0.7 Низи

Низи

Конечна низа од реални броеви се нарекува секое множество $a_1,a_2,a_3,\text{.}\text{.}\text{.},a_n,$ каде $a_i(i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.},n)$ се реални броеви, односно секое едно­значно пресликување на подмножество од природни броеви 1, 2, 3, …, n во множество на реални броеви. Конечната низа се означува со ${\{a_i\}}_1^n\text{.}$

Бесконечното множество од реални броеви $a_1,a_2,a_3,\text{.}\text{.}\text{.},a_n,\text{.}\text{.}\text{.}$ се нареку­ва бесконечна низа или само низа и се означува со ${\{a_i\}}_1^{\infty }\text{.}$ Оваа низа се добива како резултат на пресликување од множеството природни броеви во множеството реални броеви.

Значи низите, без оглед на тоа дали се конечни или бесконечни, се определуваат како вредности на функции на кои дефиницио­ната област им е множеството природни броеви. Реалните броеви $a_1,a_2,a_3,\text{.}\text{.}\text{.},a_n,\text{.}\text{.}\text{.}$ се нарекуваат членови на низата и за нив се користи иста ознака, буквата $a$ , а се разликуваат само по својот индекс со кој наполно се определува членот на низата.

Низата може да се зададе со општиот член $a_n$ или со набројување на неколку нејзини членови.

Точка на натрупување на низа

Дефиниција.

Точката $b$ се нарекува точка на натруп­ува­ње на низата $a_1,a_2,a_3,\text{.}\text{.}\text{.},a_n,\text{.}\text{.}\text{.}$ ако за произволно $\epsilon >0$ во секој интервал $(b-\epsilon ,b+\epsilon )$ се наоѓаат бесконечно многу членови од низата.

Една низа може да има една или повеќе точки на натрупу­вање.

Гранична вредност на низа

Дефиниција.

Бројот $a$ се нарекува гранична вредност на низата $a_1,a_2,a_3,\text{.}\text{.}\text{.},a_n,\text{.}\text{.}\text{.}$ или само граница ако на секој број $\epsilon >0$ му одговара природен број $n_0$ таков што за секое $n>n_0$ важи и се запишува

$\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{a}_n=a$ или $a_n\to a,n\to \infty$

и се чита: низата $\{a_i\}$ тежи или конвергира кон бројот $a$ кога $n$ тежи кон $\infty$ .

Дефиницијата за граница на низа укажува дека каков и да е радиусот $\epsilon >0$ на околината на граничната вредност $a$ , во интервалот $(a-\epsilon ,a+\epsilon )$ ќе има бесконечно многу членови од низата, односно сите членови со индекс $n>n_0$ . Природниот број $n_0$ се определува во зависност од радиусот $\epsilon$ .

Точката на натрупување не може да се поистовети со граничната вредност на низата, бидејќи надвор од $\epsilon -$ околината на граничната точка има конечно многу членови на низата, што немора да важи за точката на натрупување. Ако низата има една точка на натрупување, таа е и нејзина гранична вредност, а ако низата има повеќе од една точка на натрупување, тогаш низата нема гранична вредност.

Низите чија гранична вредност е конечен реален број се нарекуваат конвергентни . Постојат и дивергентни низи, а тоа се низи чија гранична вредност е $-\infty$ или $+\infty$ .

Некои особини за низите

Ако за членовите на низата $a_1,a_2,a_3,\text{.}\text{.}\text{.},a_n,\text{.}\text{.}\text{.}$ важат неравенствата

низата се нарекува растечка , а ако важи

$a_1>a_2>a_3>\text{.}\text{.}\text{.}>a_n>a_{n+1}>\text{.}\text{.}\text{.}$

низата е опа ѓа чка .

Ако се воведе ознаката ${\mathrm{\Delta a}}_n=a_{n+1}-a_n$ , низата е растечка ако ${\mathrm{\Delta a}}_n>0$ и опаѓачка ако .

И растечките и опаѓачките низи се нарекувааат монотони низи , па постојат монотоно растечки и монотоно опаѓачки низи. Низата за која

се нарекува монотоно неопаѓачка , додека низата за која

$a_1\ge a_2\ge a_3\ge \text{.}\text{.}\text{.}\ge a_n\ge a_{n+1}\ge \text{.}\text{.}\text{.}$

е монотоно нерастечка .

За неопаѓачите низи важи ${\mathrm{\Delta a}}_n\ge 0$ , додека за нерастечките

Ограниченост на низа

Дефиниција.

Низата ${\{a_i\}}_1^{\infty }$ е ограничена ако постојат броеви $m,M\in R$ такви што

.

Дефиниција.

Низата ${\{a_i\}}_1^{\infty }$ е нео граничена ако за секој позитивен број $M>0$ постои природен број $n$ таков да $\mid a_n\mid >M\text{.}$

Низата може да биде и:

• неограничена од лево и ограничена од десно ако
• ограничена од лево и неограничена од десно ако
• неограничена и од лево и од десно ако

За низите важат следните тврдења:

• Сите монотони и ограничени низи се конвергентни.
• Една низа може да биде конвергентна, а да не биде монотона.
• Секоја конвергентна низа е ограничена, а обратното не важи.
• Секоја огранична низа има барем една точка на натрупување.

Ако постојат границите на низите $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{a}_n=a$ и $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{b}_n=b$ , тогаш:

$\underset{n\to \infty }{\text{lim}}(a_n\pm b_n)=\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{a}_n\pm \underset{n\to \infty }{\text{lim}}{b}_n$

$\underset{n\to \infty }{\text{lim}}(a_n{b}_n)=\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{a}_n\cdot \underset{n\to \infty }{\text{lim}}{b}_n$

.

$\underset{n\to \infty }{\text{lim}}(a_n\pm b_n)=\underset{n\to \infty }{\text{lim}}(a_n)\pm \underset{n\to \infty }{\text{lim}}(b_n)$

Бројот e

Бројот $e$ се добива како гранична вредност на низата со општ член $e_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ , односно

$e=\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$

при што $e=\text{2,718281828459045}\text{.}\text{.}\text{.}$ е ирационалeн број и тој нема конечен децимален запис.

Вредностите на неколку први членови од оваа низа се:

$e_1={\left(1+\frac{1}{1}\right)}^1=2$

$e_2={\left(1+\frac{1}{2}\right)}^2=\mathrm{2,}\text{25}$ ...

$e_3={\left(1+\frac{1}{3}\right)}^3=\mathrm{2,}\text{37037}$ ...

$e_4={\left(1+\frac{1}{4}\right)}^4=\mathrm{2,}\text{4414}$ ...

$e_5={\left(1+\frac{1}{5}\right)}^5=\mathrm{2,}\text{48832}$ ...

$e_6={\left(1+\frac{1}{6}\right)}^6=\mathrm{2,}\text{5216}$ ...

и т.н.

Не докажувајќи, се забележува дека оваа низа е монотоно растечка и ограничена, што значи дека е конвергнетна.

Бројот $e$ е база на природниот логаритам и број кој се појавува на многу места во математиката.