<< Chapter < Page Chapter >> Page >
Во овој модул се воведува поимот за низа, точка на натрупување и граница на низа. Се наведуваат и некои особини на низите.

Низи

Конечна низа од реални броеви се нарекува секое множество a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,} {} каде a i ( i = 1, 2, 3, . . . . , n ) size 12{a rSub { size 8{i} } ~ \( i=1,`2,`3,` "." "." "." "." ,`n \) } {} се реални броеви, односно секое едно­значно пресликување на подмножество од природни броеви 1, 2, 3, …, n во множество на реални броеви. Конечната низа се означува со { a i } 1 n . size 12{ lbrace `a rSub { size 8{i`} } rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{n} } "." } {}

Бесконечното множество од реални броеви a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,` "." "." "." } {} се нареку­ва бесконечна низа или само низа и се означува со { a i } 1 . size 12{ lbrace `a rSub { size 8{i`} } rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } "." } {} Оваа низа се добива како резултат на пресликување од множеството природни броеви во множеството реални броеви.

Значи низите, без оглед на тоа дали се конечни или бесконечни, се определуваат како вредности на функции на кои дефиницио­ната област им е множеството природни броеви. Реалните броеви a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,` "." "." "." } {} се нарекуваат членови на низата и за нив се користи иста ознака, буквата a size 12{a} {} , а се разликуваат само по својот индекс со кој наполно се определува членот на низата.

Низата може да се зададе со општиот член a n size 12{a rSub { size 8{n} } } {} или со набројување на неколку нејзини членови.

Пример 1.

Аритметичката прогресија

a 1 , a 1 + d , a 1 + 2d , . . . , a 1 + nd , . . . size 12{a rSub { size 8{1} } ,`a rSub { size 8{1} } +d,`a rSub { size 8{1} } +2d,` "." "." "." ,``a rSub { size 8{1} } + ital "nd",` "." "." "." `} {}

е пример на бесконечна низа со општ член a n = a 1 + ( n 1 ) d size 12{a rSub { size 8{n} } =`a rSub { size 8{1} } + \( n - 1 \) d} {} .

Пример 2.

Геометриската прогресија

a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , . . . , a 1 q n , . . . size 12{a rSub { size 8{1} } ,`a rSub { size 8{1} } q,`a rSub { size 8{1} } q rSup { size 8{2} } ,` "." "." "." ,``a rSub { size 8{1} } q rSup { size 8{n} } ,` "." "." "." `} {}

е исто така пример за бесконечна низа со општ член a n = a 1 q n 1 size 12{a rSub { size 8{n} } =`a rSub { size 8{1} } q rSup { size 8{n - 1} } } {} .

Пример 3.

Задавење на низа преку општиот член од низата:

Со општиот член a n = 1 n size 12{a rSub { size 8{n} } = { {1} over {n} } } {} се дефинира низата 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , size 12{1, { {1} over {2} } ,` { {1} over {3} } ,` { {1} over {4} } ,` dotsaxis } {}

додека со b n = n + 1 2n + 3 size 12{b rSub { size 8{n} } = { {n+1} over {2n+3} } } {} се дефинира низата 2 5 , 3 7 , 4 9 , size 12{ { {2} over {5} } ,` { {3} over {7} } ,` { {4} over {9} } ,` dotsaxis } {} .

Пример 4.

Oбратна постапка, од неколку зададени почетни членови на низата

1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , size 12{ { {1} over {2} } ,` - { {2} over {3} } ,` { {3} over {4} } ,` - { {4} over {5} } ,`` dotsaxis } {}

се определува еден можен облик на општиот член на низата

a n = ( 1 ) n + 1 n n + 1 size 12{a rSub { size 8{n} } = \( - 1 \) rSup { size 8{n+1} } { {n} over {n+1} } } {} .

Точка на натрупување на низа

Дефиниција.

Точката b size 12{b} {} се нарекува точка на натруп­ува­ње на низата a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,` "." "." "." } {} ако за произволно ε > 0 size 12{ε>0} {} во секој интервал ( b ε , b + ε ) size 12{ \( b - ε,`b+ε \) } {} се наоѓаат бесконечно многу членови од низата.

Една низа може да има една или повеќе точки на натрупу­вање.

Пример 5.

Низата a n = 1 n size 12{a rSub { size 8{n} } = { {1} over {n} } } {} има една точка на натрупување и тоа е точката 0, бидејќи во произволна околина на точката 0 има бесконечно многу членови на низата.

Пример 6.

Низата a n = ( 1 ) n + 1 n n + 1 size 12{a rSub { size 8{n} } = \( - 1 \) rSup { size 8{n+1} } { {n} over {n+1} } } {} има две точки на натрупување: 1 и -1. Членовите од оваа низа со непарни индекси се натрупуваат околу точката 1, додека членовите со парни индекси се натрупуваат околу точката -1.

Гранична вредност на низа

Дефиниција.

Бројот a size 12{a} {} се нарекува гранична вредност на низата a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,` "." "." "." } {} или само граница ако на секој број ε > 0 size 12{ε>0} {} му одговара природен број n 0 size 12{n rSub { size 8{0} } } {} таков што за секое n > n 0 size 12{n>n rSub { size 8{0} } } {} важи a n a < ε size 12{ lline `a rSub { size 8{n} } - a` rline<ε} {} и се запишува

lim n a n = a size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } `a rSub { size 8{n} } =a} {} или a n a , n size 12{a rSub { size 8{n} } rightarrow a,`n rightarrow infinity } {}

и се чита: низата { a i } size 12{ lbrace `a rSub { size 8{i`} } rbrace } {} тежи или конвергира кон бројот a size 12{a} {} кога n size 12{n} {} тежи кон size 12{ infinity } {} .

Дефиницијата за граница на низа укажува дека каков и да е радиусот ε > 0 size 12{ε>0} {} на околината на граничната вредност a size 12{a} {} , во интервалот ( a ε , a + ε ) size 12{ \( a - ε,`a+ε \) } {} ќе има бесконечно многу членови од низата, односно сите членови со индекс n > n 0 size 12{n>n rSub { size 8{0} } } {} . Природниот број n 0 size 12{n rSub { size 8{0} } } {} се определува во зависност од радиусот ε size 12{ε} {} .

Пример 7.

За низата a n = 1 n size 12{a rSub { size 8{n} } = { {1} over {n} } } {} бројот 0 е нејзина гранична вредност и ако се одбере ε = 1 10 size 12{ε= { {1} over {"10"} } } {} , тогаш од неравенството

1 n 0 < 1 10 size 12{ lline ` { {1} over {n} } - 0` rline<{ {1} over {"10"} } } {}

ќе следува 1 n < 1 10 size 12{ { {1} over {n} }<{ {1} over {"10"} } } {} или n >10, односно n 0 = 10 . size 12{n rSub { size 8{0} } ="10" "." } {} Тоа значи дека во околина на точката 0 во радиус ε = 1 10 size 12{ε= { {1} over {"10"} } } {} се наоѓаат членовите a 11 , a 12 , a 13 , . . . , size 12{a rSub { size 8{"11"} } ,`a rSub { size 8{"12"} } ,`a rSub { size 8{"13"} } ,` "." "." "." ,} {} додека надвор од интервалот ќе се наоѓаат само конечен број на членови и тоа a 1 , a 2 , . . . , a 10 . size 12{a rSub { size 8{1} } ,`a rSub { size 8{2} } ,` "." "." "." ,`a rSub { size 8{"10"} } "." } {}

Точката на натрупување не може да се поистовети со граничната вредност на низата, бидејќи надвор од ε size 12{ε - {}} {} околината на граничната точка има конечно многу членови на низата, што немора да важи за точката на натрупување. Ако низата има една точка на натрупување, таа е и нејзина гранична вредност, а ако низата има повеќе од една точка на натрупување, тогаш низата нема гранична вредност.

Низите чија гранична вредност е конечен реален број се нарекуваат конвергентни . Постојат и дивергентни низи, а тоа се низи чија гранична вредност е size 12{ - infinity } {} или + size 12{+ infinity } {} .

Некои особини за низите

Ако за членовите на низата a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . size 12{a rSub { size 8{1`} } ,`a rSub { size 8{2`} } ,a rSub { size 8{3`} } , "." "." "." ,`a rSub { size 8{n`} } ,` "." "." "." } {} важат неравенствата

a 1 < a 2 < a 3 < . . . < a n < a n + 1 < . . . size 12{a rSub { size 8{1`} }<a rSub { size 8{2`} }<a rSub { size 8{3`} }<"." "." "."<a rSub { size 8{n`} }<a rSub { size 8{n+1`} }<"." "." "." } {}

низата се нарекува растечка , а ако важи

a 1 > a 2 > a 3 > . . . > a n > a n + 1 > . . . size 12{a rSub { size 8{1`} }>a rSub { size 8{2`} }>a rSub { size 8{3`} }>"." "." ".">a rSub { size 8{n`} }>a rSub { size 8{n+1`} }>"." "." "." } {}

низата е опа ѓа чка .

Ако се воведе ознаката Δa n = a n + 1 a n size 12{Δa rSub { size 8{n} } =a rSub { size 8{n+1} } - a rSub { size 8{n} } } {} , низата е растечка ако Δa n > 0 size 12{Δa rSub { size 8{n} }>0} {} и опаѓачка ако Δa n < 0 size 12{Δa rSub { size 8{n} }<0} {} .

И растечките и опаѓачките низи се нарекувааат монотони низи , па постојат монотоно растечки и монотоно опаѓачки низи. Низата за која

a 1 a 2 a 3 . . . a n a n + 1 . . . size 12{a rSub { size 8{1`} }<= a rSub { size 8{2`} }<= a rSub { size 8{3`} }<= "." "." "."<= a rSub { size 8{n`} }<= a rSub { size 8{n+1`} }<= "." "." "." } {}

се нарекува монотоно неопаѓачка , додека низата за која

a 1 a 2 a 3 . . . a n a n + 1 . . . size 12{a rSub { size 8{1`} }>= a rSub { size 8{2`} }>= a rSub { size 8{3`} }>= "." "." ".">= a rSub { size 8{n`} }>= a rSub { size 8{n+1`} }>= "." "." "." } {}

е монотоно нерастечка .

За неопаѓачите низи важи Δa n 0 size 12{Δa rSub { size 8{n} }>= 0} {} , додека за нерастечките Δa n 0 . size 12{Δa rSub { size 8{n} }<= 0 "." } {}

Пример 8.

а) Низата { 2n / ( n + 1 ) } 1 = { 1,4 / 3,6 / 4,8 / 5, . . . } size 12{ lbrace 2n/ \( n+1 \) rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } = lbrace 1,4/3,6/4,8/5, "." "." "." rbrace } {} е растечка;

б) Низата { 1 / n } 1 = { 1,1 / 2,1 / 3,1 / 4, . . . } size 12{ lbrace 1/n rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } = lbrace 1,1/2,1/3,1/4, "." "." "." rbrace } {} е опаѓачка.

Ограниченост на низа

Дефиниција.

Низата { a i } 1 size 12{ lbrace a rSub { size 8{i} } rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } } {} е ограничена ако постојат броеви m , M R size 12{m,M in R} {} такви што

m a i M , ( i N ) size 12{m<= a rSub { size 8{i} }<= M, \( i in N \) } {} .

Дефиниција.

Низата { a i } 1 size 12{ lbrace a rSub { size 8{i} } rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } } {} е нео граничена ако за секој позитивен број M > 0 size 12{M>0} {} постои природен број n size 12{n} {} таков да a n > M . size 12{ \lline a rSub { size 8{n} } \lline>M "." } {}

Низата може да биде и:

  • неограничена од лево и ограничена од десно ако < a i M , ( i N ) ; size 12{ - infinity<a rSub { size 8{i} }<= M, \( i in N \) ;} {}
  • ограничена од лево и неограничена од десно ако m a i <+ , ( i N ) ; size 12{m<= a rSub { size 8{i} } "<+" infinity , \( i in N \) ;} {}
  • неограничена и од лево и од десно ако < a i <+ , ( i N ) . size 12{ - infinity<a rSub { size 8{i} } "<+" infinity , \( i in N \) "." } {}

Пример 9.

а) Низата { 1 / n } 1 = { 1,1 / 2,1 / 3,1 / 4, . . . } size 12{ lbrace 1/n rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } = lbrace 1,1/2,1/3,1/4, "." "." "." rbrace } {} е ограничена бидејки 0 < 1 / n 1 ; size 12{0<1/n<= 1;} {}

б) Низата { n 2 / ( n + 1 ) } 1 = { 1 / 2,4 / 3,9 / 4, 16 / 5, . . . } size 12{ lbrace n rSup { size 8{2} } / \( n+1 \) rbrace rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ infinity } } = lbrace 1/2,4/3,9/4,"16"/5, "." "." "." rbrace } {} е неограничена од десно.

За низите важат следните тврдења:

  • Сите монотони и ограничени низи се конвергентни.
  • Една низа може да биде конвергентна, а да не биде монотона.
  • Секоја конвергентна низа е ограничена, а обратното не важи.
  • Секоја огранична низа има барем една точка на натрупување.

Ако постојат границите на низите lim n a n = a size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } a rSub { size 8{n} } =a} {} и lim n b n = b size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } b rSub { size 8{n} } =b} {} , тогаш:

lim n ( a n ± b n ) = lim n a n ± lim n b n size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } \( a rSub { size 8{n} } +- b rSub { size 8{n} } \) = {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } \( a rSub { size 8{n} } \) +- {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } \( b rSub { size 8{n} } \) } {}

lim n ( a n b n ) = lim n a n lim n b n size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } \( a rSub { size 8{n} } b rSub { size 8{n} } \) = {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } a rSub { size 8{n} } cdot {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } b rSub { size 8{n} } } {}

lim n a n b n = lim n a n lim n b n , ( lim n b n 0 ) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } { {a rSub { size 8{n} } } over {b rSub { size 8{n} } } } = { { {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } a rSub { size 8{n} } } over { {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } b rSub { size 8{n} } } } ,~ \( {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } b rSub { size 8{n} }<>0 \) } {} .

lim n ( a n ± b n ) = lim n ( a n ) ± lim n ( b n ) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } \( a rSub { size 8{n} } +- b rSub { size 8{n} } \) = {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } \( a rSub { size 8{n} } \) +- {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } \( b rSub { size 8{n} } \) } {}

Бројот e

Бројот e size 12{e} {} се добива како гранична вредност на низата со општ член e n = 1 + 1 n n size 12{e rSub { size 8{n} } = left (1+ { {1} over {n} } right ) rSup { size 8{n} } } {} , односно

e = lim n 1 + 1 n n size 12{ size 14{e}= {"lim"} cSub { size 8{n rightarrow infinity } } ` left (1+ { {1} over {n} } right ) rSup { size 8{n} } } {}

при што e = 2,718281828459045 . . . size 12{e="2,718281828459045" "." "." "." } {} е ирационалeн број и тој нема конечен децимален запис.

Вредностите на неколку први членови од оваа низа се:

e 1 = 1 + 1 1 1 = 2 size 12{e rSub { size 8{1} } = left (1+ { {1} over {1} } right ) rSup { size 8{1} } =2} {}

e 2 = 1 + 1 2 2 = 2, 25 size 12{e rSub { size 8{2} } = left (1+ { {1} over {2} } right ) rSup { size 8{2} } =2,"25"} {} ...

e 3 = 1 + 1 3 3 = 2, 37037 size 12{e rSub { size 8{3} } = left (1+ { {1} over {3} } right ) rSup { size 8{3} } =2,"37037"} {} ...

e 4 = 1 + 1 4 4 = 2, 4414 size 12{e rSub { size 8{4} } = left (1+ { {1} over {4} } right ) rSup { size 8{4} } =2,"4414"} {} ...

e 5 = 1 + 1 5 5 = 2, 48832 size 12{e rSub { size 8{5} } = left (1+ { {1} over {5} } right ) rSup { size 8{5} } =2,"48832"} {} ...

e 6 = 1 + 1 6 6 = 2, 5216 size 12{e rSub { size 8{6} } = left (1+ { {1} over {6} } right ) rSup { size 8{6} } =2,"5216"} {} ...

и т.н.

Не докажувајќи, се забележува дека оваа низа е монотоно растечка и ограничена, што значи дека е конвергнетна.

Бројот e size 12{e} {} е база на природниот логаритам и број кој се појавува на многу места во математиката.

Questions & Answers

show that the set of all natural number form semi group under the composition of addition
Nikhil Reply
what is the meaning
Dominic
explain and give four Example hyperbolic function
Lukman Reply
_3_2_1
felecia
⅗ ⅔½
felecia
_½+⅔-¾
felecia
The denominator of a certain fraction is 9 more than the numerator. If 6 is added to both terms of the fraction, the value of the fraction becomes 2/3. Find the original fraction. 2. The sum of the least and greatest of 3 consecutive integers is 60. What are the valu
SABAL Reply
1. x + 6 2 -------------- = _ x + 9 + 6 3 x + 6 3 ----------- x -- (cross multiply) x + 15 2 3(x + 6) = 2(x + 15) 3x + 18 = 2x + 30 (-2x from both) x + 18 = 30 (-18 from both) x = 12 Test: 12 + 6 18 2 -------------- = --- = --- 12 + 9 + 6 27 3
Pawel
2. (x) + (x + 2) = 60 2x + 2 = 60 2x = 58 x = 29 29, 30, & 31
Pawel
ok
Ifeanyi
on number 2 question How did you got 2x +2
Ifeanyi
combine like terms. x + x + 2 is same as 2x + 2
Pawel
x*x=2
felecia
2+2x=
felecia
×/×+9+6/1
Debbie
Q2 x+(x+2)+(x+4)=60 3x+6=60 3x+6-6=60-6 3x=54 3x/3=54/3 x=18 :. The numbers are 18,20 and 22
Naagmenkoma
Mark and Don are planning to sell each of their marble collections at a garage sale. If Don has 1 more than 3 times the number of marbles Mark has, how many does each boy have to sell if the total number of marbles is 113?
mariel Reply
Mark = x,. Don = 3x + 1 x + 3x + 1 = 113 4x = 112, x = 28 Mark = 28, Don = 85, 28 + 85 = 113
Pawel
how do I set up the problem?
Harshika Reply
what is a solution set?
Harshika
find the subring of gaussian integers?
Rofiqul
hello, I am happy to help!
Shirley Reply
please can go further on polynomials quadratic
Abdullahi
hi mam
Mark
I need quadratic equation link to Alpa Beta
Abdullahi Reply
find the value of 2x=32
Felix Reply
divide by 2 on each side of the equal sign to solve for x
corri
X=16
Michael
Want to review on complex number 1.What are complex number 2.How to solve complex number problems.
Beyan
yes i wantt to review
Mark
16
Makan
x=16
Makan
use the y -intercept and slope to sketch the graph of the equation y=6x
Only Reply
how do we prove the quadratic formular
Seidu Reply
please help me prove quadratic formula
Darius
hello, if you have a question about Algebra 2. I may be able to help. I am an Algebra 2 Teacher
Shirley Reply
thank you help me with how to prove the quadratic equation
Seidu
may God blessed u for that. Please I want u to help me in sets.
Opoku
what is math number
Tric Reply
4
Trista
x-2y+3z=-3 2x-y+z=7 -x+3y-z=6
Sidiki Reply
can you teacch how to solve that🙏
Mark
Solve for the first variable in one of the equations, then substitute the result into the other equation. Point For: (6111,4111,−411)(6111,4111,-411) Equation Form: x=6111,y=4111,z=−411x=6111,y=4111,z=-411
Brenna
(61/11,41/11,−4/11)
Brenna
x=61/11 y=41/11 z=−4/11 x=61/11 y=41/11 z=-4/11
Brenna
Need help solving this problem (2/7)^-2
Simone Reply
x+2y-z=7
Sidiki
what is the coefficient of -4×
Mehri Reply
-1
Shedrak
A soccer field is a rectangle 130 meters wide and 110 meters long. The coach asks players to run from one corner to the other corner diagonally across. What is that distance, to the nearest tenths place.
Kimberly Reply
Jeannette has $5 and $10 bills in her wallet. The number of fives is three more than six times the number of tens. Let t represent the number of tens. Write an expression for the number of fives.
August Reply
What is the expressiin for seven less than four times the number of nickels
Leonardo Reply
How do i figure this problem out.
how do you translate this in Algebraic Expressions
linda Reply
why surface tension is zero at critical temperature
Shanjida
I think if critical temperature denote high temperature then a liquid stats boils that time the water stats to evaporate so some moles of h2o to up and due to high temp the bonding break they have low density so it can be a reason
s.
Need to simplify the expresin. 3/7 (x+y)-1/7 (x-1)=
Crystal Reply
. After 3 months on a diet, Lisa had lost 12% of her original weight. She lost 21 pounds. What was Lisa's original weight?
Chris Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Функции од една реaлнa промeнлива. OpenStax CNX. Oct 16, 2013 Download for free at http://cnx.org/content/col10490/1.7
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Функции од една реaлнa промeнлива' conversation and receive update notifications?

Ask