<< Chapter < Page
  Cơ sở tự động học     Page 4 / 4
Chapter >> Page >

s4 + s3 - s - 1 = 0

Bảng Routh :

s4 1 0 -1 0

s3 1 -1 0 0

s2 1 -1 0

s1 0 0

s0 -1

Hệ số ở hàng s0 được tính bằng cách thay 0 ở hàng s1 bằng , rồi tính hệ số của hàng s0 như sau :

ε ( 1 ) 0 ε = 1 size 12{ { {ε \( - 1 \) - 0} over {ε} } = - 1} {}

Cần phương cách này khi có một zero ở cột một. Vì có một lần đổi dấu ở cột một, nên phương trình đặc trưng có một nghiệm có phần thực dương. Do đó, hệ thống không ổn định.

Tiêu chuẩn hurwitz

Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz là phương pháp khác để xác định tất cả nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm hay không . Tiêu chuẩn này được áp dụng thông qua việc sử dụng các định thức tạo bởi những hệ số của phương trình đặc trưng.

Giả sử hệ số thứ nhất, an dương. Các định thức Ai với i = 1, 2, .... , n-1 được tạo ra như là các định thức con (minor determinant) của định thức :

Các định thức con được lập nên như sau :

Δ 1 = a n 1 Δ 2 = a n 1 a n 3 a n a n 2 = a n 1 a n 2 a n a n 3 Δ 3 = a n 1 a n 3 a n 5 a n a n 2 a n 4 0 a n 1 a n 3 = a n 1 a n 2 a n 3 + a n a n 1 a n 5 a n a n 3 2 a n 4 a n 1 2 alignl { stack { size 12{Δ rSub { size 8{1} } =``a rSub { size 8{n - 1} } } {} #Δ rSub { size 8{2} } = left [ matrix { a rSub { size 8{n - 1} } {} # a rSub { size 8{n - 3} } {} ##a rSub { size 8{n} } {} # a rSub { size 8{n - 2} } {} } right ]`=`a rSub { size 8{n - 1} } a rSub { size 8{n - 2} } ` - ``a rSub { size 8{n} } a rSub { size 8{n - 3} } {} # Δ rSub { size 8{3} } = left [ matrix {a rSub { size 8{n - 1} } {} # a rSub { size 8{n - 3} } {} # a rSub { size 8{n - 5} } {} ## a rSub { size 8{n} } {} # a rSub { size 8{n - 2} } {} # a rSub { size 8{n - 4} } {} ##0 {} # a rSub { size 8{n - 1} } {} # a rSub { size 8{n - 3} } {} } right ]`=a rSub { size 8{n - 1} } a rSub { size 8{n - 2} } `a rSub { size 8{n - 3} } +``a rSub { size 8{n} } a rSub { size 8{n - 1} } a rSub { size 8{n - 5} } {} # ``````````````````````````````````````````````````````````````````` - ``a rSub { size 8{n} } a rSub { size 8{n - 3} } rSup { size 8{2} } ` - a rSub { size 8{n - 4} } a rSub { size 8{n - 1} } rSup { size 8{2} } {}} } {}

Và tăng dần đến ?n

Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm nếu và chỉ nếu ?i>0 với i = 1 , 2 , …… , n.

* Thí dụ 6 -10: Với n = 3

Δ 3 = a 2 a 0 0 a 3 a 1 0 0 a 2 a 0 = a 2 a 1 a 0 a 0 2 a 3 size 12{Δ rSub { size 8{3} } ``=`` lline ` matrix { a rSub { size 8{2} } {} # a rSub { size 8{0} } {} # 0 {} ##a rSub { size 8{3} } {} # a rSub { size 8{1} } {} # 0 {} ## 0 {} # a rSub { size 8{2} } {} # a rSub { size 8{0} } {}} ` rline `=``a rSub { size 8{2} } `a rSub { size 8{1} } `a rSub { size 8{0} } ` - `a rSub { size 8{0} } rSup { size 8{2} } `a rSub { size 8{3} } } {}

Δ 2 = a 2 a 0 a 3 a 1 = a 2 a 1 a 0 a 3 size 12{Δ rSub { size 8{2} } `=` lline ` matrix { a rSub { size 8{2} } {} # a rSub { size 8{0} } {} ##a rSub { size 8{3} } {} # a rSub { size 8{1} } {} } rline `=`a rSub { size 8{2} } `a rSub { size 8{1`} } ` - `a rSub { size 8{0} } `a rSub { size 8{3} } } {}

Δ 1 = a 2 size 12{Δ rSub { size 8{1} } `=`a rSub { size 8{2} } } {}

Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm nếu

a2>0 , a2 a1 – a0 a3>0

a2 a1 a0 – a02 a3>0

* Thí dụ 6 -11 : Xét sự ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng

s3 + 8s2 + 14s + 24 = 0

Lập các định thức Hurwitz

Δ 3 = 8 24 0 1 14 0 0 8 24 = 88 × 24 > 0 size 12{Δ rSub { size 8{3} } `=` lline ` matrix {8 {} # "24" {} # 0 {} ## 1 {} # "14" {} # 0 {} ##0 {} # 8 {} # "24"{} } ` rline `=``"88"`` times `"24"``>``0} {}

Δ 2 = 8 24 1 14 = 88 > 0 size 12{Δ rSub { size 8{2} } `=` lline ` matrix { 8 {} # "24" {} ##1 {} # "14"{} } ` rline ``=``"88"``>``0} {}

Δ 1 = 8 > 0 size 12{Δ rSub { size 8{1} } `=``8``>``0} {}

Các định thức đều lớn hơn không, các nghiệm của phương trình đặc trưng đều có phần thực âm, nên hệ thống ổn định.

* Thí dụ 6 –12 : Với khoãng giá trị nào của k thì hệ thống sau đây ổn định :

s2 + ks + ( 2k – 1 ) = 0

Δ 2 = k 0 1 2k 1 = k ( 2K 1 ) size 12{Δ rSub { size 8{2} } ``=`` lline ` matrix { k {} # 0 {} ##1 {} # 2k` - `1{} } ` rline ``=``k \( 2K` - `1 \) } {}

Δ 1 = k size 12{Δ rSub { size 8{1} } ``=``k} {}

k (2k -1)>0 k>0

Để hệ ổn định, cần có :

Vậy k > 1 2 size 12{k``>`` { {1} over {2} } } {}

* Thí dụ 6 – 13 :

Một hệ thống thiết kế đạt yêu cầu khi mạch khuếch đại của nó có độ lợi k = 2 . Hãy xác định xem độ lợi này có thể thay đổi bao nhiêu trước khi hệ thống trở nên bất ổn, nếu phương trình đặc trưng của hệ là :

s3+ s2 (4+k) + 6s + 16 + 8k = 0

  • Thay các tham số của phương trình đã cho vào điều kiện Hurwitz tổng quát ở thí dụ 6 –10. Ta được những điều kiện để hệ ổn định :

4 + k>0 , (4+k)6 – (16+8k)>0

(4+k) 6 (16+8k) – (16 + 8k)2>0

Giã sử độ lợi k không thể âm, nên điều kiện thứ nhất thỏa.

Điều kiện thứ nhì và thứ ba thỏa nếu k<4

Vậy với một độ lợi thiết kế có giá trị là 2, hệ thống có thể tăng độ lợi lên gấp đôi trước khi nó trở nên bất ổn.

Độ lợi cũng có thể giãm xuống không mà không gây ra sự mất ổn định.

Bài tập chương vi

VI. 1 Xem nghiệm của phương trình đặc trưng của vài hệ thống điều khiển dưới đây. Hãy xác định trong mỗi trường hợp sự ổn định của hệ. (ổn định, ổn định lề, hay bất ổn)

  1. –1 ,-2 f) 2 , -1 , -3
  2. –1 , +1 g) -6 , -4 , 7
  3. –3 , +2 h) -2 + 3j , -2 – 3j , -2
  4. –1 + j , -1 – j i) -j , j , -1 , 1
  5. –2 +j , -2 – j
  6. 2 , -1 , -3

VI. 2 Môït hệ thống có các cực ở –1 , -5 và các zero ở 1, -2 . Hệ thống ổn định không?

VI. 3 Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng :

(s + 1) (s + 2) (s - 3) = 0

VI. 4 Phương trình của một mạch tích phân được viết bởi :

dy/dt = x

Xác định tính ổn định của mạch tích phân.

VI. 5 Tìm đáp ứng xung lực của hệ thống có hàm chuyễn :

G ( s ) = s 2 + 2s + 2 ( s + 1 ) ( s + 2 ) size 12{G \( s \) ``=`` { {s rSup { size 8{2`} } +``2s``+``2} over { \( s+1 \) \( s+2 \) } } } {}

Xét tính ổn định của hệ dựa vào định nghĩa.

VI. 6 Khai triển G(s) thành phân số từng phần. Rồi tìm đáp ứng xung lực và xét tính ổn định.

a) G ( s ) = ( s 2 + s 2 ) s ( s + 1 ) ( s + 2 ) size 12{G \( s \) ``=`` { { - \( s rSup { size 8{2} } +````s``` - ``2 \) } over {s \( s+1 \) \( s+2 \) } } } {}

b) G ( s ) = s 2 + 9 s + 19 s ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 4 ) size 12{G \( s \) ``=`` { {s rSup { size 8{2} } +```9`s```+`"19"} over {s \( s+1 \) \( s+2 \) \( s+4 \) } } } {}

VI. 7 Dùng kỹ thuật biến đổi laplace, tìm đáp ứng xung lực của hệ thống diễn tả bởi phương trình vi phân :

d 3 y dt 3 + dy dt = x size 12{ { {d rSup { size 8{3} } y} over { ital "dt" rSup { size 8{3} } } } ``+`` { { ital "dy"} over { ital "dt"} } ```=```x} {} ĐS : y(t) = 1 – cost

VI. 8 Xác định tất cả các cực và zero của :

G ( s ) = s 2 26 s 5 7s 4 30 s 3 size 12{G \( s \) ``=`` { {s rSup { size 8{2`} } ` - "26"} over {s rSup { size 8{5} } - ``7s rSup { size 8{4} } ` - "30"s rSup { size 8{3} } } } } {} ĐS : s3 (s+3)(s-10)

VI. 9 Với mổi đa thức đặc trưng sau đây, xác định tính ổn định của hệ thống.

  1. 2s4 +8s3 + 10s2 + 10s + 20 = 0
  2. s3 + 7s2 + 7s + 46 = 0
  3. s5 + 6s4 + 10s2 + 5s + 24 = 0
  4. s3 - 2s2 + 4s + 6 = 0
  5. s4 +8s3 + 24s2 + 32s + 16 = 0
  6. s6 + 4s4 + 8s2 + 16 = 0 ĐS : b , f : ổn định

VI.10 với giá trị nào của k làm cho hệ thống ổn định, nếu đa thức đặc trưng là :

s3+ (4+k) s2+ 6s + 12 = 0 ĐS : k>2

VI. 11 có bao nhiêu nghiệm có phần thực dương, trong số các đa thức sau đây :

  1. s3 + s2 - s + 1
  2. s4 +2s3 + 2s2 + 2s + 1
  3. s3 + s2 – 2
  4. s4 - s2 - 2s + 2
  5. s3 + s2 + s + 6 ĐS : a(2) , b(0) , c(1) , d(2) , e(2)

VI. 12 Với giá trị dương nào của k làm cho đa thức :

s4 +8s3 + 24s2 + 32s + k = 0

Có các nghiệm với phần thực là zero? Đó là những nghiệm nào?

ĐS : k = 80 , s = ± j2

VI. 13 Hệ thống có phương trình đặc trưung sau đây thì ổnh định?

s4 +3s3 + 6s2 + 9s + 12 = 0

VI. 14 Xác định hàm chuyễn và tìm điều kiện để mạch sau đây ổn định.

ĐS : v 0 ( s ) v i ( s ) = ( s + 1 R 1 C 1 ) ( s + 1 R 2 C 2 ) s 2 + ( 1 R 2 C 2 + 1 R 2 C 1 + 1 R 1 C 1 ) s + 1 R 1 C 1 R 2 C 2 size 12{ { {v rSub { size 8{0} } \( s \) } over {v rSub { size 8{i} } \( s \) } } = { { \( s+ { {1} over {R rSub { size 8{1} } C rSub { size 8{1} } } } \) \( s+ { {1} over {R rSub { size 8{2} } C rSub { size 8{2} } } } \) } over {s rSup { size 8{2} } + \( { {1} over {R rSub { size 8{2} } C rSub { size 8{2} } } } + { {1} over {R rSub { size 8{2} } C rSub { size 8{1} } } } + { {1} over {R rSub { size 8{1} } C rSub { size 8{1} } } } \) s+ { {1} over {R rSub { size 8{1} } C rSub { size 8{1} } R rSub { size 8{2} } C rSub { size 8{2} } } } } } } {}

VI. 15 Xác định hàm chuyễn và tìm điều kiện để mạch sau đây ổn định.

ĐS : v 0 ( s ) v i ( s ) = 1 R 1 R 2 C 1 C 2 s 2 + ( R 1 C 1 + R 1 C 2 + R 2 C 2 ) s + 1 size 12{ { {v rSub { size 8{0} } \( s \) } over {v rSub { size 8{i} } \( s \) } } = { {1} over {R rSub { size 8{1} } R rSub { size 8{2} } C rSub { size 8{1} } C rSub { size 8{2} } s rSup { size 8{2} } + \( R rSub { size 8{1} } C rSub { size 8{1} } +R rSub { size 8{1} } C rSub { size 8{2} } +R rSub { size 8{2} } C rSub { size 8{2} } \) s+1} } } {}

(Dùng bảng Routh)

VI.16 Xác định những điều kiện Hurwith cho sự ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng cấp 4. Giả sử a4>0

a4 s4 + a3 s3 + a2 s2 + a1 s + a0 = 0

ĐS : a3>0 , a3 a2­ – a4 a1­>0 , a3 a2­a1 – a0 a3­2 – a4 a1­2>0

a3 (a2­a1a0 – a3 a0­2 ) – a0 a1­2 a4>0

*****************

Questions & Answers

physiological Psychology
Nwosu Reply
How can I develope my cognitive domain
Amanyire Reply
why is communication effective
Dakolo Reply
Communication is effective because it allows individuals to share ideas, thoughts, and information with others.
effective communication can lead to improved outcomes in various settings, including personal relationships, business environments, and educational settings. By communicating effectively, individuals can negotiate effectively, solve problems collaboratively, and work towards common goals.
it starts up serve and return practice/assessments.it helps find voice talking therapy also assessments through relaxed conversation.
miss
Every time someone flushes a toilet in the apartment building, the person begins to jumb back automatically after hearing the flush, before the water temperature changes. Identify the types of learning, if it is classical conditioning identify the NS, UCS, CS and CR. If it is operant conditioning, identify the type of consequence positive reinforcement, negative reinforcement or punishment
Wekolamo Reply
please i need answer
Wekolamo
because it helps many people around the world to understand how to interact with other people and understand them well, for example at work (job).
Manix Reply
Agreed 👍 There are many parts of our brains and behaviors, we really need to get to know. Blessings for everyone and happy Sunday!
ARC
A child is a member of community not society elucidate ?
JESSY Reply
Isn't practices worldwide, be it psychology, be it science. isn't much just a false belief of control over something the mind cannot truly comprehend?
Simon Reply
compare and contrast skinner's perspective on personality development on freud
namakula Reply
Skinner skipped the whole unconscious phenomenon and rather emphasized on classical conditioning
war
explain how nature and nurture affect the development and later the productivity of an individual.
Amesalu Reply
nature is an hereditary factor while nurture is an environmental factor which constitute an individual personality. so if an individual's parent has a deviant behavior and was also brought up in an deviant environment, observation of the behavior and the inborn trait we make the individual deviant.
Samuel
I am taking this course because I am hoping that I could somehow learn more about my chosen field of interest and due to the fact that being a PsyD really ignites my passion as an individual the more I hope to learn about developing and literally explore the complexity of my critical thinking skills
Zyryn Reply
good👍
Jonathan
and having a good philosophy of the world is like a sandwich and a peanut butter 👍
Jonathan
generally amnesi how long yrs memory loss
Kelu Reply
interpersonal relationships
Abdulfatai Reply
What would be the best educational aid(s) for gifted kids/savants?
Heidi Reply
treat them normal, if they want help then give them. that will make everyone happy
Saurabh
What are the treatment for autism?
Magret Reply
hello. autism is a umbrella term. autistic kids have different disorder overlapping. for example. a kid may show symptoms of ADHD and also learning disabilities. before treatment please make sure the kid doesn't have physical disabilities like hearing..vision..speech problem. sometimes these
Jharna
continue.. sometimes due to these physical problems..the diagnosis may be misdiagnosed. treatment for autism. well it depends on the severity. since autistic kids have problems in communicating and adopting to the environment.. it's best to expose the child in situations where the child
Jharna
child interact with other kids under doc supervision. play therapy. speech therapy. Engaging in different activities that activate most parts of the brain.. like drawing..painting. matching color board game. string and beads game. the more you interact with the child the more effective
Jharna
results you'll get.. please consult a therapist to know what suits best on your child. and last as a parent. I know sometimes it's overwhelming to guide a special kid. but trust the process and be strong and patient as a parent.
Jharna
what is learning? discuss how any three scholars propounded on how learning is
Grace Reply
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Cơ sở tự động học. OpenStax CNX. Jul 29, 2009 Download for free at http://cnx.org/content/col10756/1.1
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Cơ sở tự động học' conversation and receive update notifications?

Ask