<< Chapter < Page
  Cơ sở tự động học     Page 4 / 4
Chapter >> Page >

s4 + s3 - s - 1 = 0

Bảng Routh :

s4 1 0 -1 0

s3 1 -1 0 0

s2 1 -1 0

s1 0 0

s0 -1

Hệ số ở hàng s0 được tính bằng cách thay 0 ở hàng s1 bằng , rồi tính hệ số của hàng s0 như sau :

ε ( 1 ) 0 ε = 1 size 12{ { {ε \( - 1 \) - 0} over {ε} } = - 1} {}

Cần phương cách này khi có một zero ở cột một. Vì có một lần đổi dấu ở cột một, nên phương trình đặc trưng có một nghiệm có phần thực dương. Do đó, hệ thống không ổn định.

Tiêu chuẩn hurwitz

Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz là phương pháp khác để xác định tất cả nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm hay không . Tiêu chuẩn này được áp dụng thông qua việc sử dụng các định thức tạo bởi những hệ số của phương trình đặc trưng.

Giả sử hệ số thứ nhất, an dương. Các định thức Ai với i = 1, 2, .... , n-1 được tạo ra như là các định thức con (minor determinant) của định thức :

Các định thức con được lập nên như sau :

Δ 1 = a n 1 Δ 2 = a n 1 a n 3 a n a n 2 = a n 1 a n 2 a n a n 3 Δ 3 = a n 1 a n 3 a n 5 a n a n 2 a n 4 0 a n 1 a n 3 = a n 1 a n 2 a n 3 + a n a n 1 a n 5 a n a n 3 2 a n 4 a n 1 2 alignl { stack { size 12{Δ rSub { size 8{1} } =``a rSub { size 8{n - 1} } } {} #Δ rSub { size 8{2} } = left [ matrix { a rSub { size 8{n - 1} } {} # a rSub { size 8{n - 3} } {} ##a rSub { size 8{n} } {} # a rSub { size 8{n - 2} } {} } right ]`=`a rSub { size 8{n - 1} } a rSub { size 8{n - 2} } ` - ``a rSub { size 8{n} } a rSub { size 8{n - 3} } {} # Δ rSub { size 8{3} } = left [ matrix {a rSub { size 8{n - 1} } {} # a rSub { size 8{n - 3} } {} # a rSub { size 8{n - 5} } {} ## a rSub { size 8{n} } {} # a rSub { size 8{n - 2} } {} # a rSub { size 8{n - 4} } {} ##0 {} # a rSub { size 8{n - 1} } {} # a rSub { size 8{n - 3} } {} } right ]`=a rSub { size 8{n - 1} } a rSub { size 8{n - 2} } `a rSub { size 8{n - 3} } +``a rSub { size 8{n} } a rSub { size 8{n - 1} } a rSub { size 8{n - 5} } {} # ``````````````````````````````````````````````````````````````````` - ``a rSub { size 8{n} } a rSub { size 8{n - 3} } rSup { size 8{2} } ` - a rSub { size 8{n - 4} } a rSub { size 8{n - 1} } rSup { size 8{2} } {}} } {}

Và tăng dần đến ?n

Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm nếu và chỉ nếu ?i>0 với i = 1 , 2 , …… , n.

* Thí dụ 6 -10: Với n = 3

Δ 3 = a 2 a 0 0 a 3 a 1 0 0 a 2 a 0 = a 2 a 1 a 0 a 0 2 a 3 size 12{Δ rSub { size 8{3} } ``=`` lline ` matrix { a rSub { size 8{2} } {} # a rSub { size 8{0} } {} # 0 {} ##a rSub { size 8{3} } {} # a rSub { size 8{1} } {} # 0 {} ## 0 {} # a rSub { size 8{2} } {} # a rSub { size 8{0} } {}} ` rline `=``a rSub { size 8{2} } `a rSub { size 8{1} } `a rSub { size 8{0} } ` - `a rSub { size 8{0} } rSup { size 8{2} } `a rSub { size 8{3} } } {}

Δ 2 = a 2 a 0 a 3 a 1 = a 2 a 1 a 0 a 3 size 12{Δ rSub { size 8{2} } `=` lline ` matrix { a rSub { size 8{2} } {} # a rSub { size 8{0} } {} ##a rSub { size 8{3} } {} # a rSub { size 8{1} } {} } rline `=`a rSub { size 8{2} } `a rSub { size 8{1`} } ` - `a rSub { size 8{0} } `a rSub { size 8{3} } } {}

Δ 1 = a 2 size 12{Δ rSub { size 8{1} } `=`a rSub { size 8{2} } } {}

Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm nếu

a2>0 , a2 a1 – a0 a3>0

a2 a1 a0 – a02 a3>0

* Thí dụ 6 -11 : Xét sự ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng

s3 + 8s2 + 14s + 24 = 0

Lập các định thức Hurwitz

Δ 3 = 8 24 0 1 14 0 0 8 24 = 88 × 24 > 0 size 12{Δ rSub { size 8{3} } `=` lline ` matrix {8 {} # "24" {} # 0 {} ## 1 {} # "14" {} # 0 {} ##0 {} # 8 {} # "24"{} } ` rline `=``"88"`` times `"24"``>``0} {}

Δ 2 = 8 24 1 14 = 88 > 0 size 12{Δ rSub { size 8{2} } `=` lline ` matrix { 8 {} # "24" {} ##1 {} # "14"{} } ` rline ``=``"88"``>``0} {}

Δ 1 = 8 > 0 size 12{Δ rSub { size 8{1} } `=``8``>``0} {}

Các định thức đều lớn hơn không, các nghiệm của phương trình đặc trưng đều có phần thực âm, nên hệ thống ổn định.

* Thí dụ 6 –12 : Với khoãng giá trị nào của k thì hệ thống sau đây ổn định :

s2 + ks + ( 2k – 1 ) = 0

Δ 2 = k 0 1 2k 1 = k ( 2K 1 ) size 12{Δ rSub { size 8{2} } ``=`` lline ` matrix { k {} # 0 {} ##1 {} # 2k` - `1{} } ` rline ``=``k \( 2K` - `1 \) } {}

Δ 1 = k size 12{Δ rSub { size 8{1} } ``=``k} {}

k (2k -1)>0 k>0

Để hệ ổn định, cần có :

Vậy k > 1 2 size 12{k``>`` { {1} over {2} } } {}

* Thí dụ 6 – 13 :

Một hệ thống thiết kế đạt yêu cầu khi mạch khuếch đại của nó có độ lợi k = 2 . Hãy xác định xem độ lợi này có thể thay đổi bao nhiêu trước khi hệ thống trở nên bất ổn, nếu phương trình đặc trưng của hệ là :

s3+ s2 (4+k) + 6s + 16 + 8k = 0

  • Thay các tham số của phương trình đã cho vào điều kiện Hurwitz tổng quát ở thí dụ 6 –10. Ta được những điều kiện để hệ ổn định :

4 + k>0 , (4+k)6 – (16+8k)>0

(4+k) 6 (16+8k) – (16 + 8k)2>0

Giã sử độ lợi k không thể âm, nên điều kiện thứ nhất thỏa.

Điều kiện thứ nhì và thứ ba thỏa nếu k<4

Vậy với một độ lợi thiết kế có giá trị là 2, hệ thống có thể tăng độ lợi lên gấp đôi trước khi nó trở nên bất ổn.

Độ lợi cũng có thể giãm xuống không mà không gây ra sự mất ổn định.

Bài tập chương vi

VI. 1 Xem nghiệm của phương trình đặc trưng của vài hệ thống điều khiển dưới đây. Hãy xác định trong mỗi trường hợp sự ổn định của hệ. (ổn định, ổn định lề, hay bất ổn)

  1. –1 ,-2 f) 2 , -1 , -3
  2. –1 , +1 g) -6 , -4 , 7
  3. –3 , +2 h) -2 + 3j , -2 – 3j , -2
  4. –1 + j , -1 – j i) -j , j , -1 , 1
  5. –2 +j , -2 – j
  6. 2 , -1 , -3

VI. 2 Môït hệ thống có các cực ở –1 , -5 và các zero ở 1, -2 . Hệ thống ổn định không?

VI. 3 Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng :

(s + 1) (s + 2) (s - 3) = 0

VI. 4 Phương trình của một mạch tích phân được viết bởi :

dy/dt = x

Xác định tính ổn định của mạch tích phân.

VI. 5 Tìm đáp ứng xung lực của hệ thống có hàm chuyễn :

G ( s ) = s 2 + 2s + 2 ( s + 1 ) ( s + 2 ) size 12{G \( s \) ``=`` { {s rSup { size 8{2`} } +``2s``+``2} over { \( s+1 \) \( s+2 \) } } } {}

Xét tính ổn định của hệ dựa vào định nghĩa.

VI. 6 Khai triển G(s) thành phân số từng phần. Rồi tìm đáp ứng xung lực và xét tính ổn định.

a) G ( s ) = ( s 2 + s 2 ) s ( s + 1 ) ( s + 2 ) size 12{G \( s \) ``=`` { { - \( s rSup { size 8{2} } +````s``` - ``2 \) } over {s \( s+1 \) \( s+2 \) } } } {}

b) G ( s ) = s 2 + 9 s + 19 s ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 4 ) size 12{G \( s \) ``=`` { {s rSup { size 8{2} } +```9`s```+`"19"} over {s \( s+1 \) \( s+2 \) \( s+4 \) } } } {}

VI. 7 Dùng kỹ thuật biến đổi laplace, tìm đáp ứng xung lực của hệ thống diễn tả bởi phương trình vi phân :

d 3 y dt 3 + dy dt = x size 12{ { {d rSup { size 8{3} } y} over { ital "dt" rSup { size 8{3} } } } ``+`` { { ital "dy"} over { ital "dt"} } ```=```x} {} ĐS : y(t) = 1 – cost

VI. 8 Xác định tất cả các cực và zero của :

G ( s ) = s 2 26 s 5 7s 4 30 s 3 size 12{G \( s \) ``=`` { {s rSup { size 8{2`} } ` - "26"} over {s rSup { size 8{5} } - ``7s rSup { size 8{4} } ` - "30"s rSup { size 8{3} } } } } {} ĐS : s3 (s+3)(s-10)

VI. 9 Với mổi đa thức đặc trưng sau đây, xác định tính ổn định của hệ thống.

  1. 2s4 +8s3 + 10s2 + 10s + 20 = 0
  2. s3 + 7s2 + 7s + 46 = 0
  3. s5 + 6s4 + 10s2 + 5s + 24 = 0
  4. s3 - 2s2 + 4s + 6 = 0
  5. s4 +8s3 + 24s2 + 32s + 16 = 0
  6. s6 + 4s4 + 8s2 + 16 = 0 ĐS : b , f : ổn định

VI.10 với giá trị nào của k làm cho hệ thống ổn định, nếu đa thức đặc trưng là :

s3+ (4+k) s2+ 6s + 12 = 0 ĐS : k>2

VI. 11 có bao nhiêu nghiệm có phần thực dương, trong số các đa thức sau đây :

  1. s3 + s2 - s + 1
  2. s4 +2s3 + 2s2 + 2s + 1
  3. s3 + s2 – 2
  4. s4 - s2 - 2s + 2
  5. s3 + s2 + s + 6 ĐS : a(2) , b(0) , c(1) , d(2) , e(2)

VI. 12 Với giá trị dương nào của k làm cho đa thức :

s4 +8s3 + 24s2 + 32s + k = 0

Có các nghiệm với phần thực là zero? Đó là những nghiệm nào?

ĐS : k = 80 , s = ± j2

VI. 13 Hệ thống có phương trình đặc trưung sau đây thì ổnh định?

s4 +3s3 + 6s2 + 9s + 12 = 0

VI. 14 Xác định hàm chuyễn và tìm điều kiện để mạch sau đây ổn định.

ĐS : v 0 ( s ) v i ( s ) = ( s + 1 R 1 C 1 ) ( s + 1 R 2 C 2 ) s 2 + ( 1 R 2 C 2 + 1 R 2 C 1 + 1 R 1 C 1 ) s + 1 R 1 C 1 R 2 C 2 size 12{ { {v rSub { size 8{0} } \( s \) } over {v rSub { size 8{i} } \( s \) } } = { { \( s+ { {1} over {R rSub { size 8{1} } C rSub { size 8{1} } } } \) \( s+ { {1} over {R rSub { size 8{2} } C rSub { size 8{2} } } } \) } over {s rSup { size 8{2} } + \( { {1} over {R rSub { size 8{2} } C rSub { size 8{2} } } } + { {1} over {R rSub { size 8{2} } C rSub { size 8{1} } } } + { {1} over {R rSub { size 8{1} } C rSub { size 8{1} } } } \) s+ { {1} over {R rSub { size 8{1} } C rSub { size 8{1} } R rSub { size 8{2} } C rSub { size 8{2} } } } } } } {}

VI. 15 Xác định hàm chuyễn và tìm điều kiện để mạch sau đây ổn định.

ĐS : v 0 ( s ) v i ( s ) = 1 R 1 R 2 C 1 C 2 s 2 + ( R 1 C 1 + R 1 C 2 + R 2 C 2 ) s + 1 size 12{ { {v rSub { size 8{0} } \( s \) } over {v rSub { size 8{i} } \( s \) } } = { {1} over {R rSub { size 8{1} } R rSub { size 8{2} } C rSub { size 8{1} } C rSub { size 8{2} } s rSup { size 8{2} } + \( R rSub { size 8{1} } C rSub { size 8{1} } +R rSub { size 8{1} } C rSub { size 8{2} } +R rSub { size 8{2} } C rSub { size 8{2} } \) s+1} } } {}

(Dùng bảng Routh)

VI.16 Xác định những điều kiện Hurwith cho sự ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng cấp 4. Giả sử a4>0

a4 s4 + a3 s3 + a2 s2 + a1 s + a0 = 0

ĐS : a3>0 , a3 a2­ – a4 a1­>0 , a3 a2­a1 – a0 a3­2 – a4 a1­2>0

a3 (a2­a1a0 – a3 a0­2 ) – a0 a1­2 a4>0

*****************

Questions & Answers

Application of nanotechnology in medicine
what is variations in raman spectra for nanomaterials
Jyoti Reply
I only see partial conversation and what's the question here!
Crow Reply
what about nanotechnology for water purification
RAW Reply
please someone correct me if I'm wrong but I think one can use nanoparticles, specially silver nanoparticles for water treatment.
Damian
yes that's correct
Professor
I think
Professor
what is the stm
Brian Reply
is there industrial application of fullrenes. What is the method to prepare fullrene on large scale.?
Rafiq
industrial application...? mmm I think on the medical side as drug carrier, but you should go deeper on your research, I may be wrong
Damian
How we are making nano material?
LITNING Reply
what is a peer
LITNING Reply
What is meant by 'nano scale'?
LITNING Reply
What is STMs full form?
LITNING
scanning tunneling microscope
Sahil
how nano science is used for hydrophobicity
Santosh
Do u think that Graphene and Fullrene fiber can be used to make Air Plane body structure the lightest and strongest. Rafiq
Rafiq
what is differents between GO and RGO?
Mahi
what is simplest way to understand the applications of nano robots used to detect the cancer affected cell of human body.? How this robot is carried to required site of body cell.? what will be the carrier material and how can be detected that correct delivery of drug is done Rafiq
Rafiq
if virus is killing to make ARTIFICIAL DNA OF GRAPHENE FOR KILLED THE VIRUS .THIS IS OUR ASSUMPTION
Anam
analytical skills graphene is prepared to kill any type viruses .
Anam
what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
anyone know any internet site where one can find nanotechnology papers?
Damian Reply
research.net
kanaga
sciencedirect big data base
Ernesto
Introduction about quantum dots in nanotechnology
Praveena Reply
hi
Loga
what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Cơ sở tự động học. OpenStax CNX. Jul 29, 2009 Download for free at http://cnx.org/content/col10756/1.1
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Cơ sở tự động học' conversation and receive update notifications?

Ask