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La convolución y sus propiedades

Es una herramienta temporal para la resolución del problema del paso de señales por sistemas que aplica para el caso específico en el que el sistema sea Lineal e Invariante en el Tiempo. Si se tiene la señal en el dominio del tiempo y la respuesta impulsiva del sistema, se puede aplicar la operación convolución entre ambos y se obtiene la salida del sistema en el dominio del tiempo.

Se define la convolución entre dos funciones f(t) y g(t) como el área bajo la curva formada por el producto de las mismas luego de invertir una de ellas y desplazarla una cantidad de tiempo que varía entre –infinito e infinito; la expresión para la convolución viene dada por la ecuación 1:

y ( t ) = f ( t ) g ( t ) = f ( τ ) g ( t τ ) size 12{y \( t \) =f \( t \) * g \( t \) = Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } {f \( τ \) g \( t - τ \) dτ} } {}

Una mejor forma de entender este proceso es haciendo el análisis gráfico del mismo, para ello supónganse las dos funciones f(t) y g(t) mostradas en la figura 1:

Funciones a convolucionar

Las ecuaciones para cada uno de los pulsos de la figura 1 son:

f ( t ) = 2 0 t 5 size 12{f \( t \) =2 drarrow 0<= t<= 5} {}
g ( t ) = t + 3 0 t 3 size 12{g \( t \) = - t+3 drarrow 0<= t<= 3} {}

Para comenzar se debe crear una función similar a f(t) pero expresada en términos de la variable τ presente en la ecuación , también se debe crear una función similar a g(t) pero con la variable τ negativa, además desplazada una cantidad t, tal como se indica en la figura 2:

funciones similares en términos de τ

La cantidad t irá tomando valores desde –infinito hasta infinito, lo que causará que la función g haga un recorrido completo por el eje τ, en dicho recorrido se multiplican ambas funciones y se toma el área bajo el producto, por lo que la convolución valdrá 0 en todos los puntos donde las funciones no se intersecten, como sucede en la figura 2. Con esto ya se puede concluir que, para este caso:

y ( t ) = 0 t < 0 size 12{y \( t \) =0 drarrow t<0} {}

Desde el instante en el que t es igual a 0 hasta que es igual a 3 se dará la situación descrita en la figura 3:

Convolución para t entre 0 y 3

Para este intervalo se cumple que:

y ( t ) = 0 t 2 τ t + 3 = t 2 + 6t 0 t 3 size 12{y \( t \) = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{t} } {2 left (τ - t+3 right )dτ} = - t rSup { size 8{2} } +6t drarrow 0<= t<= 3} {}

Una vez las dos funciones se solapan completamente como se observa en la figura 4, la expresión para la convolución será como la descrita en la ecuación , esto ocurre para valores de t situados entre 3 y 5:

Convolución para t entre 3 y 5
y ( t ) = t 3 t 2 τ t + 3 = 9 3 < t 5 size 12{y \( t \) = Int cSub { size 8{t - 3} } cSup { size 8{t} } {2 left (τ - t+3 right )dτ} =9 drarrow 3<t<= 5} {}

El siguiente intervalo es el ocurrido para valores de t entre 5 y 8, el mismo se observa en la figura 5 y se describe con la ecuación :

Convolución para t entre 5 y 8
y ( t ) = t 3 5 2 τ t + 3 = t 8 2 5 < t 8 size 12{y \( t \) = Int cSub { size 8{t - 3} } cSup { size 8{5} } {2 left (τ - t+3 right )dτ} = left (t - 8 right ) rSup { size 8{2} } drarrow 5<t<= 8} {}

Para valores de t mayores a 8 las funciones no volverán a intersectarse como puede observarse en la figura 6:

Convolución para t mayor que 8

Como se explicó antes, la convolución vale 0 en los puntos donde las funciones no se intersectan:

y ( t ) = 0 t > 8 size 12{y \( t \) =0 drarrow t>8} {}

Con los resultados obtenidos para cada intervalo, mostrados en las ecuaciones anteriores puede construirse la función resultante y(t) = f(t) * g(t):

Resultado de la Convolución

Propiedades de la convolución

Propiedad conmutativa:

f ( t ) g ( t ) = g ( t ) f ( t ) size 12{f \( t \) * g \( t \) =g \( t \) * f \( t \) } {}

De esta propiedad puede concluirse que es indiferente cuál de las dos funciones será la que se invierta y traslade, y cuál se queda fija.

Propiedad asociativa:

f ( t ) g ( t ) h ( t ) = f ( t ) g ( t ) h ( t ) size 12{f \( t \) * left [g \( t \) * h \( t \) right ]= left [f \( t \) * g \( t \) right ]* h \( t \) } {}

Propiedad distributiva:

f ( t ) g ( t ) + h ( t ) = f ( t ) g ( t ) + f ( t ) h ( t ) size 12{f \( t \) * left [g \( t \) +h \( t \) right ]= left [f \( t \) * g \( t \) right ]+ left [f \( t \) * h \( t \) right ]} {}

Multiplicación por escalar:

af ( t ) g ( t ) = f ( t ) ag ( t ) = a f ( t ) g ( t ) size 12{ ital "af" \( t \) * g \( t \) =f \( t \) * ital "ag" \( t \) =a left [f \( t \) * g \( t \) right ]} {}

Siendo a cualquier número real o complejo.

Derivación:

f ( t ) t g ( t ) = f ( t ) g ( t ) t = f ( t ) g ( t ) t size 12{ { { partial left (f \( t \) right )} over { partial t} } * g \( t \) =f \( t \) * { { partial left (g \( t \) right )} over { partial t} } = { { partial left [f \( t \) * g \( t \) right ]} over { partial t} } } {}

Transformada de Fourier de la convolución:

F g ( t ) h ( t ) = F f ( t ) F g ( t ) size 12{F left [g \( t \) * h \( t \) right ]=F left [f \( t \) right ]cdot F left [g \( t \) right ]} {}

Con esta propiedad puede demostrarse la propiedad de la Convolución por delta de Dirac:

f ( t ) δ ( t ) = f ( t ) size 12{f \( t \) * δ \( t \) =f \( t \) } {}

Si se aplica la transformada de Fourier a la expresión f ( t ) δ ( t ) size 12{f \( t \) * δ \( t \) } {} se obtendrá el producto de las transformadas; la transformada de Fourier de la función Delta de Dirac es igual a 1, por lo que sólo quedará la transformada de la función f ( t ) size 12{f \( t \) } {} . Generalizando la ecuación 15 se obtiene que:

f ( t ) δ ( t t 1 ) = f ( t t 1 ) size 12{f \( t \) * δ \( t - t rSub { size 8{1} } \) =f \( t - t rSub { size 8{1} } \) } {}
f ( t t 2 ) δ ( t t 1 ) = f ( t t 1 t 2 ) size 12{f \( t - t rSub { size 8{2} } \) * δ \( t - t rSub { size 8{1} } \) =f \( t - t rSub { size 8{1} } - t rSub { size 8{2} } \) } {}

Questions & Answers

where we get a research paper on Nano chemistry....?
Maira Reply
nanopartical of organic/inorganic / physical chemistry , pdf / thesis / review
Ali
what are the products of Nano chemistry?
Maira Reply
There are lots of products of nano chemistry... Like nano coatings.....carbon fiber.. And lots of others..
learn
Even nanotechnology is pretty much all about chemistry... Its the chemistry on quantum or atomic level
learn
Google
da
no nanotechnology is also a part of physics and maths it requires angle formulas and some pressure regarding concepts
Bhagvanji
hey
Giriraj
Preparation and Applications of Nanomaterial for Drug Delivery
Hafiz Reply
revolt
da
Application of nanotechnology in medicine
what is variations in raman spectra for nanomaterials
Jyoti Reply
ya I also want to know the raman spectra
Bhagvanji
I only see partial conversation and what's the question here!
Crow Reply
what about nanotechnology for water purification
RAW Reply
please someone correct me if I'm wrong but I think one can use nanoparticles, specially silver nanoparticles for water treatment.
Damian
yes that's correct
Professor
I think
Professor
Nasa has use it in the 60's, copper as water purification in the moon travel.
Alexandre
nanocopper obvius
Alexandre
what is the stm
Brian Reply
is there industrial application of fullrenes. What is the method to prepare fullrene on large scale.?
Rafiq
industrial application...? mmm I think on the medical side as drug carrier, but you should go deeper on your research, I may be wrong
Damian
How we are making nano material?
LITNING Reply
what is a peer
LITNING Reply
What is meant by 'nano scale'?
LITNING Reply
What is STMs full form?
LITNING
scanning tunneling microscope
Sahil
how nano science is used for hydrophobicity
Santosh
Do u think that Graphene and Fullrene fiber can be used to make Air Plane body structure the lightest and strongest. Rafiq
Rafiq
what is differents between GO and RGO?
Mahi
what is simplest way to understand the applications of nano robots used to detect the cancer affected cell of human body.? How this robot is carried to required site of body cell.? what will be the carrier material and how can be detected that correct delivery of drug is done Rafiq
Rafiq
if virus is killing to make ARTIFICIAL DNA OF GRAPHENE FOR KILLED THE VIRUS .THIS IS OUR ASSUMPTION
Anam
analytical skills graphene is prepared to kill any type viruses .
Anam
Any one who tell me about Preparation and application of Nanomaterial for drug Delivery
Hafiz
what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
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Jobilize.com Reply

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Source:  OpenStax, Señales y sistemas en matlab y labview. OpenStax CNX. Sep 23, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11361/1.4
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