1.6 Eksponensiale

Inleiding

In hierdie hoofstuk sal jy leer van 'n eenvoudiger manier om uitdrukkings soos $2\times 2\times 2\times 2$ te skryf. Dit staan bekend as eksponensiaalnotasie .

Definisie

Eksponensiaalnotasie is 'n kort manier om te skryf dat 'n getal meermale met homself vermenigvuldig word. Byvoorbeeld, eerder as om te skryf $5\times 5\times 5$ , gebruik ons $5^3$ om aan te dui dat die getal 5 drie maal met homself vermenigvuldig word en 'n mens sê "5 tot die mag 3". Soortgelyk is $5^2$ dieselfde as $5\times 5$ en $3^5$ is $3\times 3\times 3\times 3\times 3$ . Laat ons beter definieer hoe om eksponensiaalnotasie te gebruik.

Eksponensiaalnotasie

Eksponensiaalnotasie verwys na 'n getal wat geskryf word as

$$a^n$$

waar $n$ 'n heelgetal is en $a$ enige reële getal is. Ons noem $a$ die grondtal en $n$ die eksponent .

$a$ tot die mag $n$ is

Dit wil sê, $a$ word $n$ keer met homself vermenigvuldig.

Ons kan ook 'n negatiewe eksponent, $-n$ , gebruik. In hierdie geval

Indien $n$ 'n ewe getal is, sal $a^n$ altyd 'n positiewe getal wees vir enige reële getal $a$ , behalwe $0$ . Byvoorbeeld, hoewel $-2$ negatief is, is beide ${(-2)}^2=-2\times -2=4$ en ${(-2)}^{-2}=\frac{1}{-2\times -2}=\frac{1}{4}$ positief.

Eksponentwette

Daar is heelwat eksponentwette wat ons kan gebruik om getalle met eksponente te vereenvoudig. Sommige van hierdie wette het ons reeds in vorige grade teëgekom, maar ons sal die volledige lys hier sien en elke wet verduidelik, sodat jy hulle kan verstaan en nie bloot memoriseer nie.

Eksponente, wet 1: $a^0=1$

Volgens die definisie van eksponensiaalnotasie is

Byvoorbeeld, $x^0=1$ en ${\left(1000000\right)}^0=1$

Toepassing van wet 1: $a^0=1,(a\ne 0)$

1. ${16}^0$
2. $16a^0$
3. ${(16+a)}^0$
4. ${(-16)}^0$
5. $-{16}^0$
   
   

Eksponente, wet 2: $a^m\times a^n=a^{m+n}$

Die definisie van eksponensiaalnotasie wys dat

Byvoorbeeld,

Toepassing van wet 2: $a^m\times a^n=a^{m+n}$

1. $x^2·x^5$
2. $2^3.2^4$ [Neem kennis dat die grondtal (2) dieselfde bly.]
3. $3\times 3^{2a}\times 3^2$
   
   

Eksponente, wet 3: $a^{-n}=\frac{1}{a^n},a\ne 0$

Die definisie van eksponensiaalnotasie vir 'n negatiewe eksponent wys dat

Dit beteken dat 'n minus teken in die eksponent 'n alternatiewe manier is om aan te dui dat die hele eksponensiaal gedeel eerder asvermenigvuldig moet word.

Byvoorbeeld,

Toepassing van wet 3: $a^{-n}=\frac{1}{a^n},a\ne 0$

1. $2^{-2}=\frac{1}{2^2}$
2. $\frac{2^{-2}}{3^2}$
3. ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}$
4. $\frac{m}{n^{-4}}$
5. $\frac{a^{-3}·x^4}{a^5·x^{-2}}$
   
   

Eksponente, wet 4: $a^m÷a^n=a^{m-n}$

Met Wet 3 het ons reeds besef dat 'n minusteken 'n manier is om te wys dat die eksponensiaal gedeel eerder as vermenigvuldig moetword. Wet 4 is basies 'n meer algemene manier om dieselfde stelling te maak. Ons verkry hierdie wet deur Wet 3 aan beide kante met $a^m$ te vermenigvuldig en dan Wet 2 te gebruik.

Byvoorbeeld,

Toepassing van wet 4: $a^m÷a^n=a^{m-n}$

1. $\frac{a^6}{a^2}=a^{6-2}$
2. $\frac{3^2}{3^6}$
3. $\frac{32a^2}{4a^8}$
4. $\frac{a^{3x}}{a^4}$
   
   

Eksponente, wet 5: ${\left(ab\right)}^n=a^n{b}^n$

Die volgorde waarin twee getalle vermenigvuldig word, is onbelangrik. Dus,

Byvoorbeeld,

Toepassing van wet 5: ${\left(ab\right)}^n=a^n{b}^n$

1. ${\left(2xy\right)}^3=2^3{x}^3{y}^3$
2. ${\left(\frac{7a}{b}\right)}^2$
3. ${\left(5a\right)}^3$
   
   

Eksponente, wet 6: ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$

Dit is moontlik om die eksponensiaal van 'n eksponensiaal te bereken. Die eksponensiaal van 'n getal is 'n reële getal. So, selfs al klink die eerste sin ingewikkeld, beteken dit bloot dat 'n mens die eksponensiaal van 'n getal bereken en dan die eksponensiaal van die resultaat bereken.

Byvoorbeeld,

Toepassing van wet 6: ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$

1. ${\left(x^3\right)}^4$
2. ${\left[{\left(a^4\right)}^3\right]}^2$
3. ${\left(3^{n+3}\right)}^2$
   
   

Ondersoek: eksponensiale

Skryf die korrekte antwoord in the Antwoord kolom. Die beskikbare antwoorde is: $\frac{3}{2}$ , 1, $-1$ , $-\frac{1}{3}$ , 8. Antwoorde mag herhaal word.

Die volgende video gee 'n voorbeeld van hoe om sommige van die konsepte wat in hierdie hoofstuk gedek is, te gebruik.

Hoofstukoefeninge

1. Vereenvoudig so ver as moontlik.
   1. ${302}^0$
   2. $1^0$
   3. ${\left(xyz\right)}^0$
   4. ${\left[{\left(3x^4{y}^7{z}^{12}\right)}^5{(-5x^9{y}^3{z}^4)}^2\right]}^0$
   5. ${\left(2x\right)}^3$
   6. ${(-2x)}^3$
   7. ${\left(2x\right)}^4$
   8. ${(-2x)}^4$
      
      
2. Vereenvoudig sonder om 'n sakrekenaar te gebruik. Skryf antwoorde met positiewe eksponente.
   1. $\frac{3x^{-3}}{{\left(3x\right)}^2}$
   2. $5x^0+8^{-2}-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}·1^x$
   3. $\frac{5^{b-3}}{5^{b+1}}$
      
      
3. Vereenvoudig en wys alle stappe.
   1. $\frac{2^{a-2}.3^{a+3}}{6^a}$
   2. $\frac{a^{2m+n+p}}{a^{m+n+p}·a^m}$
   3. $\frac{3^n·9^{n-3}}{{27}^{n-1}}$
   4. ${\left(\frac{2x^{2a}}{y^{-b}}\right)}^3$
   5. $\frac{2^{3x-1}·8^{x+1}}{4^{2x-2}}$
   6. $\frac{6^{2x}·{11}^{2x}}{{22}^{2x-1}·3^{2x}}$
      
      
4. Vereenvoudig sonder om 'n sakrekenaar te gebruik.
   1. $\frac{{(-3)}^{-3}·{(-3)}^2}{{(-3)}^{-4}}$
   2. ${(3^{-1}+2^{-1})}^{-1}$
   3. $\frac{9^{n-1}·{27}^{3-2n}}{{81}^{2-n}}$
   4. $\frac{2^{3n+2}·8^{n-3}}{4^{3n-2}}$