<< Chapter < Page Chapter >> Page >
Во овој модул се воведува поимот за низа, точка на натрупување и граница на низа. Се наведуваат и некои особини на низите.

Низи

Конечна низа од реални броеви се нарекува секое множество a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,} {} каде a i ( i = 1, 2, 3, . . . . , n ) size 12{a rSub { size 8{i} } ~ \( i=1,`2,`3,` "." "." "." "." ,`n \) } {} се реални броеви, односно секое едно­значно пресликување на подмножество од природни броеви 1, 2, 3, …, n во множество на реални броеви. Конечната низа се означува со { a i } 1 n . size 12{ lbrace `a rSub { size 8{i`} } rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{n} } "." } {}

Бесконечното множество од реални броеви a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,` "." "." "." } {} се нареку­ва бесконечна низа или само низа и се означува со { a i } 1 . size 12{ lbrace `a rSub { size 8{i`} } rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } "." } {} Оваа низа се добива како резултат на пресликување од множеството природни броеви во множеството реални броеви.

Значи низите, без оглед на тоа дали се конечни или бесконечни, се определуваат како вредности на функции на кои дефиницио­ната област им е множеството природни броеви. Реалните броеви a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,` "." "." "." } {} се нарекуваат членови на низата и за нив се користи иста ознака, буквата a size 12{a} {} , а се разликуваат само по својот индекс со кој наполно се определува членот на низата.

Низата може да се зададе со општиот член a n size 12{a rSub { size 8{n} } } {} или со набројување на неколку нејзини членови.

Пример 1.

Аритметичката прогресија

a 1 , a 1 + d , a 1 + 2d , . . . , a 1 + nd , . . . size 12{a rSub { size 8{1} } ,`a rSub { size 8{1} } +d,`a rSub { size 8{1} } +2d,` "." "." "." ,``a rSub { size 8{1} } + ital "nd",` "." "." "." `} {}

е пример на бесконечна низа со општ член a n = a 1 + ( n 1 ) d size 12{a rSub { size 8{n} } =`a rSub { size 8{1} } + \( n - 1 \) d} {} .

Пример 2.

Геометриската прогресија

a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , . . . , a 1 q n , . . . size 12{a rSub { size 8{1} } ,`a rSub { size 8{1} } q,`a rSub { size 8{1} } q rSup { size 8{2} } ,` "." "." "." ,``a rSub { size 8{1} } q rSup { size 8{n} } ,` "." "." "." `} {}

е исто така пример за бесконечна низа со општ член a n = a 1 q n 1 size 12{a rSub { size 8{n} } =`a rSub { size 8{1} } q rSup { size 8{n - 1} } } {} .

Пример 3.

Задавење на низа преку општиот член од низата:

Со општиот член a n = 1 n size 12{a rSub { size 8{n} } = { {1} over {n} } } {} се дефинира низата 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , size 12{1, { {1} over {2} } ,` { {1} over {3} } ,` { {1} over {4} } ,` dotsaxis } {}

додека со b n = n + 1 2n + 3 size 12{b rSub { size 8{n} } = { {n+1} over {2n+3} } } {} се дефинира низата 2 5 , 3 7 , 4 9 , size 12{ { {2} over {5} } ,` { {3} over {7} } ,` { {4} over {9} } ,` dotsaxis } {} .

Пример 4.

Oбратна постапка, од неколку зададени почетни членови на низата

1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , size 12{ { {1} over {2} } ,` - { {2} over {3} } ,` { {3} over {4} } ,` - { {4} over {5} } ,`` dotsaxis } {}

се определува еден можен облик на општиот член на низата

a n = ( 1 ) n + 1 n n + 1 size 12{a rSub { size 8{n} } = \( - 1 \) rSup { size 8{n+1} } { {n} over {n+1} } } {} .

Точка на натрупување на низа

Дефиниција.

Точката b size 12{b} {} се нарекува точка на натруп­ува­ње на низата a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,` "." "." "." } {} ако за произволно ε > 0 size 12{ε>0} {} во секој интервал ( b ε , b + ε ) size 12{ \( b - ε,`b+ε \) } {} се наоѓаат бесконечно многу членови од низата.

Една низа може да има една или повеќе точки на натрупу­вање.

Пример 5.

Низата a n = 1 n size 12{a rSub { size 8{n} } = { {1} over {n} } } {} има една точка на натрупување и тоа е точката 0, бидејќи во произволна околина на точката 0 има бесконечно многу членови на низата.

Пример 6.

Низата a n = ( 1 ) n + 1 n n + 1 size 12{a rSub { size 8{n} } = \( - 1 \) rSup { size 8{n+1} } { {n} over {n+1} } } {} има две точки на натрупување: 1 и -1. Членовите од оваа низа со непарни индекси се натрупуваат околу точката 1, додека членовите со парни индекси се натрупуваат околу точката -1.

Гранична вредност на низа

Дефиниција.

Бројот a size 12{a} {} се нарекува гранична вредност на низата a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,` "." "." "." } {} или само граница ако на секој број ε > 0 size 12{ε>0} {} му одговара природен број n 0 size 12{n rSub { size 8{0} } } {} таков што за секое n > n 0 size 12{n>n rSub { size 8{0} } } {} важи a n a < ε size 12{ lline `a rSub { size 8{n} } - a` rline<ε} {} и се запишува

lim n a n = a size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } `a rSub { size 8{n} } =a} {} или a n a , n size 12{a rSub { size 8{n} } rightarrow a,`n rightarrow infinity } {}

и се чита: низата { a i } size 12{ lbrace `a rSub { size 8{i`} } rbrace } {} тежи или конвергира кон бројот a size 12{a} {} кога n size 12{n} {} тежи кон size 12{ infinity } {} .

Дефиницијата за граница на низа укажува дека каков и да е радиусот ε > 0 size 12{ε>0} {} на околината на граничната вредност a size 12{a} {} , во интервалот ( a ε , a + ε ) size 12{ \( a - ε,`a+ε \) } {} ќе има бесконечно многу членови од низата, односно сите членови со индекс n > n 0 size 12{n>n rSub { size 8{0} } } {} . Природниот број n 0 size 12{n rSub { size 8{0} } } {} се определува во зависност од радиусот ε size 12{ε} {} .

Пример 7.

За низата a n = 1 n size 12{a rSub { size 8{n} } = { {1} over {n} } } {} бројот 0 е нејзина гранична вредност и ако се одбере ε = 1 10 size 12{ε= { {1} over {"10"} } } {} , тогаш од неравенството

1 n 0 < 1 10 size 12{ lline ` { {1} over {n} } - 0` rline<{ {1} over {"10"} } } {}

ќе следува 1 n < 1 10 size 12{ { {1} over {n} }<{ {1} over {"10"} } } {} или n >10, односно n 0 = 10 . size 12{n rSub { size 8{0} } ="10" "." } {} Тоа значи дека во околина на точката 0 во радиус ε = 1 10 size 12{ε= { {1} over {"10"} } } {} се наоѓаат членовите a 11 , a 12 , a 13 , . . . , size 12{a rSub { size 8{"11"} } ,`a rSub { size 8{"12"} } ,`a rSub { size 8{"13"} } ,` "." "." "." ,} {} додека надвор од интервалот ќе се наоѓаат само конечен број на членови и тоа a 1 , a 2 , . . . , a 10 . size 12{a rSub { size 8{1} } ,`a rSub { size 8{2} } ,` "." "." "." ,`a rSub { size 8{"10"} } "." } {}

Точката на натрупување не може да се поистовети со граничната вредност на низата, бидејќи надвор од ε size 12{ε - {}} {} околината на граничната точка има конечно многу членови на низата, што немора да важи за точката на натрупување. Ако низата има една точка на натрупување, таа е и нејзина гранична вредност, а ако низата има повеќе од една точка на натрупување, тогаш низата нема гранична вредност.

Низите чија гранична вредност е конечен реален број се нарекуваат конвергентни . Постојат и дивергентни низи, а тоа се низи чија гранична вредност е size 12{ - infinity } {} или + size 12{+ infinity } {} .

Некои особини за низите

Ако за членовите на низата a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,` "." "." "." } {} важат неравенствата

a 1 < a 2 < a 3 < . . . < a n < a n + 1 < . . . size 12{a rSub { size 8{1`} }<a rSub { size 8{2`} }<a rSub { size 8{3`} }<"." "." "."<a rSub { size 8{n`} }<a rSub { size 8{n+1`} }<"." "." "." } {}

низата се нарекува растечка , а ако важи

a 1 > a 2 > a 3 > . . . > a n > a n + 1 > . . . size 12{a rSub { size 8{1`} }>a rSub { size 8{2`} }>a rSub { size 8{3`} }>"." "." ".">a rSub { size 8{n`} }>a rSub { size 8{n+1`} }>"." "." "." } {}

низата е опа ѓа чка .

Ако се воведе ознаката Δa n = a n + 1 a n size 12{Δa rSub { size 8{n} } =a rSub { size 8{n+1} } - a rSub { size 8{n} } } {} , низата е растечка ако Δa n > 0 size 12{Δa rSub { size 8{n} }>0} {} и опаѓачка ако Δa n < 0 size 12{Δa rSub { size 8{n} }<0} {} .

И растечките и опаѓачките низи се нарекувааат монотони низи , па постојат монотоно растечки и монотоно опаѓачки низи. Низата за која

a 1 a 2 a 3 . . . a n a n + 1 . . . size 12{a rSub { size 8{1`} }<= a rSub { size 8{2`} }<= a rSub { size 8{3`} }<= "." "." "."<= a rSub { size 8{n`} }<= a rSub { size 8{n+1`} }<= "." "." "." } {}

се нарекува монотоно неопаѓачка , додека низата за која

a 1 a 2 a 3 . . . a n a n + 1 . . . size 12{a rSub { size 8{1`} }>= a rSub { size 8{2`} }>= a rSub { size 8{3`} }>= "." "." ".">= a rSub { size 8{n`} }>= a rSub { size 8{n+1`} }>= "." "." "." } {}

е монотоно нерастечка .

За неопаѓачите низи важи Δa n 0 size 12{Δa rSub { size 8{n} }>= 0} {} , додека за нерастечките Δa n 0 . size 12{Δa rSub { size 8{n} }<= 0 "." } {}

Пример 8.

а) Низата { 2n / ( n + 1 ) } 1 = { 1,4 / 3,6 / 4,8 / 5, . . . } size 12{ lbrace 2n/ \( n+1 \) rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } = lbrace 1,4/3,6/4,8/5, "." "." "." rbrace } {} е растечка;

б) Низата { 1 / n } 1 = { 1,1 / 2,1 / 3,1 / 4, . . . } size 12{ lbrace 1/n rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } = lbrace 1,1/2,1/3,1/4, "." "." "." rbrace } {} е опаѓачка.

Ограниченост на низа

Дефиниција.

Низата { a i } 1 size 12{ lbrace a rSub { size 8{i} } rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } } {} е ограничена ако постојат броеви m , M R size 12{m,M in R} {} такви што

m a i M , ( i N ) size 12{m<= a rSub { size 8{i} }<= M, \( i in N \) } {} .

Дефиниција.

Низата { a i } 1 size 12{ lbrace a rSub { size 8{i} } rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } } {} е нео граничена ако за секој позитивен број M > 0 size 12{M>0} {} постои природен број n size 12{n} {} таков да a n > M . size 12{ \lline a rSub { size 8{n} } \lline>M "." } {}

Низата може да биде и:

  • неограничена од лево и ограничена од десно ако < a i M , ( i N ) ; size 12{ - infinity<a rSub { size 8{i} }<= M, \( i in N \) ;} {}
  • ограничена од лево и неограничена од десно ако m a i <+ , ( i N ) ; size 12{m<= a rSub { size 8{i} } "<+" infinity , \( i in N \) ;} {}
  • неограничена и од лево и од десно ако < a i <+ , ( i N ) . size 12{ - infinity<a rSub { size 8{i} } "<+" infinity , \( i in N \) "." } {}

Пример 9.

а) Низата { 1 / n } 1 = { 1,1 / 2,1 / 3,1 / 4, . . . } size 12{ lbrace 1/n rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } = lbrace 1,1/2,1/3,1/4, "." "." "." rbrace } {} е ограничена бидејки 0 < 1 / n 1 ; size 12{0<1/n<= 1;} {}

б) Низата { n 2 / ( n + 1 ) } 1 = { 1 / 2,4 / 3,9 / 4, 16 / 5, . . . } size 12{ lbrace n rSup { size 8{2} } / \( n+1 \) rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } = lbrace 1/2,4/3,9/4,"16"/5, "." "." "." rbrace } {} е неограничена од десно.

За низите важат следните тврдења:

  • Сите монотони и ограничени низи се конвергентни.
  • Една низа може да биде конвергентна, а да не биде монотона.
  • Секоја конвергентна низа е ограничена, а обратното не важи.
  • Секоја огранична низа има барем една точка на натрупување.

Ако постојат границите на низите lim n a n = a size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } a rSub { size 8{n} } =a} {} и lim n b n = b size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } b rSub { size 8{n} } =b} {} , тогаш:

lim n ( a n ± b n ) = lim n a n ± lim n b n size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } \( a rSub { size 8{n} } +- b rSub { size 8{n} } \) = {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } \( a rSub { size 8{n} } \) +- {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } \( b rSub { size 8{n} } \) } {}

lim n ( a n b n ) = lim n a n lim n b n size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } \( a rSub { size 8{n} } b rSub { size 8{n} } \) = {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } a rSub { size 8{n} } cdot {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } b rSub { size 8{n} } } {}

lim n a n b n = lim n a n lim n b n , ( lim n b n 0 ) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } { {a rSub { size 8{n} } } over {b rSub { size 8{n} } } } = { { {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } a rSub { size 8{n} } } over { {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } b rSub { size 8{n} } } } ,~ \( {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } b rSub { size 8{n} }<>0 \) } {} .

lim n ( a n ± b n ) = lim n ( a n ) ± lim n ( b n ) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } \( a rSub { size 8{n} } +- b rSub { size 8{n} } \) = {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } \( a rSub { size 8{n} } \) +- {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } \( b rSub { size 8{n} } \) } {}

Бројот e

Бројот e size 12{e} {} се добива како гранична вредност на низата со општ член e n = 1 + 1 n n size 12{e rSub { size 8{n} } = left (1+ { {1} over {n} } right ) rSup { size 8{n} } } {} , односно

e = lim n 1 + 1 n n size 12{ size 14{e}= {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } ` left (1+ { {1} over {n} } right ) rSup { size 8{n} } } {}

при што e = 2,718281828459045 . . . size 12{e="2,718281828459045" "." "." "." } {} е ирационалeн број и тој нема конечен децимален запис.

Вредностите на неколку први членови од оваа низа се:

e 1 = 1 + 1 1 1 = 2 size 12{e rSub { size 8{1} } = left (1+ { {1} over {1} } right ) rSup { size 8{1} } =2} {}

e 2 = 1 + 1 2 2 = 2, 25 size 12{e rSub { size 8{2} } = left (1+ { {1} over {2} } right ) rSup { size 8{2} } =2,"25"} {} ...

e 3 = 1 + 1 3 3 = 2, 37037 size 12{e rSub { size 8{3} } = left (1+ { {1} over {3} } right ) rSup { size 8{3} } =2,"37037"} {} ...

e 4 = 1 + 1 4 4 = 2, 4414 size 12{e rSub { size 8{4} } = left (1+ { {1} over {4} } right ) rSup { size 8{4} } =2,"4414"} {} ...

e 5 = 1 + 1 5 5 = 2, 48832 size 12{e rSub { size 8{5} } = left (1+ { {1} over {5} } right ) rSup { size 8{5} } =2,"48832"} {} ...

e 6 = 1 + 1 6 6 = 2, 5216 size 12{e rSub { size 8{6} } = left (1+ { {1} over {6} } right ) rSup { size 8{6} } =2,"5216"} {} ...

и т.н.

Не докажувајќи, се забележува дека оваа низа е монотоно растечка и ограничена, што значи дека е конвергнетна.

Бројот e size 12{e} {} е база на природниот логаритам и број кој се појавува на многу места во математиката.

Questions & Answers

where we get a research paper on Nano chemistry....?
Maira Reply
what are the products of Nano chemistry?
Maira Reply
There are lots of products of nano chemistry... Like nano coatings.....carbon fiber.. And lots of others..
learn
Even nanotechnology is pretty much all about chemistry... Its the chemistry on quantum or atomic level
learn
Google
da
no nanotechnology is also a part of physics and maths it requires angle formulas and some pressure regarding concepts
Bhagvanji
Preparation and Applications of Nanomaterial for Drug Delivery
Hafiz Reply
revolt
da
Application of nanotechnology in medicine
what is variations in raman spectra for nanomaterials
Jyoti Reply
I only see partial conversation and what's the question here!
Crow Reply
what about nanotechnology for water purification
RAW Reply
please someone correct me if I'm wrong but I think one can use nanoparticles, specially silver nanoparticles for water treatment.
Damian
yes that's correct
Professor
I think
Professor
Nasa has use it in the 60's, copper as water purification in the moon travel.
Alexandre
nanocopper obvius
Alexandre
what is the stm
Brian Reply
is there industrial application of fullrenes. What is the method to prepare fullrene on large scale.?
Rafiq
industrial application...? mmm I think on the medical side as drug carrier, but you should go deeper on your research, I may be wrong
Damian
How we are making nano material?
LITNING Reply
what is a peer
LITNING Reply
What is meant by 'nano scale'?
LITNING Reply
What is STMs full form?
LITNING
scanning tunneling microscope
Sahil
how nano science is used for hydrophobicity
Santosh
Do u think that Graphene and Fullrene fiber can be used to make Air Plane body structure the lightest and strongest. Rafiq
Rafiq
what is differents between GO and RGO?
Mahi
what is simplest way to understand the applications of nano robots used to detect the cancer affected cell of human body.? How this robot is carried to required site of body cell.? what will be the carrier material and how can be detected that correct delivery of drug is done Rafiq
Rafiq
if virus is killing to make ARTIFICIAL DNA OF GRAPHENE FOR KILLED THE VIRUS .THIS IS OUR ASSUMPTION
Anam
analytical skills graphene is prepared to kill any type viruses .
Anam
Any one who tell me about Preparation and application of Nanomaterial for drug Delivery
Hafiz
what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Функции од една реaлнa промeнлива. OpenStax CNX. Oct 16, 2013 Download for free at http://cnx.org/content/col10490/1.7
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Функции од една реaлнa промeнлива' conversation and receive update notifications?

Ask