<< Chapter < Page Chapter >> Page >
Претворање на реален број во дропка и обратно.

Претставување на реалните броеви со децимални дропки

Нека е даден реален број x > 0 size 12{x>0} {} кој не е цел број. Ако x size 12{x} {} може да се напише како конечна децимална дропка, односно

x = a 0 , a 1 a 2 . . . a n size 12{x=a rSub { size 8{0} } ,a rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{2} } "." "." "." a rSub { size 8{n} } } {}

тогаш

x = a 0 , a 1 a 2 . . . a n = a 0 a 1 a 2 . . . a n 10 n = p q size 12{x=a rSub { size 8{0} } ,a rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{2} } "." "." "." a rSub { size 8{n} } = { {a rSub { size 8{0} } a rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{2} } "." "." "." a rSub { size 8{n} } } over {"10" rSup { size 8{n} } } } = { {p} over {q} } } {} ,

од каде следува дека секој реален број запишан со конечна децимална дропка е рационален број и обратно.

Сега нека претпоставиме дека x size 12{x} {} не може да се напише во конечна децимална дропка. Тогаш согурно x size 12{x} {} се наоѓа меѓу два последователни цели броја, односно постои цел број C size 12{x} {} таков што

C < x < C + 1 . size 12{C<x<C+1 "." } {}

Нека интервалот меѓу C size 12{x} {} и C size 12{x} {} +1 се подели на десет дела со броевите c 1 , c 2 , c 3 , . . . , c 9 size 12{c rSub { size 8{1} } ,`c rSub { size 8{2} } ,`c rSub { size 8{3} } , "." "." "." ,c rSub { size 8{9} } } {} . Тогаш x size 12{x} {} ќе се најде во еден од овие подинтервали и тоа се запишува со

C , c 1 < x < C , c 1 + 1 10 . size 12{C,c rSub { size 8{1} }<x<C,c rSub { size 8{1} } + { {1} over {"10"} } "." } {}

Со продолжување на постапката се добива

C , c 1 c 2 . . . c n < x < C , c 1 c 2 . . . c n + 1 10 size 12{C,c rSub { size 8{1} } c rSub { size 8{2} } "." "." "." c rSub { size 8{n} }<x<C,c rSub { size 8{1} } c rSub { size 8{2} } "." "." "." c rSub { size 8{n} } + { {1} over {"10"} } } {} ,

што претставува бесконечна децимална дропка која може да се сумира и таа сума ќе го претставува реалниот број x size 12{x} {} . Ако бројот x size 12{x} {} се поклопи со некој од краевите на претходниот интервал, тогаш ќе важи

C , c 1 c 2 . . . c n x C , c 1 c 2 . . . c n + 1 10 size 12{C,c rSub { size 8{1} } c rSub { size 8{2} } "." "." "." c rSub { size 8{n} }<= x<= C,c rSub { size 8{1} } c rSub { size 8{2} } "." "." "." c rSub { size 8{n} } + { {1} over {"10"} } } {}

и левата и десната страна во последното неравенство ќе бидат еднакви и сите цифри кои следат ќе бидат секогаш нули или деветки кои периодично се повторуваат.

Пример 1.

Бројот 1, 234 = 1, 234000 . . . = 1, 2339999 . . . size 12{1,"234"=1,"234000" "." "." "." =1,"2339999" "." "." "." } {}

Навистина, првото равенство 1, 234 = 1, 234000 . . . size 12{1,"234"=1,"234000" "." "." "." } {} е очигледно, додека второто равенство ќе се докаже. За таа цел, бројот 1, 2339999 . . . size 12{1,"2339999" "." "." "." } {} се запишува како

1, 2339999 . . . = 1, 233 + 0, 0009999 . . . = size 12{1,"2339999" "." "." "." =1,"233"+0,"0009999" "." "." "." ={}} {}

= 1, 233 + 9 10 4 + 9 10 5 + 9 10 6 + size 12{ {}=1,"233"+ { {9} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {9} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {9} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + dotsaxis } {} = 1, 233 + 9 ( 1 10 4 + 1 10 5 + 1 10 6 + ) size 12{1,"233"+9 \( { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + dotsaxis \) } {} .

Изразот во заградата е конвергентен геометри­ски ред чии што збир е

1 10 4 + 1 10 5 + 1 10 6 + = a 1 1 q = 1 10 4 1 1 10 = 1 9 10 3 size 12{ { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + dotsaxis = { {a rSub { size 8{1} } } over {1 - q} } = { { { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } } over {1 - { {1} over {"10"} } } } = { {1} over {9 cdot "10" rSup { size 8{3} } } } } {} ,

па затоа

1, 233 + 9 ( 1 10 4 + 1 10 5 + 1 10 6 + . . . ) size 12{1,"233"+9 \( { {1} over {"10" rSup { size 8{4} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{6} } } } + "." "." "." \) } {} = 1, 233 + 9 9 10 3 = size 12{ {}=1,"233"+ { {9} over {9 cdot "10" rSup { size 8{3} } } } ={}} {}

= 1, 233 + 1 10 3 = 1, 233 + 0, 001 = 1, 234 size 12{ {}=1,"233"+ { {1} over {"10" rSup { size 8{3} } } } =1,"233"+0,"001"=1,"234"} {}

од каде следува дека 1, 234 = 1, 234000 . . . = 1, 2339999 . . . size 12{1,"234"=1,"234000" "." "." "." =1,"2339999" "." "." "." } {} .

Заклучок

За секој реален број постои бесконечна децимална дропка и на секоја бесконечна децимална дропка и одговара еден реален број. Рационалните броеви се изразуваат со периодични, а ирационалните со непериодични децимални дропки.

Пример 2.

За ирационалниот број 2 size 12{ sqrt {2} } {} важи

1,4< 2 size 12{ sqrt {2} } {} <1,5

1,41< 2 size 12{ sqrt {2} } {} <1,42

1,414< 2 size 12{ sqrt {2} } {} <1,415

1,4142< 2 size 12{ sqrt {2} } {} <1,4143

1,41421< 2 size 12{ sqrt {2} } {} <1,41422

и за него не постои конечен децимален запис. Децималното претставување на ирационален број се врши со земање на конечен број децимални цифри и отфралање на преостанатите бесконечно многу цифри, што претставува негова приближна вредност. Така приближно 2 size 12{ sqrt {2} } {} може да се запише како 2 size 12{ sqrt {2} approx } {} 1,41 со точност до втората или 2 size 12{ sqrt {2} approx } {} 1,41421 со точност до петата или со точност до триесетидеветтата децимална цифра

2 size 12{ sqrt {2} approx } {} 1,414213562373095048801688724209698078570.

Пример 3.

Рационалните броеви кои се претставуваат преку бесконечни децимални дропки се секогаш периодични дропки. На пример:

1 3 = 0, 333 . . . = 0, ( 3 ) size 12{ { {1} over {3} } =0,"333" "." "." "." =0, \( 3 \) } {}

5 7 = 0, 714285 714285 714285 . . . = 0, ( 714285 ) size 12{ { {5} over {7} } =0,"714285"``"714285"``"714285" "." "." "." =0,` \( "714285" \) } {} .

Точно е и обратното тврдење: секоја периодична дропка претставува рационален број.

Пример 4.

Да се претвори периодичниот децимален број во рационален број.

Поаѓајки од

3, 45 ( 125 ) = 3, 45125125125 . . . = size 12{3,"45" \( "125" \) =3,"45125125125" "." "." "." ={}} {}

= 3 + 45 100 + 125 10 5 + 125 10 8 + 125 10 11 + = size 12{ {}=3+ { {"45"} over {"100"} } + { {"125"} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {"125"} over {"10" rSup { size 8{8} } } } + { {"125"} over {"10" rSup { size 8{"11"} } } } + dotsaxis ={}} {}

= 3 + 45 100 + 125 ( 1 10 5 + 1 10 8 + 1 10 11 + ) = size 12{ {}=3+ { {"45"} over {"100"} } +"125" \( { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{8} } } } + { {1} over {"10" rSup { size 8{"11"} } } } + dotsaxis \) ={}} {}

= 3 + 45 100 + 125 1 10 5 1 1 10 3 = 3 + 45 100 + 125 999 10 2 = size 12{ {}=3+ { {"45"} over {"100"} } +"125" { { { {1} over {"10" rSup { size 8{5} } } } } over {1 - { {1} over {"10" rSup { size 8{3} } } } } } =3+ { {"45"} over {"100"} } + { {"125"} over {"999" cdot "10" rSup { size 8{2} } } } ={}} {}

= 344655 + 125 99900 = 344780 99900 size 12{ { {"344655"+"125"} over {"99900"} } = { {"344780"} over {"99900"} } } {}

се добива дека 3,45 ( 125 ) = 344780 99900 size 12{"3,45" \( "125" \) = { {"344780"} over {"99900"} } } {} .

Questions & Answers

what is the stm
Brian Reply
is there industrial application of fullrenes. What is the method to prepare fullrene on large scale.?
Rafiq
industrial application...? mmm I think on the medical side as drug carrier, but you should go deeper on your research, I may be wrong
Damian
How we are making nano material?
LITNING Reply
what is a peer
LITNING Reply
What is meant by 'nano scale'?
LITNING Reply
What is STMs full form?
LITNING
scanning tunneling microscope
Sahil
how nano science is used for hydrophobicity
Santosh
Do u think that Graphene and Fullrene fiber can be used to make Air Plane body structure the lightest and strongest. Rafiq
Rafiq
what is differents between GO and RGO?
Mahi
what is simplest way to understand the applications of nano robots used to detect the cancer affected cell of human body.? How this robot is carried to required site of body cell.? what will be the carrier material and how can be detected that correct delivery of drug is done Rafiq
Rafiq
what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
anyone know any internet site where one can find nanotechnology papers?
Damian Reply
research.net
kanaga
sciencedirect big data base
Ernesto
Introduction about quantum dots in nanotechnology
Praveena Reply
what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
how to know photocatalytic properties of tio2 nanoparticles...what to do now
Akash Reply
it is a goid question and i want to know the answer as well
Maciej
characteristics of micro business
Abigail
for teaching engĺish at school how nano technology help us
Anassong
How can I make nanorobot?
Lily
Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
there is no specific books for beginners but there is book called principle of nanotechnology
NANO
how can I make nanorobot?
Lily
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
fullerene is a bucky ball aka Carbon 60 molecule. It was name by the architect Fuller. He design the geodesic dome. it resembles a soccer ball.
Tarell
what is the actual application of fullerenes nowadays?
Damian
That is a great question Damian. best way to answer that question is to Google it. there are hundreds of applications for buck minister fullerenes, from medical to aerospace. you can also find plenty of research papers that will give you great detail on the potential applications of fullerenes.
Tarell
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Математика 1. OpenStax CNX. Nov 17, 2014 Download for free at http://legacy.cnx.org/content/col11377/1.12
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Математика 1' conversation and receive update notifications?

Ask