<< Chapter < Page Chapter >> Page >
Се воведува мешан производ на три вектори и негови својства. Triple scalar product and properties

Мешан производ на три вектори

Мешаниот производ на три вектора е скалар кој се дефинира со следната дефини­ција:

Дефиниција. Мешан производ на векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е скалар кој се означува со ( a , b , c ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} и се пресметува со

( a , b , c ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} = a ( b × c ) size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} = ( a × b ) c size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) cdot {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} .

Својства на мешаниот производ

Мешаниот производ ги има следниве својства:

  1. Ако векторите се дадени со своите координати

a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = { x 1 , y 1 , z 1 }, b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = { x 2 , y 2 , z 2 }, c size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = { x 3 , y 3 , z 3 },

тогаш мешаниот производ се пресметува преку троредната детерминанта

( a , b , c ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 size 12{ lline matrix { x rSub { size 8{1} } {} # y rSub { size 8{1} } {} # z rSub { size 8{1} } {} ##x rSub { size 8{2} } {} # y rSub { size 8{2} } {} # z rSub { size 8{2} } {} ## x rSub { size 8{3} } {} # y rSub { size 8{3} } {} # z rSub { size 8{3} } {}} rline } {} .

Бидејќи мешаниот производ се пресметува преку детерминанта од трет ред, неговите својства ќе следуваат од својствата на детерминатите.

Затоа:

2. Важи антикомутативниот закон т.е се менува знакот на мешаниот производ ако два множители си ги сменат местата и затоа

( a , b , c ) = ( a , c , b ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = - \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} ;

3. Важи дистрибутивниот закон

( a + b , c , d ) = ( a , c , d ) + ( b , c , d ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , {d} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , {d} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , {d} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} ;

4. Множење со скалар λ size 12{λ} {}

λ ( a , b , c ) = ( λ a , b , c ) = ( a , λ b , c ) = ( a , b , λc ) size 12{λ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,λ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {λc} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} ;

5. Ако било кои два од трите вектори во мешаниот производ се колинеарни (паралелни), тогаш ( a , b , c ) = 0 size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) =0} {} ;

6. Ако трите вектори се компланарни (лежат во иста рамнина), тогаш

( a , b , c ) = 0 size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) =0} {} ;

7. Геометриско толкување на мешаниот производ : апсолутната вредност од мешаниот производ е волумен на паралелопипед образуван од трите вектори со заеднички почеток, а секој вектор претставува раб на така образуваниот паралелопипед. Затоа волуменот на паралелопипед со рабови a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е

V паралелопипед = ( a , b , c ) size 12{V rSub { size 8{ ital "паралелопипед"} } = \lline \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) \lline } {} ;

8. Волуменот на тристрана пирамида образувана од векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е

V пирамида = 1 6 size 12{V rSub { size 8{ ital "пирамида"} } = { {1} over {6} } } {} ( a , b , c ) size 12{ \lline \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) \lline } {} ;

Пример 1

Дадени се векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {3, 2, 1}, b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {1, 1, 2} и c size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {1, 3, 5}. Да се пресмета:

  1. Волуменот на паралелопипедот образуван од овие вектори;

б) Плоштината на ѕидот образуван од векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} .

Решение

а) Се пресметува мешаниот производ

( a , b , c ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} = 3 2 1 1 1 2 1 3 5 = 9 + 3 + 4 1 6 18 = 9 size 12{ lline ` matrix { 3 {} # 2 {} # 1 {} ##1 {} # 1 {} # 2 {} ## 1 {} # 3 {} # 5{}} ` rline =9+3+4 - 1 - 6 - "18"= - 9} {} .

Волуменот на паралелопипедот е

V паралелопипед = ( a , b , c ) = 9 size 12{V rSub { size 8{ ital "паралелопипед"} } = \lline \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) \lline = \lline - 9 \lline } {} = 9.

б) Плоштината на паралелограмот меѓу векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се пресметува со

P паралелограм size 12{P rSub { size 8{ ital "паралелограм"} } } {} = | a × c size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} |.

Од векторскиот производ

a × c size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = i j k 3 2 1 1 3 5 = 10 i + j + 9 k 2 k 3 i 9 j = 7 i 8 j + 7 k size 12{ lline ` matrix { {i} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {j} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {k} cSup { size 8{ rightarrow } } {} ##3 {} # 2 {} # 1 {} ## 1 {} # 3 {} # 5{}} ` rline `="10" {i} cSup { size 8{ rightarrow } } + {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +9 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } - 2 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } - 3 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - 9 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } =7 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - 8 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +7 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ,

следува дека

P паралелограм size 12{P rSub { size 8{ ital "паралелограм"} } } {} = | a × c size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} | = | { 7, 8,7 } size 12{ lbrace 7, - 8,7 rbrace } {} | = 7 2 + ( 8 ) 2 + 7 2 = 162 . size 12{ sqrt {7 rSup { size 8{2} } + \( - 8 \) rSup { size 8{2} } +7 rSup { size 8{2} } } = sqrt {"162"} "." } {}

Пример 2

Да се покаже дека ( a + 3 b + c , 2 a b , a + c ) = 6 ( a , b , c ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = - 6 \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} .

Решение

За решавање на оваа задача, се користат својствата 2, 3, 4 и 5 за мешан производ. Затоа најпрво се применува дистрибутивниот закон (својство 3) за првиот множител,

( a + 3 b + c , 2 a b , a + c ) = ( a , 2 a b , a + c ) + ( 3 b , 2 a b , a + c ) + + ( c , 2 a b , a + c ) = alignl { stack { size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +{}} {} #+ \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} } } {}

па за вториот и за третиот множител:

= ( a , 2 a , a + c ) + ( a , b , a + c ) + ( 3 b , 2 a , a + c ) + + ( 3 b , b , a + c ) + ( c , 2 a , a + c ) + ( c , b , a + c ) = alignl { stack { size 12{ {}= \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +{}} {} #+ \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} } } {}
= ( a , 2 a , a ) + ( a , 2 a , c ) + ( a , b , a ) + ( a , b , c ) + + ( 3 b , 2 a , a ) + ( 3 b , 2 a , c ) + ( 3 b , b , a ) + ( 3 b , b , c ) + alignl { stack { size 12{ {}= \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +{}} {} #+ \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +{} {} } } {}
+ ( c , 2 a , a ) + ( c , 2 a , c ) + ( c , b , a ) + ( c , b , c ) = size 12{+ \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={}} {}

потоа се применува својтвото 5 и затоа сите мешани производи со два исти множители се нула, а потоа се применуваат и својствата 2 и 4

= ( a , b , c ) + ( 3 b , 2 a , c ) + ( c , b , a ) = ( a , b , c ) + 6 ( b , a , c ) ( c , b , a ) = ( a , b , c ) 6 ( a , b , c ) + ( a , b , c ) = 6 ( a , b , c ) , alignl { stack { size 12{ {}= \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={}} {} #= - \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +6 \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) - \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} # = - \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) - 6 \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} #= - 6 \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) , {} } } {}

што и требаше да се докаже. ◄

Questions & Answers

Application of nanotechnology in medicine
what is variations in raman spectra for nanomaterials
Jyoti Reply
I only see partial conversation and what's the question here!
Crow Reply
what about nanotechnology for water purification
RAW Reply
please someone correct me if I'm wrong but I think one can use nanoparticles, specially silver nanoparticles for water treatment.
Damian
yes that's correct
Professor
I think
Professor
what is the stm
Brian Reply
is there industrial application of fullrenes. What is the method to prepare fullrene on large scale.?
Rafiq
industrial application...? mmm I think on the medical side as drug carrier, but you should go deeper on your research, I may be wrong
Damian
How we are making nano material?
LITNING Reply
what is a peer
LITNING Reply
What is meant by 'nano scale'?
LITNING Reply
What is STMs full form?
LITNING
scanning tunneling microscope
Sahil
how nano science is used for hydrophobicity
Santosh
Do u think that Graphene and Fullrene fiber can be used to make Air Plane body structure the lightest and strongest. Rafiq
Rafiq
what is differents between GO and RGO?
Mahi
what is simplest way to understand the applications of nano robots used to detect the cancer affected cell of human body.? How this robot is carried to required site of body cell.? what will be the carrier material and how can be detected that correct delivery of drug is done Rafiq
Rafiq
if virus is killing to make ARTIFICIAL DNA OF GRAPHENE FOR KILLED THE VIRUS .THIS IS OUR ASSUMPTION
Anam
analytical skills graphene is prepared to kill any type viruses .
Anam
what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
anyone know any internet site where one can find nanotechnology papers?
Damian Reply
research.net
kanaga
sciencedirect big data base
Ernesto
Introduction about quantum dots in nanotechnology
Praveena Reply
hi
Loga
what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Векторска алгебра. OpenStax CNX. Feb 14, 2013 Download for free at http://cnx.org/content/col11490/1.1
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Векторска алгебра' conversation and receive update notifications?

Ask