0.4 Các hệ tuyến tính

ĐẠI CƯƠNG:

Một hệ thống là một tập hợp những định luật liên kết một hàm thời gian ở ngỏ ra với mỗi hàm thời gian ơ ngỏ vào.

Sơ đồ khối biểu diễn một hệ thống vẽ ở hình 3. 1.

r(t)s(t)

Hình 3.1

- Input hay nguồn tin r(t).

- Output hay đáp ứng của nguồn tin s(t).

Cấu trúc vật lý thực tế của hệ xác định hệ thức chính xác giữa r(t) và s(t). Sự liên hệ giữa Input và Ouput được dùng ký hiệu là mũi tên một chiều.

Nếu hệ là một mạch điện, r(t) có thể là điện thế hoặc dòng điện và s(t) có thể là điện thế hoặc dòng điện được đo bất kỳ nơi đâu trong mạch.

1. Một hệ được nói là Chồng chất ( Superposition ) nếu đáp ứng do tổng các tín hiệu vào là tổng của các đáp ứng riêng tương ứng. Nghĩa là, nếu s1(t) là đáp ứng của r1(t) và s2(t) là đáp ứng của r2(t) thì đáp ứng của r1(t) + r2(t) là s1(t) + s2(t).

Nếu

Thì:

Một khái niệm liên quan đến tính chồng chất là sự tuyến tính. Giả sử r1(t)  s1(t) và r2(t)  s2(t). Hệ thống được nói là tuyến tính nếu hệ thức sau đây được giữ đúng với mọi trị giá của các hằng a và b:

Một hệ thống được nói là “ Không đổi theo thời gian “ ( Time invariant ) nếu đáp ứng của một tín hiệu vào không phụ thuộc vào thời điểm mà tín hiệu đó tác động lên hệ.

Một thời trễ ( Time shift ) trong tín hiệu vào sẽ gây ra một thời trễ bằng như vậy trong đáp ứng của nó :

Nếu

Thì

Một điều kiện đủ cho một mạch điện không đổi theo thời gian là các thành phần của nó có trị giá không đổi với thời gian ( giả sử các điều kiện đầu không đổi ). Đó là điện trở, tụ và cuộn cảm.

Hàm hệ thống

Để đặc trưng hóa một hệ thống tuyến tính không đổi theo thời gian, ta có thể dùng một phương pháp rất đơn giản. Thay vì cấn biết đáp ứng của mỗi tín hiệu vào, ta chỉ cần biết đáp ứng của một tín hiệu thử (test input) mà thôi. Tín hiệu thử là xung lực. Xem phép chồng:

r(t) = r(t) x  (t)

= (3.3)

Ta xem tích phân là trường hợp giới hạn của một tổng:

Phương trình (3.4) biểu diễn tổng trọng lượng của xung lực bị trễ. Như vậy, tín hiệu ra là một tổng các đáp ứng ra bị trễ của một xung lực duy nhất.

Giả sử, ta biết đáp ứng ra của mạch do một xung lực duy nhất gây ra và ký hiệu đó là h(t) (đáp ứng xung lực).

Vậy đáp ứng do tín hiệu vào của phương trình (3.4) là:

Nếu lấy giới hạn, nó trở thành tích phân:

s(t) = r(t) x h(t)(3.6)

Phương trình (3.6) chứng tỏ rằng đáp ứng của bất kỳ tín hiệu vào nào cũng có thể tìm được bằng cách chồng nó với đáp ứng xung lực của hệ thống.

Ảnh Fourier của xung lực là 1. Vậy một cách trực giác, ta thấy (t) chứa tất cả mọi tần số. Vì thế xung lực thường được xem như là một tín hiệu thử (Test Signal) cho hệ thống. Cho một xung lực ở ngỏ vào hệ thống, ngỏ ra ta có đáp ứng h(t). Căn cứ trên h(t), ta có thể xác định được những đặt trưng của hệ.

(t)h(t)

Hình 3.2: Đáp ứng xung lực

Ta không thể tạo được một xung lực lý tưởng trong thực tế mà chỉ có thể xem nó xấp xỉ với một xung có biên độ thật lớn và rất hẹp.