<< Chapter < Page Chapter >> Page >
Се дефинира скаларан производ на два вектора и неговите својства. Definition of a scalar product and properties

Скаларен производ на два вектора

Најпрво ќе се дефинира поимот за агол меѓу два вектора:

Дефиниција. Под агол φ = ( a , b ) size 12{∠ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} меѓу ненултите вектори a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се подразбира аголот 0 ϕ π size 12{0<= ϕ<= π} {} кој меѓусебно го зафаќаат векторите доведени до заеднички почеток.

Сега следи дефиниција за скаларен производ:

Дефиниција. Скаларен производ на два вектора a 0 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } }<>{0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b 0 size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } }<>{0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е скаларната величина дефинирана со

a b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = a b cos ( a , b ) size 12{ \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline cdot \lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline "cos"∠ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} .

Очигледно е дека ако еден од множителите во скаларниот производ е нула вектор, тогаш и скаларниот производ е 0.

Својства на скаларниот производ

Од самата дефиниција за скаларен производ следуваат следните негови својства:

1. a b = b a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {b} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (комутативен закон);

2. a ( b + c ) = a b + a c size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (дистрибутивен закон);

3. λ ( a b ) = ( λ a ) b = a ( λ b ) size 12{λ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot \( λ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} (множење со скалар λ);

4. Ако векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се паралелни, тогаш

a b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline \lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } dlrarrow } {} a b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = ± a b size 12{ +- \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline cdot \lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline } {} ;

5. a a = ( a ) 2 = a 2 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) rSup { size 8{2} } = \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline rSup { size 8{2} } } {} , односно a = a a size 12{ \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline = sqrt { {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } } {} ;

6. Ако двата ненулти вектори во скаларниот производ се взаемно нормални, тогаш

a b a b = 0 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ortho {b} cSup { size 8{ rightarrow } } dlrarrow {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } =0} {} ;

7. Скаларниот производ меѓу единичните вектори е:

i j size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 0, i k size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 0, j k size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 0,

i i size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {i} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 1, j j size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 1, k k size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 1.

Aко векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се зададени со своите координати

a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = { x 1 , y 1 , z 1 } и b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = { x 2 , y 2 , z 2 },

нивниот скаларен производ изразен преку координатите на векторите е:

a b = ( x 1 i + y 1 j + z 1 k ) ( x 2 i + y 2 j + z 2 k ) = size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = \( x rSub { size 8{1} } {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +y rSub { size 8{1} } {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +z rSub { size 8{1} } {k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) cdot \( x rSub { size 8{2} } {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +y rSub { size 8{2} } {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +z rSub { size 8{2} } {k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={}} {}

= x 1 x 2 ( i i ) + x 1 y 2 ( i j ) + x 1 z 2 ( i k ) + + y 1 x 2 ( j i ) + y 1 y 2 ( j j ) + y 1 z 2 ( j k ) + + z 1 x 2 ( k i ) + z 1 y 2 ( k j ) + z 1 z 2 ( k k ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 , alignl { stack { size 12{ {}=x rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \( {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +x rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \( {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {j} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +x rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \( {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot k \) +{}} {} #+y rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \( {j} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +y rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \( {j} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {j} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +y rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \( {j} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot k \) +{} {} # +z rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \( {k} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +z rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \( {k} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {j} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +z rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \( {k} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} #=x rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } +z rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } , {} } } {}

односно a b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 . size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } =x rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } +z rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } "." } {}

8. Аголот меѓу векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е

cos size 12{"cos"∠} {} ( a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ) = a b a b size 12{ { { {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } over { \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline \lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline } } } {} ,

или изразен преку координатите на векторите

cos size 12{"cos"∠} {} ( a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 size 12{ { {x rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } +z rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } } over { sqrt {x rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } +y rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } +z rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } } sqrt {x rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } +y rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } +z rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } } } } } {} .

Од дефиницијата за скаларен производ на два вектора следува дека знакот на скаларниот производ е определен од аголот што го зафакаат двата вектора и тоа:

size 12{∠} {} ( a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ) е остар агол ⇔ a b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} >0;

size 12{∠} {} ( a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ) е тап агол ⇔ a b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} <0;

size 12{∠} {} ( a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ) = π / 2 size 12{π/2} {} a b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 0.

9. ( Ортогонална проекција на вектор ) Ако векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се доведат до заеднички почеток, секој од нив може ортогонално (нормално) да се проектира на другиот вектор со спуштање на нормала од крајот на едниот вектор кон правецот да другиот. Ортогоналната проекција на векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} врз векторот b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е вектор кој е во правец на векторот b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и се означува со pr b a size 12{"pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {} . Преку тригонометриски релации (Сл. 1.7.) од скаларните вредности се добива

pr b a a = cos ( a , b ) size 12{ { { lline "pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } rline } over { size 12{ \lline {a} cSup { rightarrow } size 12{ \lline }} } } size 12{ {}="cos"∠ \( {a} cSup { rightarrow } } size 12{, {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) }} {} ,

од каде

pr b a = a cos ( a , b ) . size 12{ \lline "pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } size 12{ \lline = \lline {a} cSup { rightarrow } } size 12{ \lline "cos"∠ \( {a} cSup { rightarrow } } size 12{, {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) "." }} {}

Слика 1.7. Ортогонална проекција на вектор

Бидејќи a b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = | a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} || b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} | cos size 12{∠} {} ( a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ) = | b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} | | pr b a size 12{"pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {} |,

проекцијата на векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} врз векторот b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е вектор во правец на b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и изразен како вектор е

{} pr b a size 12{"pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {} = a b b b 0 size 12{ { { {a} cSup { rightarrow } cdot {b} cSup { rightarrow } } over {` \lline {b} cSup { rightarrow } \lline } } {b rSub { size 9{0}} } cSup { rightarrow } } {} ,

кеде b 0 size 12{ {b rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е единечниот вектор на b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , или од b 0 = b b size 12{ {b rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = { { {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } over { \lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline } } } {} следува

{} pr b a size 12{"pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {} = a b b 2 b size 12{ { { {a} cSup { rightarrow } cdot {b} cSup { rightarrow } } over {` \lline {b} cSup { rightarrow } \lline rSup { size 9{2}} } } {b} cSup { rightarrow } } {} .

Ортогоналната проекција на вектор врз вектор има примена во задачи во кои се бара даден вектор да се претстави како сума од два взаемно нормални вектори од кои едниот е со зададен правец. Така на пример, векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} може да се претстави како сума од два взаемно нормални вектори од кои едниот е во правец на векторот b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , тоа е векторот pr b a size 12{"pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {} , а вториот е неговиот нормален вектор a -pr b a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } "-pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {} .

Пример 1.

Да се пресмета pr c ( 3 a 2 b ) size 12{"pr" rSub { size 8{ {c} cSup { size 6{ rightarrow } } } } \( 3 {a} cSup { rightarrow } size 12{ - 2 {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) }} {} , ако a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {-2, 1, 1}, b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {1, 5, 0} и

c size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {4, 4, -2}.

Решение.

Векторот 3 a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} - 2 b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 3{-2, 1, 1} - 2{1, 5, 0} = {-8, -7, 3}.

Проекцијата pr c ( 3 a 2 b ) size 12{"pr" rSub { size 8{ {c} cSup { size 6{ rightarrow } } } } \( 3 {a} cSup { rightarrow } size 12{ - 2 {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) }} {} се пресметува со

pr c ( 3 a 2 b ) size 12{"pr" rSub { size 8{ {c} cSup { size 6{ rightarrow } } } } \( 3 {a} cSup { rightarrow } size 12{ - 2 {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) }} {} = 3 a 2 b c c 2 c size 12{ { { left (3 {a} cSup { rightarrow } - 2 {b} cSup { rightarrow } right ) cdot {c} cSup { rightarrow } } over { \lline {c} cSup { rightarrow } \lline rSup { size 9{2}} } } {c} cSup { rightarrow } } {} .

Бидејќи (3 a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} - 2 b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} )∙ c size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {-8, -7, 3}∙{4, 4, -2} = (-8)4 + (-7)4 + 3(-2) = -66 ,

c = 4 2 + 4 2 + ( 2 ) 2 = 6 size 12{ \lline {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline `= sqrt {4 rSup { size 8{2} } +4 rSup { size 8{2} } + \( - 2 \) rSup { size 8{2} } } =6} {} ,

pr c ( 3 a 2 b ) = 66 6 2 c = 11 6 size 12{"pr" rSub { size 8{ {c} cSup { size 6{ rightarrow } } } } \( 3 {a} cSup { rightarrow } size 12{ - 2 {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) = { { - "66"} over {6 rSup {2} } } { size 12{c} } cSup { rightarrow } } size 12{ {}= { { - "11"} over {6} } }} {} {4, 4, -2} = { 22 3 , 22 3 , 11 3 size 12{ { { - "22"} over {3} } ,` { { - "22"} over {3} } ,` { { - "11"} over {3} } } {} }. ◄

Пример 2.

Покажи дека трите вектори a = 3 i j + 2 k size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =3 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b = i + j k size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } + {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c = i 5 j 4 k size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - 5 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - 4 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се взаемно нормални вектори. Најди три скалари α size 12{α} {} , β size 12{β} {} и γ size 12{γ} {} такви што α a + β b + γ c = i j + k size 12{α {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +β {b} cSup { size 8{ rightarrow } } +γ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} .

Решение.

Согласно својството 6, ако скаларниот производ на два ненулти вектори е нула, тогаш векторите се взаемно нормални. Трите зададени вектори се:

a = 3 i j + 2 k = { 3, 1,2 } size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =3 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 3, - 1,2 rbrace } {} ,

b = i + j k = { 1,1, 1 } size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } + {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 1,1, - 1 rbrace } {} ,

c = i 5 j 4 k = { 1, 5, 4 } size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - 5 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - 4 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 1, - 5, - 4 rbrace } {} .

Се пресметуваат нивните меѓусебни скаларни производи:

a b = { 3, 1,2 } { 1,1, 1 } = 3 1 2 = 0 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 3, - 1,2 rbrace cdot lbrace 1,1, - 1 rbrace =3 - 1 - 2=0} {} ,

a c = { 3, 1,2 } { 1, 5, 4 } = 3 + 5 8 = 0 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 3, - 1,2 rbrace cdot lbrace 1, - 5, - 4 rbrace =3+5 - 8=0} {} ,

b c = { 1,1, 1 } { 1, 5, 4 } = 1 5 + 4 = 0 size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 1,1, - 1 rbrace cdot lbrace 1, - 5, - 4 rbrace =1 - 5+4=0} {} .

Видејќи сите меѓусебни скаларни производи се нула, следува дек тие се взаемно нормални вектори, т.е. a b c size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ortho {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ortho {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} . Штом векторите a , b , c size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се взаемно нормални, тие се линеарно независни (ниту еден од овие три вектори не може да се претстави како линерна комбинација од останатите два вектора) и секој вектор од просторот може да се претстави како линерна комбинација од овие три вектори. Во условот на овој пример се бара векторот i j + k size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} да се претстави како линерна комбинација од векторите a , b , c size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , односно се бара да се најдат скалрите α size 12{α} {} , β size 12{β} {} и γ size 12{γ} {} така што

α a + β b + γ c = i j + k size 12{α {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +β {b} cSup { size 8{ rightarrow } } +γ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} .

Ова векторска равенка се запишува преку координатите на векторите

α { 3, 1,2 } + β { 1,1, 1 } + γ { 1, 5, 4 } = { 1, 1,1 } size 12{α lbrace 3, - 1,2 rbrace +β lbrace 1,1, - 1 rbrace +γ lbrace 1, - 5, - 4 rbrace = lbrace 1, - 1,1 rbrace } {} ,

односно

{ + β + γ , α + β , β } = { 1, 1,1 } size 12{ lbrace 3α+β+γ, - α+β - 5γ,2α - β - 4γ rbrace = lbrace 1, - 1,1 rbrace } {}

и не доведува до следниот систем равенки

+ β + γ = 1 α + β = 1 β = 1 . alignl { stack { size 12{3α+β+γ=1} {} #size 12{ - α+β - 5γ= - 1} {} # size 12{2α - β - 4γ=1 "." } {}} } {}

За решавање на овој линеарен ситем од 3 равенки со 3 непознати најпрво ги наоѓаме неговите 4 детерминанти:

D = 3 1 1 1 1 5 2 1 4 = 42 0 size 12{D= lline matrix { 3 {} # 1 {} # 1 {} ##- 1 {} # 1 {} # - 5 {} ## 2 {} # - 1 {} # - 4{}} rline = - "42"<>0} {} ,

D α = 1 1 1 1 1 5 1 1 4 = 18 size 12{D rSub { size 8{α} } = lline matrix { 1 {} # 1 {} # 1 {} ##- 1 {} # 1 {} # - 5 {} ## 1 {} # - 1 {} # - 4{}} rline = - "18"} {} ,

D β = 3 1 1 1 1 5 2 1 4 = 14 size 12{D rSub { size 8{β} } = lline matrix { 3 {} # 1 {} # 1 {} ##- 1 {} # - 1 {} # - 5 {} ## 2 {} # 1 {} # - 4{}} rline ="14"} {} ,

D γ = 3 1 1 1 1 1 2 1 1 = 2 size 12{D rSub { size 8{γ} } = lline matrix { 3 {} # 1 {} # 1 {} ##- 1 {} # 1 {} # - 1 {} ## 2 {} # - 1 {} # 1{}} rline = - 2} {} .

Ги определуваме непознатите скалари преку:

α = D α D = 18 42 = 3 7 , β = D β D = 14 42 = 1 3 , γ = D γ D = 2 42 = 1 21 . alignl { stack { size 12{α= { {D rSub { size 8{α} } } over {D} } = { { - "18"} over { - "42"} } = { {3} over {7} } ,} {} #β= { {D rSub { size 8{β} } } over {D} } = { {"14"} over { - "42"} } = - { {1} over {3} } , {} # γ= { {D rSub { size 8{γ} } } over {D} } = { { - 2} over { - "42"} } = { {1} over {"21"} } "." {}} } {}

Тоа значи дека векторот i j + k size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се претставува како линерна комбинација од векторите a , b , c size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} со равенката

3 7 a 1 3 b + 1 21 c = i j + k . size 12{ { {3} over {7} } {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - { {1} over {3} } {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + { {1} over {"21"} } {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } "." } {}

Questions & Answers

Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
anyone know any internet site where one can find nanotechnology papers?
Damian Reply
research.net
kanaga
sciencedirect big data base
Ernesto
Introduction about quantum dots in nanotechnology
Praveena Reply
what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
how to know photocatalytic properties of tio2 nanoparticles...what to do now
Akash Reply
it is a goid question and i want to know the answer as well
Maciej
characteristics of micro business
Abigail
for teaching engĺish at school how nano technology help us
Anassong
Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
there is no specific books for beginners but there is book called principle of nanotechnology
NANO
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
fullerene is a bucky ball aka Carbon 60 molecule. It was name by the architect Fuller. He design the geodesic dome. it resembles a soccer ball.
Tarell
what is the actual application of fullerenes nowadays?
Damian
That is a great question Damian. best way to answer that question is to Google it. there are hundreds of applications for buck minister fullerenes, from medical to aerospace. you can also find plenty of research papers that will give you great detail on the potential applications of fullerenes.
Tarell
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
Mostly, they use nano carbon for electronics and for materials to be strengthened.
Virgil
is Bucky paper clear?
CYNTHIA
carbon nanotubes has various application in fuel cells membrane, current research on cancer drug,and in electronics MEMS and NEMS etc
NANO
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
Do you know which machine is used to that process?
s.
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Векторска алгебра. OpenStax CNX. Mar 11, 2009 Download for free at http://cnx.org/content/col10672/1.3
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Векторска алгебра' conversation and receive update notifications?

Ask