1. Home
  2. Векторска алгебра
  3. Векторска алгебра
  4. Скаларен производ на два вектора

0.4 Скаларен производ на два вектора

<< Chapter < Page
  Векторска алгебра   Page 1 / 1
Chapter >> Page >
Се дефинира скаларан производ на два вектора и неговите својства. Definition of a scalar product and properties

Скаларен производ на два вектора

Најпрво ќе се дефинира поимот за агол меѓу два вектора:

Дефиниција. Под агол φ = ∠ ( a → , b → ) size 12{∠ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} меѓу ненултите вектори a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се подразбира аголот 0 ≤ ϕ ≤ π size 12{0<= ϕ<= π} {} кој меѓусебно го зафаќаат векторите доведени до заеднички почеток.

Сега следи дефиниција за скаларен производ:

Дефиниција. Скаларен производ на два вектора a → ≠ 0 → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } }<>{0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b → ≠ 0 → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } }<>{0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е скаларната величина дефинирана со

a → ⋅ b → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = ∣ a → ∣ ⋅ ∣ b → ∣ cos ∠ ( a → , b → ) size 12{ \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline cdot \lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline "cos"∠ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} .

Очигледно е дека ако еден од множителите во скаларниот производ е нула вектор, тогаш и скаларниот производ е 0.

Својства на скаларниот производ

Од самата дефиниција за скаларен производ следуваат следните негови својства:

1. a → ⋅ b → = b → ⋅ a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {b} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (комутативен закон);

2. a → ⋅ ( b → + c → ) = a → ⋅ b → + a → ⋅ c → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (дистрибутивен закон);

3. λ ( a → ⋅ b → ) = ( λ a → ) ⋅ b → = a → ⋅ ( λ b → ) size 12{λ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot \( λ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} (множење со скалар λ);

4. Ако векторите a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се паралелни, тогаш

a → ∣ ∣ b → ⇔ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline \lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } dlrarrow } {} a → ⋅ b → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = ± ∣ a → ∣ ⋅ ∣ b → ∣ size 12{ +- \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline cdot \lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline } {} ;

5. a → ⋅ a → = ( a → ) 2 = ∣ a → ∣ 2 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) rSup { size 8{2} } = \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline rSup { size 8{2} } } {} , односно ∣ a → ∣ = a → ⋅ a → size 12{ \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline = sqrt { {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } } {} ;

6. Ако двата ненулти вектори во скаларниот производ се взаемно нормални, тогаш

a → ⊥ b → ⇔ a → ⋅ b → = 0 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ortho {b} cSup { size 8{ rightarrow } } dlrarrow {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } =0} {} ;

7. Скаларниот производ меѓу единичните вектори е:

i → ⋅ j → size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 0, i → ⋅ k → size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 0, j → ⋅ k → size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 0,

i → ⋅ i → size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {i} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 1, j → ⋅ j → size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 1, k → ⋅ k → size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 1.

Aко векторите a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се зададени со своите координати

a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = { x 1 , y 1 , z 1 } и b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = { x 2 , y 2 , z 2 },

нивниот скаларен производ изразен преку координатите на векторите е:

a → ⋅ b → = ( x 1 i → + y 1 j → + z 1 k → ) ⋅ ( x 2 i → + y 2 j → + z 2 k → ) = size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = \( x rSub { size 8{1} } {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +y rSub { size 8{1} } {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +z rSub { size 8{1} } {k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) cdot \( x rSub { size 8{2} } {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +y rSub { size 8{2} } {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +z rSub { size 8{2} } {k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={}} {}

= x 1 x 2 ( i → ⋅ i → ) + x 1 y 2 ( i → ⋅ j → ) + x 1 z 2 ( i → ⋅ k ) + + y 1 x 2 ( j → ⋅ i → ) + y 1 y 2 ( j → ⋅ j → ) + y 1 z 2 ( j → ⋅ k ) + + z 1 x 2 ( k → ⋅ i → ) + z 1 y 2 ( k → ⋅ j → ) + z 1 z 2 ( k → ⋅ k → ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 , alignl { stack { size 12{ {}=x rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \( {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +x rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \( {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {j} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +x rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \( {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot k \) +{}} {} #+y rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \( {j} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +y rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \( {j} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {j} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +y rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \( {j} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot k \) +{} {} # +z rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \( {k} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +z rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \( {k} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {j} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +z rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \( {k} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} #=x rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } +z rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } , {} } } {}

односно a → ⋅ b → = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 . size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } =x rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } +z rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } "." } {}

8. Аголот меѓу векторите a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е

cos ∠ size 12{"cos"∠} {} ( a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ) = a → ⋅ b → ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ size 12{ { { {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } over { \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline \lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline } } } {} ,

или изразен преку координатите на векторите

cos ∠ size 12{"cos"∠} {} ( a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 size 12{ { {x rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } +z rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } } over { sqrt {x rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } +y rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } +z rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } } sqrt {x rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } +y rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } +z rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } } } } } {} .

Од дефиницијата за скаларен производ на два вектора следува дека знакот на скаларниот производ е определен од аголот што го зафакаат двата вектора и тоа:

∠ size 12{∠} {} ( a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ) е остар агол ⇔ a → ⋅ b → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} >0;

∠ size 12{∠} {} ( a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ) е тап агол ⇔ a → ⋅ b → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} <0;

∠ size 12{∠} {} ( a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ) = π / 2 size 12{π/2} {} ⇔ a → ⋅ b → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 0.

9. ( Ортогонална проекција на вектор ) Ако векторите a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се доведат до заеднички почеток, секој од нив може ортогонално (нормално) да се проектира на другиот вектор со спуштање на нормала од крајот на едниот вектор кон правецот да другиот. Ортогоналната проекција на векторот a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} врз векторот b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е вектор кој е во правец на векторот b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и се означува со pr b → a → size 12{"pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {} . Преку тригонометриски релации (Сл. 1.7.) од скаларните вредности се добива

∣ pr b → a → ∣ ∣ a → ∣ = cos ∠ ( a → , b → ) size 12{ { { lline "pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } rline } over { size 12{ \lline {a} cSup { rightarrow } size 12{ \lline }} } } size 12{ {}="cos"∠ \( {a} cSup { rightarrow } } size 12{, {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) }} {} ,

од каде

∣ pr b → a → ∣ = ∣ a → ∣ cos ∠ ( a → , b → ) . size 12{ \lline "pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } size 12{ \lline = \lline {a} cSup { rightarrow } } size 12{ \lline "cos"∠ \( {a} cSup { rightarrow } } size 12{, {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) "." }} {}

Слика 1.7. Ортогонална проекција на вектор

Бидејќи a → ⋅ b → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = | a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} || b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} | cos ∠ size 12{∠} {} ( a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ) = | b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} | | pr b → a → size 12{"pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {} |,

проекцијата на векторот a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} врз векторот b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е вектор во правец на b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и изразен како вектор е

{} pr b → a → size 12{"pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {} = a → ⋅ b → ∣ b → ∣ b 0 → size 12{ { { {a} cSup { rightarrow } cdot {b} cSup { rightarrow } } over {` \lline {b} cSup { rightarrow } \lline } } {b rSub { size 9{0}} } cSup { rightarrow } } {} ,

кеде b 0 → size 12{ {b rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е единечниот вектор на b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , или од b 0 → = b → ∣ b → ∣ size 12{ {b rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = { { {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } over { \lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline } } } {} следува

{} pr b → a → size 12{"pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {} = a → ⋅ b → ∣ b → ∣ 2 b → size 12{ { { {a} cSup { rightarrow } cdot {b} cSup { rightarrow } } over {` \lline {b} cSup { rightarrow } \lline rSup { size 9{2}} } } {b} cSup { rightarrow } } {} .

Ортогоналната проекција на вектор врз вектор има примена во задачи во кои се бара даден вектор да се претстави како сума од два взаемно нормални вектори од кои едниот е со зададен правец. Така на пример, векторот a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} може да се претстави како сума од два взаемно нормални вектори од кои едниот е во правец на векторот b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , тоа е векторот pr b → a → size 12{"pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {} , а вториот е неговиот нормален вектор a → -pr b → a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } "-pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {} .

Пример 1.

Да се пресмета pr c → ( 3 a → − 2 b → ) size 12{"pr" rSub { size 8{ {c} cSup { size 6{ rightarrow } } } } \( 3 {a} cSup { rightarrow } size 12{ - 2 {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) }} {} , ако a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {－2, 1, 1}, b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {1, 5, 0} и

c → size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {4, 4, －2}.

Решение.

Векторот 3 a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} － 2 b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 3{－2, 1, 1} － 2{1, 5, 0} = {－8, －7, 3}.

Проекцијата pr c → ( 3 a → − 2 b → ) size 12{"pr" rSub { size 8{ {c} cSup { size 6{ rightarrow } } } } \( 3 {a} cSup { rightarrow } size 12{ - 2 {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) }} {} се пресметува со

pr c → ( 3 a → − 2 b → ) size 12{"pr" rSub { size 8{ {c} cSup { size 6{ rightarrow } } } } \( 3 {a} cSup { rightarrow } size 12{ - 2 {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) }} {} = 3 a → − 2 b → ⋅ c → ∣ c → ∣ 2 c → size 12{ { { left (3 {a} cSup { rightarrow } - 2 {b} cSup { rightarrow } right ) cdot {c} cSup { rightarrow } } over { \lline {c} cSup { rightarrow } \lline rSup { size 9{2}} } } {c} cSup { rightarrow } } {} .

Бидејќи (3 a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} － 2 b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} )∙ c → size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {－8, －7, 3}∙{4, 4, －2} = (－8)4 + (－7)4 + 3(－2) = －66 ,

∣ c → ∣ = 4 2 + 4 2 + ( − 2 ) 2 = 6 size 12{ \lline {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline `= sqrt {4 rSup { size 8{2} } +4 rSup { size 8{2} } + \( - 2 \) rSup { size 8{2} } } =6} {} ,

pr c → ( 3 a → − 2 b → ) = − 66 6 2 c → = − 11 6 size 12{"pr" rSub { size 8{ {c} cSup { size 6{ rightarrow } } } } \( 3 {a} cSup { rightarrow } size 12{ - 2 {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) = { { - "66"} over {6 rSup {2} } } { size 12{c} } cSup { rightarrow } } size 12{ {}= { { - "11"} over {6} } }} {} {4, 4, －2} = { − 22 3 , − 22 3 , − 11 3 size 12{ { { - "22"} over {3} } ,` { { - "22"} over {3} } ,` { { - "11"} over {3} } } {} }. ◄

Пример 2.

Покажи дека трите вектори a → = 3 i → − j → + 2 k → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =3 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b → = i → + j → − k → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } + {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c → = i → − 5 j → − 4 k → size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - 5 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - 4 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се взаемно нормални вектори. Најди три скалари α size 12{α} {} , β size 12{β} {} и γ size 12{γ} {} такви што α a → + β b → + γ c → = i → − j → + k → size 12{α {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +β {b} cSup { size 8{ rightarrow } } +γ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} .

Решение.

Согласно својството 6, ако скаларниот производ на два ненулти вектори е нула, тогаш векторите се взаемно нормални. Трите зададени вектори се:

a → = 3 i → − j → + 2 k → = { 3, − 1,2 } size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =3 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 3, - 1,2 rbrace } {} ,

b → = i → + j → − k → = { 1,1, − 1 } size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } + {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 1,1, - 1 rbrace } {} ,

c → = i → − 5 j → − 4 k → = { 1, − 5, − 4 } size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - 5 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - 4 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 1, - 5, - 4 rbrace } {} .

Се пресметуваат нивните меѓусебни скаларни производи:

a → ⋅ b → = { 3, − 1,2 } ⋅ { 1,1, − 1 } = 3 − 1 − 2 = 0 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 3, - 1,2 rbrace cdot lbrace 1,1, - 1 rbrace =3 - 1 - 2=0} {} ,

a → ⋅ c → = { 3, − 1,2 } ⋅ { 1, − 5, − 4 } = 3 + 5 − 8 = 0 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 3, - 1,2 rbrace cdot lbrace 1, - 5, - 4 rbrace =3+5 - 8=0} {} ,

b → ⋅ c → = { 1,1, − 1 } ⋅ { 1, − 5, − 4 } = 1 − 5 + 4 = 0 size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 1,1, - 1 rbrace cdot lbrace 1, - 5, - 4 rbrace =1 - 5+4=0} {} .

Видејќи сите меѓусебни скаларни производи се нула, следува дек тие се взаемно нормални вектори, т.е. a → ⊥ b → ⊥ c → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ortho {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ortho {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} . Штом векторите a → , b → , c → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се взаемно нормални, тие се линеарно независни (ниту еден од овие три вектори не може да се претстави како линерна комбинација од останатите два вектора) и секој вектор од просторот може да се претстави како линерна комбинација од овие три вектори. Во условот на овој пример се бара векторот i → − j → + k → size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} да се претстави како линерна комбинација од векторите a → , b → , c → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , односно се бара да се најдат скалрите α size 12{α} {} , β size 12{β} {} и γ size 12{γ} {} така што

α a → + β b → + γ c → = i → − j → + k → size 12{α {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +β {b} cSup { size 8{ rightarrow } } +γ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} .

Ова векторска равенка се запишува преку координатите на векторите

α { 3, − 1,2 } + β { 1,1, − 1 } + γ { 1, − 5, − 4 } = { 1, − 1,1 } size 12{α lbrace 3, - 1,2 rbrace +β lbrace 1,1, - 1 rbrace +γ lbrace 1, - 5, - 4 rbrace = lbrace 1, - 1,1 rbrace } {} ,

односно

{ 3α + β + γ , − α + β − 5γ , 2α − β − 4γ } = { 1, − 1,1 } size 12{ lbrace 3α+β+γ, - α+β - 5γ,2α - β - 4γ rbrace = lbrace 1, - 1,1 rbrace } {}

и не доведува до следниот систем равенки

3α + β + γ = 1 − α + β − 5γ = − 1 2α − β − 4γ = 1 . alignl { stack { size 12{3α+β+γ=1} {} #size 12{ - α+β - 5γ= - 1} {} # size 12{2α - β - 4γ=1 "." } {}} } {}

За решавање на овој линеарен ситем од 3 равенки со 3 непознати најпрво ги наоѓаме неговите 4 детерминанти:

D = ∣ 3 1 1 − 1 1 − 5 2 − 1 − 4 ∣ = − 42 ≠ 0 size 12{D= lline matrix { 3 {} # 1 {} # 1 {} ##- 1 {} # 1 {} # - 5 {} ## 2 {} # - 1 {} # - 4{}} rline = - "42"<>0} {} ,

D α = ∣ 1 1 1 − 1 1 − 5 1 − 1 − 4 ∣ = − 18 size 12{D rSub { size 8{α} } = lline matrix { 1 {} # 1 {} # 1 {} ##- 1 {} # 1 {} # - 5 {} ## 1 {} # - 1 {} # - 4{}} rline = - "18"} {} ,

D β = ∣ 3 1 1 − 1 − 1 − 5 2 1 − 4 ∣ = 14 size 12{D rSub { size 8{β} } = lline matrix { 3 {} # 1 {} # 1 {} ##- 1 {} # - 1 {} # - 5 {} ## 2 {} # 1 {} # - 4{}} rline ="14"} {} ,

D γ = ∣ 3 1 1 − 1 1 − 1 2 − 1 1 ∣ = − 2 size 12{D rSub { size 8{γ} } = lline matrix { 3 {} # 1 {} # 1 {} ##- 1 {} # 1 {} # - 1 {} ## 2 {} # - 1 {} # 1{}} rline = - 2} {} .

Ги определуваме непознатите скалари преку:

α = D α D = − 18 − 42 = 3 7 , β = D β D = 14 − 42 = − 1 3 , γ = D γ D = − 2 − 42 = 1 21 . alignl { stack { size 12{α= { {D rSub { size 8{α} } } over {D} } = { { - "18"} over { - "42"} } = { {3} over {7} } ,} {} #β= { {D rSub { size 8{β} } } over {D} } = { {"14"} over { - "42"} } = - { {1} over {3} } , {} # γ= { {D rSub { size 8{γ} } } over {D} } = { { - 2} over { - "42"} } = { {1} over {"21"} } "." {}} } {}

Тоа значи дека векторот i → − j → + k → size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се претставува како линерна комбинација од векторите a → , b → , c → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} со равенката

3 7 a → − 1 3 b → + 1 21 c → = i → − j → + k → . size 12{ { {3} over {7} } {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - { {1} over {3} } {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + { {1} over {"21"} } {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } "." } {}

Questions & Answers

differentiate between demand and supply giving examples
Lambiv Reply
differentiated between demand and supply using examples
Lambiv
what is labour ?
Lambiv
how will I do?
Venny Reply
how is the graph works?I don't fully understand
Rezat Reply
information
Eliyee
devaluation
Eliyee
t
WARKISA
hi guys good evening to all
Lambiv
multiple choice question
Aster Reply
appreciation
Eliyee
explain perfect market
Lindiwe Reply
In economics, a perfect market refers to a theoretical construct where all participants have perfect information, goods are homogenous, there are no barriers to entry or exit, and prices are determined solely by supply and demand. It's an idealized model used for analysis,
Ezea
What is ceteris paribus?
Shukri Reply
other things being equal
AI-Robot
When MP₁ becomes negative, TP start to decline. Extuples Suppose that the short-run production function of certain cut-flower firm is given by: Q=4KL-0.6K2 - 0.112 • Where is quantity of cut flower produced, I is labour input and K is fixed capital input (K-5). Determine the average product of lab
Kelo
Extuples Suppose that the short-run production function of certain cut-flower firm is given by: Q=4KL-0.6K2 - 0.112 • Where is quantity of cut flower produced, I is labour input and K is fixed capital input (K-5). Determine the average product of labour (APL) and marginal product of labour (MPL)
Kelo
yes,thank you
Shukri
Can I ask you other question?
Shukri
what is monopoly mean?
Habtamu Reply
What is different between quantity demand and demand?
Shukri Reply
Quantity demanded refers to the specific amount of a good or service that consumers are willing and able to purchase at a give price and within a specific time period. Demand, on the other hand, is a broader concept that encompasses the entire relationship between price and quantity demanded
Ezea
ok
Shukri
how do you save a country economic situation when it's falling apart
Lilia Reply
what is the difference between economic growth and development
Fiker Reply
Economic growth as an increase in the production and consumption of goods and services within an economy.but Economic development as a broader concept that encompasses not only economic growth but also social & human well being.
Shukri
production function means
Jabir
What do you think is more important to focus on when considering inequality ?
Abdisa Reply
any question about economics?
Awais Reply
sir...I just want to ask one question... Define the term contract curve? if you are free please help me to find this answer 🙏
Asui
it is a curve that we get after connecting the pareto optimal combinations of two consumers after their mutually beneficial trade offs
Awais
thank you so much 👍 sir
Asui
In economics, the contract curve refers to the set of points in an Edgeworth box diagram where both parties involved in a trade cannot be made better off without making one of them worse off. It represents the Pareto efficient allocations of goods between two individuals or entities, where neither p
Cornelius
In economics, the contract curve refers to the set of points in an Edgeworth box diagram where both parties involved in a trade cannot be made better off without making one of them worse off. It represents the Pareto efficient allocations of goods between two individuals or entities,
Cornelius
Suppose a consumer consuming two commodities X and Y has The following utility function u=X0.4 Y0.6. If the price of the X and Y are 2 and 3 respectively and income Constraint is birr 50. A,Calculate quantities of x and y which maximize utility. B,Calculate value of Lagrange multiplier. C,Calculate quantities of X and Y consumed with a given price. D,alculate optimum level of output .
Feyisa Reply
Answer
Feyisa
c
Jabir
the market for lemon has 10 potential consumers, each having an individual demand curve p=101-10Qi, where p is price in dollar's per cup and Qi is the number of cups demanded per week by the i th consumer.Find the market demand curve using algebra. Draw an individual demand curve and the market dema
Gsbwnw Reply
suppose the production function is given by ( L, K)=L¼K¾.assuming capital is fixed find APL and MPL. consider the following short run production function:Q=6L²-0.4L³ a) find the value of L that maximizes output b)find the value of L that maximizes marginal product
Abdureman
types of unemployment
Yomi Reply
What is the difference between perfect competition and monopolistic competition?
Mohammed
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply
<< Chapter < Page Page > Chapter >>

Read also:

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Векторска алгебра. OpenStax CNX. Mar 11, 2009 Download for free at http://cnx.org/content/col10672/1.3
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Векторска алгебра' conversation and receive update notifications?

Ask