplos.
Tomemos
La transformada de
es
con ROC en
.
La transformada de
es
con ROC en
.
Usando linealidad,
Al observar esto se vuelve claro que hay dos cero, uno en
y el otro en
,
y dos polos, uno en
,
y en
.
Usando las propiedades, la ROC es
.