<< Chapter < Page Chapter >> Page >
Во овој модул се дефинираат основните својства на функциите како: дефинициона област, ограниченост, монотоност, периодичност на функција и инверзна функција.

Основни својства на функциите

Ќе ги наведеме основните својства (особини) на функциите.

Дефинициона област на функција

Дефиниција.

Нека е зададена функцијата f : D G , ( D , G R ) . size 12{f:D rightarrow G, \( D,G subseteq R \) "." } {} Множеството релани броеви D size 12{D} {} од кое аргументот на функцијата прима вредности се нарекува дефинициона област или домен на функцијата f size 12{f} {} и се означува со D f size 12{D rSub { size 8{f} } } {} . Множеството G size 12{D} {} е множество од вредности на функцијата f size 12{f} {} и се нарекува уште и кодомен .

Кога ќе се каже дека функцијата y = f ( x ) size 12{y=f \( x \) } {} е дефинирана (определена) за една вредност x = a size 12{x=a} {} , тоа значи дека постои f ( a ) size 12{f \( a \) } {} и таа вредност може да се определи. Ако функцијата е дефинирана за секоја вредност од интервалот ( a , b ) , size 12{ \( a,b \) ,} {} за неа се вели дека е дефинирана на тој интервал. Дефиниционата област се определува во зависност од аналитичкиот израз со кој е зададена функцијата. Дефиниоционата област на функција може да биде множеството реални броеви или кеkое негово подмножество како интервал (отворен, затворен, полуотворен и полузатворен), унија од интервали или од изолирани точки.

Ќе се прикажат дефиниционите области на некои карактеристични функции.

  • Дефинициона област на функцијата полином

Ако функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} е зададена со полином, нејзината дефинициона област е целото множество R или D f = ( , + ) . size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity ,`+ infinity \) "." } {}

Пример 1.

Функциите

y = x 2 , y = 3x 4 7x 2 + 10 , y = 25 x 7 + 4,5 x 6 + x 3 12 x + 5 size 12{y=x rSup { size 8{2} } ,~y=3x rSup { size 8{4} } - 7x rSup { size 8{2} } +"10",~y= - "25"x rSup { size 8{7} } +4,5x rSup { size 8{6} } +x rSup { size 8{3} } - "12"x+5} {}

се дефинирани за секој реален број и нивната дефициона област е

D f = ( , + ) . size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity ,`+ infinity \) "." } {}

  • Дефинициона област на функцијата парен корен

Ако функцијата се наоѓа под парен корен,

y = f ( x ) 2k , ( k N ) size 12{y= nroot { size 8{2k} } {f \( x \) } ,~ \( k in N \) } {} ,

дефиниционата област се определува од неравенството f ( x ) 0 . size 12{f \( x \)>= 0 "." } {}

Пример 2.

Функцијата y = x + 1 size 12{y= sqrt {x+1} } {} е дефинирана за x + 1 0, size 12{x+1>= 0,``} {} односно x 1 size 12{x>= - 1} {} и се пишува D f = [ 1, + ) . size 12{D rSub { size 8{f} } = \[ - 1,`+ infinity \) "." } {}

Пример 3.

За да се определи дефиниционата област на функцијата

y = x 1 + 2 1 x + x 2 + 1 size 12{y= sqrt {x - 1} +2 sqrt {1 - x} + sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } {} ,

функцијата y size 12{D} {} се запишува како сума од три функции

y = f 1 + f 2 + f 3 size 12{y=f rSub { size 8{1} } +f rSub { size 8{2} } +f rSub { size 8{3} } } {}

каде

f 1 = x 1 , f 2 = 1 x , f 3 = x 2 + 1 size 12{f rSub { size 8{1} } = sqrt {x - 1} ,`f rSub { size 8{2} } = sqrt {1 - x} ,`f rSub { size 8{3} } = sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } {}

и за секоја од овие помошни функции се определува дефиниционата област.

За функцијата f 1 = x 1 size 12{f rSub { size 8{1} } = sqrt {x - 1} } {} дефинициона област е D f 1 = [ 1, + ) size 12{D rSub { size 8{f rSub { size 6{1} } } } = \[ 1,`+ infinity \) } {} ;

За функцијата f 2 = 1 x size 12{`f rSub { size 8{2} } = sqrt {1 - x} } {} дефинициона област е D f 2 = ( , 1 ] size 12{D rSub { size 8{f rSub { size 6{2} } } } = \( - infinity ,`1 \] } {} ;

За функцијата f 3 = x 2 + 1 size 12{f rSub { size 8{3} } = sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } {} дефинициона област е D f 3 = ( , + ) . size 12{D rSub { size 8{f rSub { size 6{3} } } } = \( - infinity ,`+ infinity \) "." } {}

Заедничката дефинициона област ке биде пресекот на овие поединечни области

D f = D f 1 D f 2 D f 3 = { 1 } , size 12{D rSub { size 8{f} } =D rSub { size 8{f rSub { size 6{1} } } } intersection D rSub {f rSub { size 6{2} } } size 12{ intersection D rSub {f rSub { size 6{3} } } } size 12{ {}= lbrace 1 rbrace ,}} {}

што значи дека функцијата y = x 1 + 2 1 x + x 2 + 1 size 12{y= sqrt {x - 1} +2 sqrt {1 - x} + sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } {} е дефинирана само во точката x = 1 . size 12{x=1 "." } {}

  • Дефинициона област на функцијата количник

y = f ( x ) g ( x ) size 12{y= { {f \( x \) } over {g \( x \) } } } {} ,

дефиниционата област се определува од условот g ( x ) 0 size 12{g \( x \)<>0} {} и од дефинираноста на самите функции f size 12{f} {} и g size 12{g} {} .

Пример 4.

За функцијата y = x 2 + 2 x 2 1 size 12{y= { {x rSup { size 8{2} } +2} over {x rSup { size 8{2} } - 1} } } {} дефиниционата област се определува од условот x 2 1 0 size 12{x rSup { size 8{2} } - 1<>0} {} , односно x 2 1 size 12{x rSup { size 8{2} }<>1} {} или x ± 1 size 12{x<>+- 1} {} , што значи дека од множеството на реални броеви се отфрлаат двете точки x = ± 1 size 12{x<>+- 1} {} и функцијата е дефинирана на три интервала

D f = ( , 1 ) ( 1,1 ) ( 1, + ) . size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity , - 1 \) union \( - 1,1 \) union \( 1,+ infinity \) "." } {}

За вежба, погледајте ги долунаведените линкови:

Решени примери-1 за определување на дефинициона област на едноставни алгебарски функции со користење на ознаки за множества.

Решени примери-2 за определување на дефинициона област на алгебарски функции со користење на ознаки за интервали.

Решени примери-3 за определување на дефинициона област на функции под квадратен корен.

Questions & Answers

Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
anyone know any internet site where one can find nanotechnology papers?
Damian Reply
research.net
kanaga
sciencedirect big data base
Ernesto
Introduction about quantum dots in nanotechnology
Praveena Reply
what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
how to know photocatalytic properties of tio2 nanoparticles...what to do now
Akash Reply
it is a goid question and i want to know the answer as well
Maciej
characteristics of micro business
Abigail
for teaching engĺish at school how nano technology help us
Anassong
Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
there is no specific books for beginners but there is book called principle of nanotechnology
NANO
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
fullerene is a bucky ball aka Carbon 60 molecule. It was name by the architect Fuller. He design the geodesic dome. it resembles a soccer ball.
Tarell
what is the actual application of fullerenes nowadays?
Damian
That is a great question Damian. best way to answer that question is to Google it. there are hundreds of applications for buck minister fullerenes, from medical to aerospace. you can also find plenty of research papers that will give you great detail on the potential applications of fullerenes.
Tarell
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
Mostly, they use nano carbon for electronics and for materials to be strengthened.
Virgil
is Bucky paper clear?
CYNTHIA
carbon nanotubes has various application in fuel cells membrane, current research on cancer drug,and in electronics MEMS and NEMS etc
NANO
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
Do you know which machine is used to that process?
s.
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Berger describes sociologists as concerned with
Mueller Reply
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Функции од една реaлнa промeнлива. OpenStax CNX. Oct 16, 2013 Download for free at http://cnx.org/content/col10490/1.7
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Функции од една реaлнa промeнлива' conversation and receive update notifications?

Ask