1.4 Природни броеви

Множество природни броеви

Бро­евите $\mathrm{1,2,3,}\text{.}\text{.}\text{.}$ т.е. множеството

$N=\{\mathrm{1,2,3,4,}\text{.}\text{.}\text{.},k,k+\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.}\}$

се нарекува множество природни броеви.

Поимот за природен број се смета за интуитивно јасен и тоа се броеви со кои човекот се запознава најпрво во животот по природен пат, преку најед­но­ставно броење и пребројување на објектите од својата околина. Во множеството на природни броеви постои најмал елемент, тоа е бројот $1$ , додека не постои најголем па затоа и се вели дека тоа е ограничено од лево а неогра­ни­чено од десно. Меѓу два последователни природни броја k и ( k +1) не постои друг природен број. Во ова множество може да се извршуваат операциите собирање, множење и степенување со природен број, при што резулататот од извршувањето на наведените операции пак ќе биде природен број.

Природните броеви можат да бидат парни или непарни . Парните броеви се претставуваат во обликот $\mathrm{2k},(k=\mathrm{1,2,3,}\text{.}\text{.}\text{.})$ и тие го формираат множеството од парни природни броеви $\{\mathrm{2,4,6,8,}\text{.}\text{.}\text{.},\mathrm{2k},\text{.}\text{.}\text{.}\}$ . Непарните природни броеви се претставуваат во обликот $\mathrm{2k}-\mathrm{1,}(k=\mathrm{1,2,3,}\text{.}\text{.}\text{.})$ или $\mathrm{2k}+\mathrm{1,}(k=\mathrm{0,1,2,3,}\text{.}\text{.}\text{.})$ и го формираат множеството од непарни природни броеви $\{\mathrm{1,3,5,7,}\text{.}\text{.}\text{.},\mathrm{2k}-\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.}\}\text{.}$

Задача

Квадратот на парен број е паран број, а квадратот на непарен број е непарeн.

Доказ

Ако бројот е парен, тој се запишува како $\mathrm{2k}$ и ако го квадрираме, тогаш и неговиот квадрат е парен број бидејќи $(\mathrm{2k}{)}^2={\mathrm{4k}}^2=\mathrm{2p}$ , каде $p={\mathrm{2k}}^2$ .

Исто така и за квадратот на непарен број се покажува дека е непарен број бидејќи $(\mathrm{2k}+1{)}^2={\mathrm{4k}}^2+\mathrm{4k}+1=\mathrm{2m}+1$ , каде $m=\mathrm{2k}(k+1)\text{.}$

За можеството природни броеви се вели дека е преброиво множество и преброивоста е мерка за неговата моќ или негов кардинален број. Секое множество еквивалентно со него исто така е пребро­иво множество. Од природните броеви може да се формираат бесконечно многу подмножества кои се нарекуваат низи а некои од нив на пример се:

низа од сите природни броеви: $\mathrm{1,2,3,4,5,}\text{.}\text{.}\text{.}$

низа од непарни природни броеви: $\mathrm{1,3,5,7,9,}\text{.}\text{.}\text{.}$

низа од парни прородни броеви: $\mathrm{2,4,6,8,}\text{10},\text{.}\text{.}\text{.}$

Бидејќи преброивоста на множеството ја искажува можноста неговите елементи да се подредат по големина во низа, затоа може да се каже дека природни броеви има исто толку многу колку што има парни или пак непарни природни броеви. Ова тврдење се темели на фактот дека сите елементи на овие множества се подредени по големина во низа, а тоа овозможува нивно пребројување. Од овој пример се гледа дека кај бесконечните множества не мора да важи очигледниот став дека “целото е поголемо од својот дел”, став кој е точен само за конечните множества. Кај конечните множества кардиналниот број е еднаков со бројот на неговите елементи.

Природните броеви може да се поделат на прости и сложени . Простите броеви се делат сами со себе и со единицата (триви­јални делители), додека сложените имаат и други делители различни од тривијалните. Бројот $1$ не е ни прост ни сложен, додека најмалиот прост број е $2\text{.}$ Множеството на прости броеви $\{\mathrm{2,}\mathrm{3,}\mathrm{5,}\mathrm{7,}\text{11},\text{13},\text{17},\text{.}\text{.}\text{.}\}$ е бесконечно какво што е множеството на сложени броеви $\{\mathrm{4,}\mathrm{6,}\mathrm{8,}\mathrm{9,}\text{10},\text{12},\text{14},\text{15},\text{.}\text{.}\text{.}\}\text{.}$

Една занимливост

Љубителите на математиката се одушевени - со помош на грид-мрежа која се состоела од 240.000 умрежени компјутери, истражувачите дошле до најголемиот до сега познат прост број. Станува збор за бројот 2 на степен 224036583-та минус 1. Бројот има 7 235 733 цифри и е за околу милион цифри поголем од претходно откриениот.