1.9 Децимални дропки

Претставување на реалните броеви со децимални дропки

Нека е даден реален број $x>0$ кој не е цел број. Ако $x$ може да се напише како конечна децимална дропка, односно

$x=a_0,a_1{a}_2\text{.}\text{.}\text{.}{a}_n$

тогаш

$x=a_0,a_1{a}_2\text{.}\text{.}\text{.}{a}_n=\frac{a_0{a}_1{a}_2\text{.}\text{.}\text{.}{a}_n}{{\text{10}}^n}=\frac{p}{q}$ ,

од каде следува дека секој реален број запишан со конечна децимална дропка е рационален број и обратно.

Сега нека претпоставиме дека $x$ не може да се напише во конечна децимална дропка. Тогаш согурно $x$ се наоѓа меѓу два последователни цели броја, односно постои цел број $C$ таков што

Нека интервалот меѓу $C$ и $C$ +1 се подели на десет дела со броевите $c_1,c_2,c_3,\text{.}\text{.}\text{.},c_9$ . Тогаш $x$ ќе се најде во еден од овие подинтервали и тоа се запишува со

Со продолжување на постапката се добива

,

што претставува бесконечна децимална дропка која може да се сумира и таа сума ќе го претставува реалниот број $x$ . Ако бројот $x$ се поклопи со некој од краевите на претходниот интервал, тогаш ќе важи

и левата и десната страна во последното неравенство ќе бидат еднакви и сите цифри кои следат ќе бидат секогаш нули или деветки кои периодично се повторуваат.

Пример 1.

Бројот $\mathrm{1,}\text{234}=\mathrm{1,}\text{234000}\text{.}\text{.}\text{.}=\mathrm{1,}\text{2339999}\text{.}\text{.}\text{.}$

Навистина, првото равенство $\mathrm{1,}\text{234}=\mathrm{1,}\text{234000}\text{.}\text{.}\text{.}$ е очигледно, додека второто равенство ќе се докаже. За таа цел, бројот $\mathrm{1,}\text{2339999}\text{.}\text{.}\text{.}$ се запишува како

$\mathrm{1,}\text{2339999}\text{.}\text{.}\text{.}=\mathrm{1,}\text{233}+\mathrm{0,}\text{0009999}\text{.}\text{.}\text{.}=$

$=\mathrm{1,}\text{233}+\frac{9}{{\text{10}}^4}+\frac{9}{{\text{10}}^5}+\frac{9}{{\text{10}}^6}+\cdots$ = $\mathrm{1,}\text{233}+9(\frac{1}{{\text{10}}^4}+\frac{1}{{\text{10}}^5}+\frac{1}{{\text{10}}^6}+\cdots )$ .

Изразот во заградата е конвергентен геометри­ски ред чии што збир е

$\frac{1}{{\text{10}}^4}+\frac{1}{{\text{10}}^5}+\frac{1}{{\text{10}}^6}+\cdots =\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac{1}{{\text{10}}^4}}{1-\frac{1}{\text{10}}}=\frac{1}{9\cdot {\text{10}}^3}$ ,

па затоа

$\mathrm{1,}\text{233}+9(\frac{1}{{\text{10}}^4}+\frac{1}{{\text{10}}^5}+\frac{1}{{\text{10}}^6}+\text{.}\text{.}\text{.})$ $=\mathrm{1,}\text{233}+\frac{9}{9\cdot {\text{10}}^3}=$

$=\mathrm{1,}\text{233}+\frac{1}{{\text{10}}^3}=\mathrm{1,}\text{233}+\mathrm{0,}\text{001}=\mathrm{1,}\text{234}$

од каде следува дека $\mathrm{1,}\text{234}=\mathrm{1,}\text{234000}\text{.}\text{.}\text{.}=\mathrm{1,}\text{2339999}\text{.}\text{.}\text{.}$ .

Заклучок

За секој реален број постои бесконечна децимална дропка и на секоја бесконечна децимална дропка и одговара еден реален број. Рационалните броеви се изразуваат со периодични, а ирационалните со непериодични децимални дропки.

Пример 2.

За ирационалниот број $\sqrt{2}$ важи

1,4< $\sqrt{2}$ <1,5

1,41< $\sqrt{2}$ <1,42

1,414< $\sqrt{2}$ <1,415

1,4142< $\sqrt{2}$ <1,4143

1,41421< $\sqrt{2}$ <1,41422

…

и за него не постои конечен децимален запис. Децималното претставување на ирационален број се врши со земање на конечен број децимални цифри и отфралање на преостанатите бесконечно многу цифри, што претставува негова приближна вредност. Така приближно $\sqrt{2}$ може да се запише како $\begin{array}{}\sqrt{2}\approx \\ \end{array}$ 1,41 со точност до втората или $\begin{array}{}\sqrt{2}\approx \\ \end{array}$ 1,41421 со точност до петата или со точност до триесетидеветтата децимална цифра

$\begin{array}{}\sqrt{2}\approx \\ \end{array}$ 1,414213562373095048801688724209698078570.

Пример 3.

Рационалните броеви кои се претставуваат преку бесконечни децимални дропки се секогаш периодични дропки. На пример:

$\frac{1}{3}=\mathrm{0,}\text{333}\text{.}\text{.}\text{.}=\mathrm{0,}(3)$

$\frac{5}{7}=\mathrm{0,}\text{714285}\text{714285}\text{714285}\text{.}\text{.}\text{.}=\mathrm{0,}(\text{714285})$ .

Точно е и обратното тврдење: секоја периодична дропка претставува рационален број.

Пример 4.

Да се претвори периодичниот децимален број во рационален број.

Поаѓајки од

$\mathrm{3,}\text{45}(\text{125})=\mathrm{3,}\text{45125125125}\text{.}\text{.}\text{.}=$

$=3+\frac{\text{45}}{\text{100}}+\frac{\text{125}}{{\text{10}}^5}+\frac{\text{125}}{{\text{10}}^8}+\frac{\text{125}}{{\text{10}}^{\text{11}}}+\cdots =$

$=3+\frac{\text{45}}{\text{100}}+\text{125}(\frac{1}{{\text{10}}^5}+\frac{1}{{\text{10}}^8}+\frac{1}{{\text{10}}^{\text{11}}}+\cdots )=$

$=3+\frac{\text{45}}{\text{100}}+\text{125}\frac{\frac{1}{{\text{10}}^5}}{1-\frac{1}{{\text{10}}^3}}=3+\frac{\text{45}}{\text{100}}+\frac{\text{125}}{\text{999}\cdot {\text{10}}^2}=$

= $\frac{\text{344655}+\text{125}}{\text{99900}}=\frac{\text{344780}}{\text{99900}}$

се добива дека $\text{3,45}(\text{125})=\frac{\text{344780}}{\text{99900}}$ .