<< Chapter < Page Chapter >> Page >
Во овој модул се дефинираат основните својства на функциите како: дефинициона област, ограниченост, монотоност, периодичност на функција и инверзна функција.

Основни својства на функциите

Ќе ги наведеме основните својства (особини) на функциите.

Дефинициона област на функција

Дефиниција.

Нека е зададена функцијата f : D G , ( D , G R ) . size 12{f:D rightarrow G, \( D,G subseteq R \) "." } {} Множеството релани броеви D size 12{D} {} од кое аргументот на функцијата прима вредности се нарекува дефинициона област или домен на функцијата f size 12{f} {} и се означува со D f size 12{D rSub { size 8{f} } } {} . Множеството G size 12{D} {} е множество од вредности на функцијата f size 12{f} {} и се нарекува уште и кодомен .

Кога ќе се каже дека функцијата y = f ( x ) size 12{y=f \( x \) } {} е дефинирана (определена) за една вредност x = a size 12{x=a} {} , тоа значи дека постои f ( a ) size 12{f \( a \) } {} и таа вредност може да се определи. Ако функцијата е дефинирана за секоја вредност од интервалот ( a , b ) , size 12{ \( a,b \) ,} {} за неа се вели дека е дефинирана на тој интервал. Дефиниционата област се определува во зависност од аналитичкиот израз со кој е зададена функцијата. Дефиниоционата област на функција може да биде множеството реални броеви или кеkое негово подмножество како интервал (отворен, затворен, полуотворен и полузатворен), унија од интервали или од изолирани точки.

Ќе се прикажат дефиниционите области на некои карактеристични функции.

  • Дефинициона област на функцијата полином

Ако функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} е зададена со полином, нејзината дефинициона област е целото множество R или D f = ( , + ) . size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity ,`+ infinity \) "." } {}

Пример 1.

Функциите

y = x 2 , y = 3x 4 7x 2 + 10 , y = 25 x 7 + 4,5 x 6 + x 3 12 x + 5 size 12{y=x rSup { size 8{2} } ,~y=3x rSup { size 8{4} } - 7x rSup { size 8{2} } +"10",~y= - "25"x rSup { size 8{7} } +4,5x rSup { size 8{6} } +x rSup { size 8{3} } - "12"x+5} {}

се дефинирани за секој реален број и нивната дефициона област е

D f = ( , + ) . size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity ,`+ infinity \) "." } {}

  • Дефинициона област на функцијата парен корен

Ако функцијата се наоѓа под парен корен,

y = f ( x ) 2k , ( k N ) size 12{y= nroot { size 8{2k} } {f \( x \) } ,~ \( k in N \) } {} ,

дефиниционата област се определува од неравенството f ( x ) 0 . size 12{f \( x \)>= 0 "." } {}

Пример 2.

Функцијата y = x + 1 size 12{y= sqrt {x+1} } {} е дефинирана за x + 1 0, size 12{x+1>= 0,``} {} односно x 1 size 12{x>= - 1} {} и се пишува D f = [ 1, + ) . size 12{D rSub { size 8{f} } = \[ - 1,`+ infinity \) "." } {}

Пример 3.

За да се определи дефиниционата област на функцијата

y = x 1 + 2 1 x + x 2 + 1 size 12{y= sqrt {x - 1} +2 sqrt {1 - x} + sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } {} ,

функцијата y size 12{D} {} се запишува како сума од три функции

y = f 1 + f 2 + f 3 size 12{y=f rSub { size 8{1} } +f rSub { size 8{2} } +f rSub { size 8{3} } } {}

каде

f 1 = x 1 , f 2 = 1 x , f 3 = x 2 + 1 size 12{f rSub { size 8{1} } = sqrt {x - 1} ,`f rSub { size 8{2} } = sqrt {1 - x} ,`f rSub { size 8{3} } = sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } {}

и за секоја од овие помошни функции се определува дефиниционата област.

За функцијата f 1 = x 1 size 12{f rSub { size 8{1} } = sqrt {x - 1} } {} дефинициона област е D f 1 = [ 1, + ) size 12{D rSub { size 8{f rSub { size 6{1} } } } = \[ 1,`+ infinity \) } {} ;

За функцијата f 2 = 1 x size 12{`f rSub { size 8{2} } = sqrt {1 - x} } {} дефинициона област е D f 2 = ( , 1 ] size 12{D rSub { size 8{f rSub { size 6{2} } } } = \( - infinity ,`1 \] } {} ;

За функцијата f 3 = x 2 + 1 size 12{f rSub { size 8{3} } = sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } {} дефинициона област е D f 3 = ( , + ) . size 12{D rSub { size 8{f rSub { size 6{3} } } } = \( - infinity ,`+ infinity \) "." } {}

Заедничката дефинициона област ке биде пресекот на овие поединечни области

D f = D f 1 D f 2 D f 3 = { 1 } , size 12{D rSub { size 8{f} } =D rSub { size 8{f rSub { size 6{1} } } } intersection D rSub {f rSub { size 6{2} } } size 12{ intersection D rSub {f rSub { size 6{3} } } } size 12{ {}= lbrace 1 rbrace ,}} {}

што значи дека функцијата y = x 1 + 2 1 x + x 2 + 1 size 12{y= sqrt {x - 1} +2 sqrt {1 - x} + sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } {} е дефинирана само во точката x = 1 . size 12{x=1 "." } {}

  • Дефинициона област на функцијата количник

y = f ( x ) g ( x ) size 12{y= { {f \( x \) } over {g \( x \) } } } {} ,

дефиниционата област се определува од условот g ( x ) 0 size 12{g \( x \)<>0} {} и од дефинираноста на самите функции f size 12{f} {} и g size 12{g} {} .

Пример 4.

За функцијата y = x 2 + 2 x 2 1 size 12{y= { {x rSup { size 8{2} } +2} over {x rSup { size 8{2} } - 1} } } {} дефиниционата област се определува од условот x 2 1 0 size 12{x rSup { size 8{2} } - 1<>0} {} , односно x 2 1 size 12{x rSup { size 8{2} }<>1} {} или x ± 1 size 12{x<>+- 1} {} , што значи дека од множеството на реални броеви се отфрлаат двете точки x = ± 1 size 12{x<>+- 1} {} и функцијата е дефинирана на три интервала

D f = ( , 1 ) ( 1,1 ) ( 1, + ) . size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity , - 1 \) union \( - 1,1 \) union \( 1,+ infinity \) "." } {}

За вежба, погледајте ги долунаведените линкови:

Решени примери-1 за определување на дефинициона област на едноставни алгебарски функции со користење на ознаки за множества.

Решени примери-2 за определување на дефинициона област на алгебарски функции со користење на ознаки за интервали.

Решени примери-3 за определување на дефинициона област на функции под квадратен корен.

Questions & Answers

where we get a research paper on Nano chemistry....?
Maira Reply
nanopartical of organic/inorganic / physical chemistry , pdf / thesis / review
Ali
what are the products of Nano chemistry?
Maira Reply
There are lots of products of nano chemistry... Like nano coatings.....carbon fiber.. And lots of others..
learn
Even nanotechnology is pretty much all about chemistry... Its the chemistry on quantum or atomic level
learn
Google
da
no nanotechnology is also a part of physics and maths it requires angle formulas and some pressure regarding concepts
Bhagvanji
hey
Giriraj
Preparation and Applications of Nanomaterial for Drug Delivery
Hafiz Reply
revolt
da
Application of nanotechnology in medicine
what is variations in raman spectra for nanomaterials
Jyoti Reply
ya I also want to know the raman spectra
Bhagvanji
I only see partial conversation and what's the question here!
Crow Reply
what about nanotechnology for water purification
RAW Reply
please someone correct me if I'm wrong but I think one can use nanoparticles, specially silver nanoparticles for water treatment.
Damian
yes that's correct
Professor
I think
Professor
Nasa has use it in the 60's, copper as water purification in the moon travel.
Alexandre
nanocopper obvius
Alexandre
what is the stm
Brian Reply
is there industrial application of fullrenes. What is the method to prepare fullrene on large scale.?
Rafiq
industrial application...? mmm I think on the medical side as drug carrier, but you should go deeper on your research, I may be wrong
Damian
How we are making nano material?
LITNING Reply
what is a peer
LITNING Reply
What is meant by 'nano scale'?
LITNING Reply
What is STMs full form?
LITNING
scanning tunneling microscope
Sahil
how nano science is used for hydrophobicity
Santosh
Do u think that Graphene and Fullrene fiber can be used to make Air Plane body structure the lightest and strongest. Rafiq
Rafiq
what is differents between GO and RGO?
Mahi
what is simplest way to understand the applications of nano robots used to detect the cancer affected cell of human body.? How this robot is carried to required site of body cell.? what will be the carrier material and how can be detected that correct delivery of drug is done Rafiq
Rafiq
if virus is killing to make ARTIFICIAL DNA OF GRAPHENE FOR KILLED THE VIRUS .THIS IS OUR ASSUMPTION
Anam
analytical skills graphene is prepared to kill any type viruses .
Anam
Any one who tell me about Preparation and application of Nanomaterial for drug Delivery
Hafiz
what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play




Source:  OpenStax, Функции од една реaлнa промeнлива. OpenStax CNX. Oct 16, 2013 Download for free at http://cnx.org/content/col10490/1.7
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Функции од една реaлнa промeнлива' conversation and receive update notifications?

Ask