<< Chapter < Page | Chapter >> Page > |
Es una herramienta temporal para la resolución del problema del paso de señales por sistemas que aplica para el caso específico en el que el sistema sea Lineal e Invariante en el Tiempo. Si se tiene la señal en el dominio del tiempo y la respuesta impulsiva del sistema, se puede aplicar la operación convolución entre ambos y se obtiene la salida del sistema en el dominio del tiempo.
Se define la convolución entre dos funciones f(t) y g(t) como el área bajo la curva formada por el producto de las mismas luego de invertir una de ellas y desplazarla una cantidad de tiempo que varía entre –infinito e infinito; la expresión para la convolución viene dada por la ecuación 1:
Una mejor forma de entender este proceso es haciendo el análisis gráfico del mismo, para ello supónganse las dos funciones f(t) y g(t) mostradas en la figura 1:
Las ecuaciones para cada uno de los pulsos de la figura 1 son:
Para comenzar se debe crear una función similar a f(t) pero expresada en términos de la variable τ presente en la ecuación , también se debe crear una función similar a g(t) pero con la variable τ negativa, además desplazada una cantidad t, tal como se indica en la figura 2:
La cantidad t irá tomando valores desde –infinito hasta infinito, lo que causará que la función g haga un recorrido completo por el eje τ, en dicho recorrido se multiplican ambas funciones y se toma el área bajo el producto, por lo que la convolución valdrá 0 en todos los puntos donde las funciones no se intersecten, como sucede en la figura 2. Con esto ya se puede concluir que, para este caso:
Desde el instante en el que t es igual a 0 hasta que es igual a 3 se dará la situación descrita en la figura 3:
Para este intervalo se cumple que:
Una vez las dos funciones se solapan completamente como se observa en la figura 4, la expresión para la convolución será como la descrita en la ecuación , esto ocurre para valores de t situados entre 3 y 5:
El siguiente intervalo es el ocurrido para valores de t entre 5 y 8, el mismo se observa en la figura 5 y se describe con la ecuación :
Para valores de t mayores a 8 las funciones no volverán a intersectarse como puede observarse en la figura 6:
Como se explicó antes, la convolución vale 0 en los puntos donde las funciones no se intersectan:
Con los resultados obtenidos para cada intervalo, mostrados en las ecuaciones anteriores puede construirse la función resultante y(t) = f(t) * g(t):
Propiedad conmutativa:
De esta propiedad puede concluirse que es indiferente cuál de las dos funciones será la que se invierta y traslade, y cuál se queda fija.
Propiedad asociativa:
Propiedad distributiva:
Multiplicación por escalar:
Siendo a cualquier número real o complejo.
Derivación:
Transformada de Fourier de la convolución:
Con esta propiedad puede demostrarse la propiedad de la Convolución por delta de Dirac:
Si se aplica la transformada de Fourier a la expresión se obtendrá el producto de las transformadas; la transformada de Fourier de la función Delta de Dirac es igual a 1, por lo que sólo quedará la transformada de la función . Generalizando la ecuación 15 se obtiene que:
Notification Switch
Would you like to follow the 'Señales y sistemas en matlab y labview' conversation and receive update notifications?