<< Chapter < Page Chapter >> Page >
Се воведува мешан производ на три вектори и негови својства. Triple scalar product and properties

Мешан производ на три вектори

Мешаниот производ на три вектора е скалар кој се дефинира со следната дефини­ција:

Дефиниција. Мешан производ на векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е скалар кој се означува со ( a , b , c ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} и се пресметува со

( a , b , c ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} = a ( b × c ) size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} = ( a × b ) c size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) cdot {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} .

Својства на мешаниот производ

Мешаниот производ ги има следниве својства:

  1. Ако векторите се дадени со своите координати

a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = { x 1 , y 1 , z 1 }, b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = { x 2 , y 2 , z 2 }, c size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = { x 3 , y 3 , z 3 },

тогаш мешаниот производ се пресметува преку троредната детерминанта

( a , b , c ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 size 12{ lline matrix { x rSub { size 8{1} } {} # y rSub { size 8{1} } {} # z rSub { size 8{1} } {} ##x rSub { size 8{2} } {} # y rSub { size 8{2} } {} # z rSub { size 8{2} } {} ## x rSub { size 8{3} } {} # y rSub { size 8{3} } {} # z rSub { size 8{3} } {}} rline } {} .

Бидејќи мешаниот производ се пресметува преку детерминанта од трет ред, неговите својства ќе следуваат од својствата на детерминатите.

Затоа:

2. Важи антикомутативниот закон т.е се менува знакот на мешаниот производ ако два множители си ги сменат местата и затоа

( a , b , c ) = ( a , c , b ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = - \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} ;

3. Важи дистрибутивниот закон

( a + b , c , d ) = ( a , c , d ) + ( b , c , d ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , {d} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , {d} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , {d} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} ;

4. Множење со скалар λ size 12{λ} {}

λ ( a , b , c ) = ( λ a , b , c ) = ( a , λ b , c ) = ( a , b , λc ) size 12{λ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,λ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {λc} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} ;

5. Ако било кои два од трите вектори во мешаниот производ се колинеарни (паралелни), тогаш ( a , b , c ) = 0 size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) =0} {} ;

6. Ако трите вектори се компланарни (лежат во иста рамнина), тогаш

( a , b , c ) = 0 size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) =0} {} ;

7. Геометриско толкување на мешаниот производ : апсолутната вредност од мешаниот производ е волумен на паралелопипед образуван од трите вектори со заеднички почеток, а секој вектор претставува раб на така образуваниот паралелопипед. Затоа волуменот на паралелопипед со рабови a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е

V паралелопипед = ( a , b , c ) size 12{V rSub { size 8{ ital "паралелопипед"} } = \lline \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) \lline } {} ;

8. Волуменот на тристрана пирамида образувана од векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е

V пирамида = 1 6 size 12{V rSub { size 8{ ital "пирамида"} } = { {1} over {6} } } {} ( a , b , c ) size 12{ \lline \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) \lline } {} ;

Пример 1

Дадени се векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {3, 2, 1}, b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {1, 1, 2} и c size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {1, 3, 5}. Да се пресмета:

  1. Волуменот на паралелопипедот образуван од овие вектори;

б) Плоштината на ѕидот образуван од векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} .

Решение

а) Се пресметува мешаниот производ

( a , b , c ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} = 3 2 1 1 1 2 1 3 5 = 9 + 3 + 4 1 6 18 = 9 size 12{ lline ` matrix { 3 {} # 2 {} # 1 {} ##1 {} # 1 {} # 2 {} ## 1 {} # 3 {} # 5{}} ` rline =9+3+4 - 1 - 6 - "18"= - 9} {} .

Волуменот на паралелопипедот е

V паралелопипед = ( a , b , c ) = 9 size 12{V rSub { size 8{ ital "паралелопипед"} } = \lline \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) \lline = \lline - 9 \lline } {} = 9.

б) Плоштината на паралелограмот меѓу векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се пресметува со

P паралелограм size 12{P rSub { size 8{ ital "паралелограм"} } } {} = | a × c size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} |.

Од векторскиот производ

a × c size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = i j k 3 2 1 1 3 5 = 10 i + j + 9 k 2 k 3 i 9 j = 7 i 8 j + 7 k size 12{ lline ` matrix { {i} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {j} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {k} cSup { size 8{ rightarrow } } {} ##3 {} # 2 {} # 1 {} ## 1 {} # 3 {} # 5{}} ` rline `="10" {i} cSup { size 8{ rightarrow } } + {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +9 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } - 2 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } - 3 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - 9 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } =7 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - 8 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +7 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ,

следува дека

P паралелограм size 12{P rSub { size 8{ ital "паралелограм"} } } {} = | a × c size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} | = | { 7, 8,7 } size 12{ lbrace 7, - 8,7 rbrace } {} | = 7 2 + ( 8 ) 2 + 7 2 = 162 . size 12{ sqrt {7 rSup { size 8{2} } + \( - 8 \) rSup { size 8{2} } +7 rSup { size 8{2} } } = sqrt {"162"} "." } {}

Пример 2

Да се покаже дека ( a + 3 b + c , 2 a b , a + c ) = 6 ( a , b , c ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = - 6 \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} .

Решение

За решавање на оваа задача, се користат својствата 2, 3, 4 и 5 за мешан производ. Затоа најпрво се применува дистрибутивниот закон (својство 3) за првиот множител,

( a + 3 b + c , 2 a b , a + c ) = ( a , 2 a b , a + c ) + ( 3 b , 2 a b , a + c ) + + ( c , 2 a b , a + c ) = alignl { stack { size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +{}} {} #+ \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} } } {}

па за вториот и за третиот множител:

= ( a , 2 a , a + c ) + ( a , b , a + c ) + ( 3 b , 2 a , a + c ) + + ( 3 b , b , a + c ) + ( c , 2 a , a + c ) + ( c , b , a + c ) = alignl { stack { size 12{ {}= \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +{}} {} #+ \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} } } {}
= ( a , 2 a , a ) + ( a , 2 a , c ) + ( a , b , a ) + ( a , b , c ) + + ( 3 b , 2 a , a ) + ( 3 b , 2 a , c ) + ( 3 b , b , a ) + ( 3 b , b , c ) + alignl { stack { size 12{ {}= \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +{}} {} #+ \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +{} {} } } {}
+ ( c , 2 a , a ) + ( c , 2 a , c ) + ( c , b , a ) + ( c , b , c ) = size 12{+ \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={}} {}

потоа се применува својтвото 5 и затоа сите мешани производи со два исти множители се нула, а потоа се применуваат и својствата 2 и 4

= ( a , b , c ) + ( 3 b , 2 a , c ) + ( c , b , a ) = ( a , b , c ) + 6 ( b , a , c ) ( c , b , a ) = ( a , b , c ) 6 ( a , b , c ) + ( a , b , c ) = 6 ( a , b , c ) , alignl { stack { size 12{ {}= \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={}} {} #= - \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +6 \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) - \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} # = - \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) - 6 \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} #= - 6 \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) , {} } } {}

што и требаше да се докаже. ◄

Questions & Answers

Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
anyone know any internet site where one can find nanotechnology papers?
Damian Reply
research.net
kanaga
sciencedirect big data base
Ernesto
Introduction about quantum dots in nanotechnology
Praveena Reply
what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
how to know photocatalytic properties of tio2 nanoparticles...what to do now
Akash Reply
it is a goid question and i want to know the answer as well
Maciej
characteristics of micro business
Abigail
for teaching engĺish at school how nano technology help us
Anassong
Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
there is no specific books for beginners but there is book called principle of nanotechnology
NANO
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
fullerene is a bucky ball aka Carbon 60 molecule. It was name by the architect Fuller. He design the geodesic dome. it resembles a soccer ball.
Tarell
what is the actual application of fullerenes nowadays?
Damian
That is a great question Damian. best way to answer that question is to Google it. there are hundreds of applications for buck minister fullerenes, from medical to aerospace. you can also find plenty of research papers that will give you great detail on the potential applications of fullerenes.
Tarell
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
Mostly, they use nano carbon for electronics and for materials to be strengthened.
Virgil
is Bucky paper clear?
CYNTHIA
carbon nanotubes has various application in fuel cells membrane, current research on cancer drug,and in electronics MEMS and NEMS etc
NANO
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
Do you know which machine is used to that process?
s.
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Векторска алгебра. OpenStax CNX. Feb 14, 2013 Download for free at http://cnx.org/content/col11490/1.1
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Векторска алгебра' conversation and receive update notifications?

Ask