11.2 Transformada discreta de fourier (dft)

La transformada de Fourier Discreta en el tiempo (y también la transformada continua) pueden ser evaluadas cuando tenemos una expresión analítica para la señal. Suponga que tengamos una señal, como es la señal del habla usada en el capitulo anterior, para ella no existe una formula. Entonces¿cómo podría usted calcular su espectro? Por ejemplo,¿cómo calculamos el espectrograma para el ejemplo de la señal de habla ? La transformada de Fourier discreta ( DFT) nos permite calcula el espectro de información discreta en el tiempo. Estando en tiempo discreto podemos calcular exactamente el espectro, para señales análogas no existe manera similar para calcular su espectro similar. Para el espectro de señales análogas se tienen que construir equipo especial, que consiste en casi todos los casos de convertidores A / D y computaciones discretas. Análisis de el espectro discreta en el tiempo son mas flexibles que los análisis de las señales continuas.

La formula del DTFT es una suma que conceptualmente es fácil de calcular excepto por unos problemas.

• Duración de la señal . La suma se extiende sobre la duración de la señal, la cual tiene que ser finita para calcular el espectro de la señal. Es extremadamente difícil guardar una señal infinita, asíque asumimos que la señal se extiende sobre $\left[0 , N-1\right]$ .
• Frecuencia continúa . Igual de importante que el problema de la duración de la señal es el hecho que la frecuencia variable es continua: talvez solo se tenga que extender un periodo, como $\left[-\left(\frac{1}{2}\right) , \frac{1}{2}\right]$ o $\left[0 , 1\right]$ , pero la formula DTFT requiere evaluar el espectro de todas las frecuencias dentro del periodo. Calculemos el espectro de unas cuantas frecuencias; las mas obvias son las que tienen una espacio similar $f=\frac{k}{K}$ , $k\in \{k, \dots , K-1\}$ .

Asíque definimos la transformada discreta de Fourier ( DFT) como

Aquí, $S(k)$ representa $S(e^{i\times 2\pi \frac{k}{K}})$ .

Podemos calcular el espectro en todas las frecuencias con espacio similar que queremos. Note que usted puede pensar de esta motivación computacional como muestrear el espectro; se vera mas sobre esta interpretación después. El problema ahora es el saber cuantas frecuencias son suficientes para capturar el como el espectro cambia con la frecuencia. Una manera de responder esta pregunta es determinando la formula de la transformada inversa discreta de Fourier: dado $S(k)$ , $k=\{0, \dots , K-1\}$ ¿cómo encontramos $s(n)$ , $n=\{0, \dots , N-1\}$ ? La formula estaráen la siguiente manera $s(n)=\sum_{k=0}^{K-1} S(k)e^{\frac{i\times 2\pi nk}{K}}$ . Substituyendo la formula DFT en este prototipo para la transformada inversa da

Otra manera para entender este requerimiento es el usar de teoría de ecuaciones lineares. Si escribimos la expresión para el DFT como un conjunto de ecuaciones lineares,

Por convención, el numero de valores para las frecuencias del DFT $K$ es elegido para igualar la duración de la señal $N$ . El par para la transformada discreta de Fourier consiste de