<< Chapter < Page Chapter >> Page >

Như vậy ta đã xoay đúng một vòng, và nếu cứ lập luận như vậy thì ta sẽ xoay vòng mãi. Những bộ chiến lược nhận được trong khi xoay vòng là những nghiệm không ổ định.

Chiến lược hỗn hợp

Để có được lời giải của trò chơi không có nghiệm ổn định người ta đưa ra khái niệm chiến lược hỗn hợp. Mỗi người chơi không chọn một chiến lược thuần túy như trước đây mà chọn một phân bố xác suất sử dụng tất cả các chiến lược.

Xét trò chơi giữa A và B có ma trận điểm dương có dạng tổng quát :

1 2 ... n  B
A 
1 a 11 size 12{a rSub { size 8{"11"} } } {} a 12 size 12{a rSub { size 8{"12"} } } {} ... a 1n size 12{a rSub { size 8{1n} } } {}
2 a 21 size 12{a rSub { size 8{"21"} } } {} a 22 size 12{a rSub { size 8{"22"} } } {} ... a 2n size 12{a rSub { size 8{2n} } } {}
... ... ... ... ...
m a m1 size 12{a rSub { size 8{m1} } } {} a m2 size 12{a rSub { size 8{m2} } } {} ... a mn size 12{a rSub { size 8{ ital "mn"} } } {}

Giả sử rằng :

MaxiMin ( A ) = a i A j A = g A size 12{"MaxiMin " \( A \) =a rSub { size 8{i rSub { size 6{A} } j rSub { size 6{A} } } } =g rSub {A} } {}

M iniMax ( B ) = a i B j B = g B size 12{M"iniMax " \( B \) =a rSub { size 8{i rSub { size 6{B} } j rSub { size 6{B} } } } =g rSub {B} } {}

a i A j A a i B j B size 12{a rSub { size 8{i rSub { size 6{A} } j rSub { size 6{A} } } }<>a rSub {i rSub { size 6{B} } j rSub { size 6{B} } } } {}

Gọi :

. pi>0 (i=1 m ) là tần suất nước đi thứ i của A với

p1 + p2 + ... + pm = 1

. qj>0 (j=1 n ) là tần suất nước đi thứ j của B với

q1 + q2 + ... + qn = 1

q1 q2 ... qn
1 2 ... n  B
A 
p1 1 a 11 size 12{a rSub { size 8{"11"} } } {} a 12 size 12{a rSub { size 8{"12"} } } {} ... a 1n size 12{a rSub { size 8{1n} } } {}
p2 2 a 21 size 12{a rSub { size 8{"21"} } } {} a 22 size 12{a rSub { size 8{"22"} } } {} ... a 2n size 12{a rSub { size 8{2n} } } {}
... ... ... ... ... ...
pm m a m1 size 12{a rSub { size 8{m1} } } {} a m2 size 12{a rSub { size 8{m2} } } {} ... a mn size 12{a rSub { size 8{ ital "mn"} } } {}

Vấn đề đặt ra là :

-Tìm tần suất pi>0 của nước đi thứ i (i =1 m) của A sao cho đối với mỗi nước đi thứ j của B số điểm thắng trung bình của A không nhỏ thua gA :

p1a1j + p2a2j + ..... + pmamj(j = 1 n)

Cũng có nghĩa là tìm pi sao cho :

p1a1j + p2a2j + ..... + pmamj  g1  gA (j = 1 n)

g1  max

- Tìm tần suất qj>0 của nước đi thứ j (j =1 n) của B sao cho đối với mỗi nước đi thứ i của A số điểm thua trung bình của B không lớn hơn gB :

q1ai1 + q2ai2 + .... + qnain (i = 1 m)

Cũng có nghĩa là tìm các qj sao cho :

q1ai1 + q2ai2 + ..... + qnain  g2  gB (i = 1 m)

g2­  min

Khi đó hai bài toán quy hoạch tuyến tính thu được là :

max g 1 min 1 g 1 p 1 + p 2 + . . . + p m = 1 p 1 a 1j + p 2 a 2j + . . . + p m a mj g 1 ( j = 1 n ) p i > 0 ( i = 1 n ) { { { size 12{alignl { stack { left lbrace "max"" "g rSub { size 8{1} } " " left ("min " { {1} over {g rSub { size 8{1} } } } right ) {} #right none left lbrace p rSub { size 8{1} } +p rSub { size 8{2} } + "." "." "." +p rSub { size 8{m} } =1 {} # right none left lbrace p rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{1j} } +p rSub { size 8{2} } a rSub { size 8{2j} } + "." "." "." +p rSub { size 8{m} } a rSub { size 8{ ital "mj"} }>= g rSub { size 8{1} } " " \( j=1 rightarrow n \) {} # right none left lbrace p rSub { size 8{i} }>0" " \( i=1 rightarrow n \) {} # right no } } lbrace } {}

min g 2 max 1 g 2 q 1 + q 2 + . . . + q n = 1 q 1 a i1 + q 2 a i2 + . . . + q n a in g 2 ( i = 1 m ) q j > 0 ( j = 1 m ) { { { size 12{alignl { stack { left lbrace "min"" "g rSub { size 8{2} } " " left ("max " { {1} over {g rSub { size 8{2} } } } right ) {} #right none left lbrace q rSub { size 8{1} } +q rSub { size 8{2} } + "." "." "." +q rSub { size 8{n} } =1 {} # right none left lbrace q rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{i1} } +q rSub { size 8{2} } a rSub { size 8{i2} } + "." "." "." +q rSub { size 8{n} } a rSub { size 8{ ital "in"} }<= g rSub { size 8{2} } " " \( i=1 rightarrow m \) {} # right none left lbrace q rSub { size 8{j} }>0" " \( j=1 rightarrow m \) {} # right no } } lbrace } {}

Chia các ràng buộc của bài toán thứ nhất cho g1>0 và đặt :

x i = p i g 1 ( i = 1 m ) size 12{x rSub { size 8{i} } = { {p rSub { size 8{i} } } over {g rSub { size 8{1} } } } " " \( i=1 rightarrow m \) } {}

Chia các ràng buộc của bài toán thứ hai cho g2>0 và đặt :

y j = q j g 2 ( j = 1 n ) size 12{y rSub { size 8{j} } = { {q rSub { size 8{j} } } over {g rSub { size 8{2} } } } " " \( j=1 rightarrow n \) } {}

Khi đó hai bài toán quy hoạch tuyến tính trên trở thành :

(D) min 1 g 1 = x 1 + x 2 + . . . + x m a 1j x 1 + a 2j x 2 + . . . + a mj x m 1 ( j = 1 n ) x i > 0 ( i = 1 m ) { { size 12{alignl { stack { left lbrace "min"" " { {1} over {g rSub { size 8{1} } } } =x rSub { size 8{1} } +x rSub { size 8{2} } + "." "." "." +x rSub { size 8{m} } {} #right none left lbrace a rSub { size 8{1j} } x rSub { size 8{1} } +a rSub { size 8{2j} } x rSub { size 8{2} } + "." "." "." +a rSub { size 8{ ital "mj"} } x rSub { size 8{m} }>= 1" " \( j=1 rightarrow n \) {} # right none left lbrace x rSub { size 8{i} }>0" " \( i=1 rightarrow m \) {} # right no } } lbrace } {}

(P) max 1 g 2 = y 1 + y 2 + . . . + y 3 a i1 y 1 + a i2 y 2 + . . . + a in y n 1 ( i = 1 m ) y j > 0 ( j = 1 m ) { { size 12{alignl { stack { left lbrace "max"" " { {1} over {g rSub { size 8{2} } } } =y rSub { size 8{1} } +y rSub { size 8{2} } + "." "." "." +y rSub { size 8{3} } {} #right none left lbrace a rSub { size 8{i1} } y rSub { size 8{1} } +a rSub { size 8{i2} } y rSub { size 8{2} } + "." "." "." +a rSub { size 8{ ital "in"} } y rSub { size 8{n} }<= "1 " \( i=1 rightarrow m \) {} # right none left lbrace y rSub { size 8{j} }>0" " \( j=1 rightarrow m \) {} # right no } } lbrace } {}

Ðây là hai bài toán đối ngẫu . Chọn một trong hai để giải

Ví dụ :

Xét trò chơi giữa A và B có bảng điểm như sau :

1 2 3  B
A 
1 -1 2 1
2 1 -2 2
3 3 4 -3

Theo chiến thuật của A và của B ta có :

MaxiMin(A) = a11

MiniMax(B) = a23

Tăng đồng loạt các ô của bảng điểm lên 4 ta được :

1 2 3  B
A 
1 3 6 5
2 5 2 6
3 7 8 1

Gọi

pi  0 là tần suất nước đi thứ i của A (i=1 3)

p1 + p2 + p3 = 1

qj  0 là tần suất nước đi thứ j của B (j=1 3)

q1 + q2 + q3 =1

Thực hiện tương tự như trên ta được hai bài toán đối ngẫu như sau :

q1 q2 q3  B
A 
p1 3 6 5
p2 5 2 6
p3 7 8 1

(D) min w = 1 g 1 = x 1 + x 2 + x 3 3x 1 + 5x 2 + 7x 3 1 6x 1 + 2x 2 + 8x 3 1 5x 1 + 6x 2 + x 3 1 x 1 > 0 , x 2 > 0 , x 3 > 0 { { { { size 12{alignl { stack { left lbrace "min"" w"= { {1} over {g rSub { size 8{1} } } } =x rSub { size 8{1} } +x rSub { size 8{2} } +x rSub { size 8{3} } {} #right none left lbrace 3x rSub { size 8{1} } +5x rSub { size 8{2} } +7x rSub { size 8{3} }>= 1 {} # right none left lbrace 6x rSub { size 8{1} } +2x rSub { size 8{2} } +8x rSub { size 8{3} }>= 1 {} # right none left lbrace 5x rSub { size 8{1} } +6x rSub { size 8{2} } +x rSub { size 8{3} }>= 1 {} # right none left lbrace " x" rSub { size 8{1} }>0" "," x" rSub { size 8{2} }>0" "," x" rSub { size 8{3} }>0 {} # right no } } lbrace } {} (P) max z = 1 g 2 = y 1 + y 2 + y 3 3y 1 + 6y 2 + 5y 3 1 5y 1 + 2y 2 + 6y 3 1 7y 1 + 8y 2 + y 3 1 y 1 > 0 , y 2 > 0 , y 3 > 0 { { { { size 12{alignl { stack { left lbrace "max"z= { {1} over {g rSub { size 8{2} } } } =y rSub { size 8{1} } +y rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{3} } {} #right none left lbrace 3y rSub { size 8{1} } +6y rSub { size 8{2} } +5y rSub { size 8{3} }<= 1" " {} # right none left lbrace 5y rSub { size 8{1} } +2y rSub { size 8{2} } +6y rSub { size 8{3} }<= 1" " {} # right none left lbrace 7y rSub { size 8{1} } +8y rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{3} }<= 1" " {} # right none left lbrace y rSub { size 8{1} }>0" "," y" rSub { size 8{2} }>0" "," y" rSub { size 8{3} }>0 {} # right no } } lbrace } {}

Ta chọn bài toán (P) để giải.

Ðưa bài toán (P) về dạng chuẩn :

(P) max z = 1 g 2 = y 1 + y 2 + y 3 + 0 . y 4 + 0 . y 5 + 0 . y 6 3y 1 + 6y 2 + 5y 3 + y 4 = 1 5y 1 + 2y 2 + 6y 3 + y 5 = 1 7y 1 + 8y 2 + y 3 + y 6 = 1 y 1 > 0 , y 2 > 0 , y 3 > 0, y 4 > 0 , y 5 > 0 , y 6 > 0 { { { { size 12{alignl { stack { left lbrace "max z"= { {1} over {g rSub { size 8{2} } } } =y rSub { size 8{1} } +y rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{3} } +0 "." y rSub { size 8{4} } +0 "." y rSub { size 8{5} } +0 "." y rSub { size 8{6} } {} #right none left lbrace "3y" rSub { size 8{1} } +"6y" rSub { size 8{2} } +"5y" rSub { size 8{3} } +y rSub { size 8{4} } ="1 " {} # right none left lbrace "5y" rSub { size 8{1} } +"2y" rSub { size 8{2} } +"6y" rSub { size 8{3} } +y rSub { size 8{5} } ="1 " {} #right none left lbrace "7y" rSub { size 8{1} } +"8y" rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{3} } +y rSub { size 8{6} } ="1 " {} # right none left lbrace y rSub { size 8{1} }>"0 , y" rSub { size 8{2} }>"0 , y" rSub { size 8{3} }>"0, y" rSub { size 8{4} }>"0 , y" rSub { size 8{5} }>"0 , y" rSub { size 8{6} }>0 {} # right no } } lbrace } {}

Dùng giải thuật đơn hình cải tiến :

c B 0 size 12{c rSub { size 8{B rSub { size 6{0} } } } } {} i B 0 size 12{i rSub { size 8{B rSub { size 6{0} } } } } {} y 1 size 12{y rSub { size 8{1} } } {} y 2 size 12{y rSub { size 8{2} } } {} y 3 size 12{y rSub { size 8{3} } } {} y 4 size 12{y rSub { size 8{4} } } {} y 5 size 12{y rSub { size 8{5} } } {} y 6 size 12{y rSub { size 8{6} } } {} b ¯ 0 size 12{ {overline {b}} rSub { size 8{0} } } {}
0 4 3 6 5 1 0 0 1
0 5 5 2 6 0 1 0 1
0 6 7 8 1 0 0 1 1
c T size 12{c rSup { size 8{T} } } {} 1 1 1 0 0 0 z 0 size 12{z rSub { size 8{0} } } {}
c ¯ 0 T size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{0} } rSup { size 8{T} } } {} 1 1 1 0 0 0 0
c B 1 size 12{c rSub { size 8{B rSub { size 6{1} } } } } {} i B 1 size 12{i rSub { size 8{B rSub { size 6{1} } } } } {} y 1 size 12{y rSub { size 8{1} } } {} y 2 size 12{y rSub { size 8{2} } } {} y 3 size 12{y rSub { size 8{3} } } {} y 4 size 12{y rSub { size 8{4} } } {} y 5 size 12{y rSub { size 8{5} } } {} y 6 size 12{y rSub { size 8{6} } } {} b ¯ 1 size 12{ {overline {b}} rSub { size 8{1} } } {}
0 4 0 18 7 size 12{ { {"18"} over {7} } } {} 32 7 size 12{ { {"32"} over {7} } } {} 1 0 3 7 size 12{ - { {3} over {7} } } {} 4 7 size 12{ { {4} over {7} } } {}
0 5 0 26 7 size 12{ - { {"26"} over {7} } } {} 37 7 size 12{ { {"37"} over {7} } } {} 0 1 5 7 size 12{ - { {5} over {7} } } {} 2 7 size 12{ { {2} over {7} } } {}
1 1 1 8 7 size 12{ { {8} over {7} } } {} 1 7 size 12{ { {1} over {7} } } {} 0 0 1 7 size 12{ { {1} over {7} } } {} 1 7 size 12{ { {1} over {7} } } {}
c T size 12{c rSup { size 8{T} } } {} 1 1 1 0 0 0 z 1 size 12{z rSub { size 8{1} } } {}
c ¯ 1 T size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{1} } rSup { size 8{T} } } {} 0 1 7 size 12{ - { {1} over {7} } } {} 6 7 size 12{ { {6} over {7} } } {} 0 0 1 7 size 12{ - { {1} over {7} } } {} 1 7 size 12{ { {1} over {7} } } {}

Questions & Answers

Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
anyone know any internet site where one can find nanotechnology papers?
Damian Reply
research.net
kanaga
sciencedirect big data base
Ernesto
Introduction about quantum dots in nanotechnology
Praveena Reply
what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
how to know photocatalytic properties of tio2 nanoparticles...what to do now
Akash Reply
it is a goid question and i want to know the answer as well
Maciej
characteristics of micro business
Abigail
for teaching engĺish at school how nano technology help us
Anassong
Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
there is no specific books for beginners but there is book called principle of nanotechnology
NANO
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
fullerene is a bucky ball aka Carbon 60 molecule. It was name by the architect Fuller. He design the geodesic dome. it resembles a soccer ball.
Tarell
what is the actual application of fullerenes nowadays?
Damian
That is a great question Damian. best way to answer that question is to Google it. there are hundreds of applications for buck minister fullerenes, from medical to aerospace. you can also find plenty of research papers that will give you great detail on the potential applications of fullerenes.
Tarell
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
Mostly, they use nano carbon for electronics and for materials to be strengthened.
Virgil
is Bucky paper clear?
CYNTHIA
carbon nanotubes has various application in fuel cells membrane, current research on cancer drug,and in electronics MEMS and NEMS etc
NANO
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
Do you know which machine is used to that process?
s.
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Quy hoạch tuyến tính. OpenStax CNX. Aug 08, 2009 Download for free at http://cnx.org/content/col10903/1.1
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Quy hoạch tuyến tính' conversation and receive update notifications?

Ask