<< Chapter < Page Chapter >> Page >

Như vậy ta đã xoay đúng một vòng, và nếu cứ lập luận như vậy thì ta sẽ xoay vòng mãi. Những bộ chiến lược nhận được trong khi xoay vòng là những nghiệm không ổ định.

Chiến lược hỗn hợp

Để có được lời giải của trò chơi không có nghiệm ổn định người ta đưa ra khái niệm chiến lược hỗn hợp. Mỗi người chơi không chọn một chiến lược thuần túy như trước đây mà chọn một phân bố xác suất sử dụng tất cả các chiến lược.

Xét trò chơi giữa A và B có ma trận điểm dương có dạng tổng quát :

1 2 ... n  B
A 
1 a 11 size 12{a rSub { size 8{"11"} } } {} a 12 size 12{a rSub { size 8{"12"} } } {} ... a 1n size 12{a rSub { size 8{1n} } } {}
2 a 21 size 12{a rSub { size 8{"21"} } } {} a 22 size 12{a rSub { size 8{"22"} } } {} ... a 2n size 12{a rSub { size 8{2n} } } {}
... ... ... ... ...
m a m1 size 12{a rSub { size 8{m1} } } {} a m2 size 12{a rSub { size 8{m2} } } {} ... a mn size 12{a rSub { size 8{ ital "mn"} } } {}

Giả sử rằng :

MaxiMin ( A ) = a i A j A = g A size 12{"MaxiMin " \( A \) =a rSub { size 8{i rSub { size 6{A} } j rSub { size 6{A} } } } =g rSub {A} } {}

M iniMax ( B ) = a i B j B = g B size 12{M"iniMax " \( B \) =a rSub { size 8{i rSub { size 6{B} } j rSub { size 6{B} } } } =g rSub {B} } {}

a i A j A a i B j B size 12{a rSub { size 8{i rSub { size 6{A} } j rSub { size 6{A} } } }<>a rSub {i rSub { size 6{B} } j rSub { size 6{B} } } } {}

Gọi :

. pi>0 (i=1 m ) là tần suất nước đi thứ i của A với

p1 + p2 + ... + pm = 1

. qj>0 (j=1 n ) là tần suất nước đi thứ j của B với

q1 + q2 + ... + qn = 1

q1 q2 ... qn
1 2 ... n  B
A 
p1 1 a 11 size 12{a rSub { size 8{"11"} } } {} a 12 size 12{a rSub { size 8{"12"} } } {} ... a 1n size 12{a rSub { size 8{1n} } } {}
p2 2 a 21 size 12{a rSub { size 8{"21"} } } {} a 22 size 12{a rSub { size 8{"22"} } } {} ... a 2n size 12{a rSub { size 8{2n} } } {}
... ... ... ... ... ...
pm m a m1 size 12{a rSub { size 8{m1} } } {} a m2 size 12{a rSub { size 8{m2} } } {} ... a mn size 12{a rSub { size 8{ ital "mn"} } } {}

Vấn đề đặt ra là :

-Tìm tần suất pi>0 của nước đi thứ i (i =1 m) của A sao cho đối với mỗi nước đi thứ j của B số điểm thắng trung bình của A không nhỏ thua gA :

p1a1j + p2a2j + ..... + pmamj(j = 1 n)

Cũng có nghĩa là tìm pi sao cho :

p1a1j + p2a2j + ..... + pmamj  g1  gA (j = 1 n)

g1  max

- Tìm tần suất qj>0 của nước đi thứ j (j =1 n) của B sao cho đối với mỗi nước đi thứ i của A số điểm thua trung bình của B không lớn hơn gB :

q1ai1 + q2ai2 + .... + qnain (i = 1 m)

Cũng có nghĩa là tìm các qj sao cho :

q1ai1 + q2ai2 + ..... + qnain  g2  gB (i = 1 m)

g2­  min

Khi đó hai bài toán quy hoạch tuyến tính thu được là :

max g 1 min 1 g 1 p 1 + p 2 + . . . + p m = 1 p 1 a 1j + p 2 a 2j + . . . + p m a mj g 1 ( j = 1 n ) p i > 0 ( i = 1 n ) { { { size 12{alignl { stack { left lbrace "max"" "g rSub { size 8{1} } " " left ("min " { {1} over {g rSub { size 8{1} } } } right ) {} #right none left lbrace p rSub { size 8{1} } +p rSub { size 8{2} } + "." "." "." +p rSub { size 8{m} } =1 {} # right none left lbrace p rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{1j} } +p rSub { size 8{2} } a rSub { size 8{2j} } + "." "." "." +p rSub { size 8{m} } a rSub { size 8{ ital "mj"} }>= g rSub { size 8{1} } " " \( j=1 rightarrow n \) {} # right none left lbrace p rSub { size 8{i} }>0" " \( i=1 rightarrow n \) {} # right no } } lbrace } {}

min g 2 max 1 g 2 q 1 + q 2 + . . . + q n = 1 q 1 a i1 + q 2 a i2 + . . . + q n a in g 2 ( i = 1 m ) q j > 0 ( j = 1 m ) { { { size 12{alignl { stack { left lbrace "min"" "g rSub { size 8{2} } " " left ("max " { {1} over {g rSub { size 8{2} } } } right ) {} #right none left lbrace q rSub { size 8{1} } +q rSub { size 8{2} } + "." "." "." +q rSub { size 8{n} } =1 {} # right none left lbrace q rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{i1} } +q rSub { size 8{2} } a rSub { size 8{i2} } + "." "." "." +q rSub { size 8{n} } a rSub { size 8{ ital "in"} }<= g rSub { size 8{2} } " " \( i=1 rightarrow m \) {} # right none left lbrace q rSub { size 8{j} }>0" " \( j=1 rightarrow m \) {} # right no } } lbrace } {}

Chia các ràng buộc của bài toán thứ nhất cho g1>0 và đặt :

x i = p i g 1 ( i = 1 m ) size 12{x rSub { size 8{i} } = { {p rSub { size 8{i} } } over {g rSub { size 8{1} } } } " " \( i=1 rightarrow m \) } {}

Chia các ràng buộc của bài toán thứ hai cho g2>0 và đặt :

y j = q j g 2 ( j = 1 n ) size 12{y rSub { size 8{j} } = { {q rSub { size 8{j} } } over {g rSub { size 8{2} } } } " " \( j=1 rightarrow n \) } {}

Khi đó hai bài toán quy hoạch tuyến tính trên trở thành :

(D) min 1 g 1 = x 1 + x 2 + . . . + x m a 1j x 1 + a 2j x 2 + . . . + a mj x m 1 ( j = 1 n ) x i > 0 ( i = 1 m ) { { size 12{alignl { stack { left lbrace "min"" " { {1} over {g rSub { size 8{1} } } } =x rSub { size 8{1} } +x rSub { size 8{2} } + "." "." "." +x rSub { size 8{m} } {} #right none left lbrace a rSub { size 8{1j} } x rSub { size 8{1} } +a rSub { size 8{2j} } x rSub { size 8{2} } + "." "." "." +a rSub { size 8{ ital "mj"} } x rSub { size 8{m} }>= 1" " \( j=1 rightarrow n \) {} # right none left lbrace x rSub { size 8{i} }>0" " \( i=1 rightarrow m \) {} # right no } } lbrace } {}

(P) max 1 g 2 = y 1 + y 2 + . . . + y 3 a i1 y 1 + a i2 y 2 + . . . + a in y n 1 ( i = 1 m ) y j > 0 ( j = 1 m ) { { size 12{alignl { stack { left lbrace "max"" " { {1} over {g rSub { size 8{2} } } } =y rSub { size 8{1} } +y rSub { size 8{2} } + "." "." "." +y rSub { size 8{3} } {} #right none left lbrace a rSub { size 8{i1} } y rSub { size 8{1} } +a rSub { size 8{i2} } y rSub { size 8{2} } + "." "." "." +a rSub { size 8{ ital "in"} } y rSub { size 8{n} }<= "1 " \( i=1 rightarrow m \) {} # right none left lbrace y rSub { size 8{j} }>0" " \( j=1 rightarrow m \) {} # right no } } lbrace } {}

Ðây là hai bài toán đối ngẫu . Chọn một trong hai để giải

Ví dụ :

Xét trò chơi giữa A và B có bảng điểm như sau :

1 2 3  B
A 
1 -1 2 1
2 1 -2 2
3 3 4 -3

Theo chiến thuật của A và của B ta có :

MaxiMin(A) = a11

MiniMax(B) = a23

Tăng đồng loạt các ô của bảng điểm lên 4 ta được :

1 2 3  B
A 
1 3 6 5
2 5 2 6
3 7 8 1

Gọi

pi  0 là tần suất nước đi thứ i của A (i=1 3)

p1 + p2 + p3 = 1

qj  0 là tần suất nước đi thứ j của B (j=1 3)

q1 + q2 + q3 =1

Thực hiện tương tự như trên ta được hai bài toán đối ngẫu như sau :

q1 q2 q3  B
A 
p1 3 6 5
p2 5 2 6
p3 7 8 1

(D) min w = 1 g 1 = x 1 + x 2 + x 3 3x 1 + 5x 2 + 7x 3 1 6x 1 + 2x 2 + 8x 3 1 5x 1 + 6x 2 + x 3 1 x 1 > 0 , x 2 > 0 , x 3 > 0 { { { { size 12{alignl { stack { left lbrace "min"" w"= { {1} over {g rSub { size 8{1} } } } =x rSub { size 8{1} } +x rSub { size 8{2} } +x rSub { size 8{3} } {} #right none left lbrace 3x rSub { size 8{1} } +5x rSub { size 8{2} } +7x rSub { size 8{3} }>= 1 {} # right none left lbrace 6x rSub { size 8{1} } +2x rSub { size 8{2} } +8x rSub { size 8{3} }>= 1 {} # right none left lbrace 5x rSub { size 8{1} } +6x rSub { size 8{2} } +x rSub { size 8{3} }>= 1 {} # right none left lbrace " x" rSub { size 8{1} }>0" "," x" rSub { size 8{2} }>0" "," x" rSub { size 8{3} }>0 {} # right no } } lbrace } {} (P) max z = 1 g 2 = y 1 + y 2 + y 3 3y 1 + 6y 2 + 5y 3 1 5y 1 + 2y 2 + 6y 3 1 7y 1 + 8y 2 + y 3 1 y 1 > 0 , y 2 > 0 , y 3 > 0 { { { { size 12{alignl { stack { left lbrace "max"z= { {1} over {g rSub { size 8{2} } } } =y rSub { size 8{1} } +y rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{3} } {} #right none left lbrace 3y rSub { size 8{1} } +6y rSub { size 8{2} } +5y rSub { size 8{3} }<= 1" " {} # right none left lbrace 5y rSub { size 8{1} } +2y rSub { size 8{2} } +6y rSub { size 8{3} }<= 1" " {} # right none left lbrace 7y rSub { size 8{1} } +8y rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{3} }<= 1" " {} # right none left lbrace y rSub { size 8{1} }>0" "," y" rSub { size 8{2} }>0" "," y" rSub { size 8{3} }>0 {} # right no } } lbrace } {}

Ta chọn bài toán (P) để giải.

Ðưa bài toán (P) về dạng chuẩn :

(P) max z = 1 g 2 = y 1 + y 2 + y 3 + 0 . y 4 + 0 . y 5 + 0 . y 6 3y 1 + 6y 2 + 5y 3 + y 4 = 1 5y 1 + 2y 2 + 6y 3 + y 5 = 1 7y 1 + 8y 2 + y 3 + y 6 = 1 y 1 > 0 , y 2 > 0 , y 3 > 0, y 4 > 0 , y 5 > 0 , y 6 > 0 { { { { size 12{alignl { stack { left lbrace "max z"= { {1} over {g rSub { size 8{2} } } } =y rSub { size 8{1} } +y rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{3} } +0 "." y rSub { size 8{4} } +0 "." y rSub { size 8{5} } +0 "." y rSub { size 8{6} } {} #right none left lbrace "3y" rSub { size 8{1} } +"6y" rSub { size 8{2} } +"5y" rSub { size 8{3} } +y rSub { size 8{4} } ="1 " {} # right none left lbrace "5y" rSub { size 8{1} } +"2y" rSub { size 8{2} } +"6y" rSub { size 8{3} } +y rSub { size 8{5} } ="1 " {} #right none left lbrace "7y" rSub { size 8{1} } +"8y" rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{3} } +y rSub { size 8{6} } ="1 " {} # right none left lbrace y rSub { size 8{1} }>"0 , y" rSub { size 8{2} }>"0 , y" rSub { size 8{3} }>"0, y" rSub { size 8{4} }>"0 , y" rSub { size 8{5} }>"0 , y" rSub { size 8{6} }>0 {} # right no } } lbrace } {}

Dùng giải thuật đơn hình cải tiến :

c B 0 size 12{c rSub { size 8{B rSub { size 6{0} } } } } {} i B 0 size 12{i rSub { size 8{B rSub { size 6{0} } } } } {} y 1 size 12{y rSub { size 8{1} } } {} y 2 size 12{y rSub { size 8{2} } } {} y 3 size 12{y rSub { size 8{3} } } {} y 4 size 12{y rSub { size 8{4} } } {} y 5 size 12{y rSub { size 8{5} } } {} y 6 size 12{y rSub { size 8{6} } } {} b ¯ 0 size 12{ {overline {b}} rSub { size 8{0} } } {}
0 4 3 6 5 1 0 0 1
0 5 5 2 6 0 1 0 1
0 6 7 8 1 0 0 1 1
c T size 12{c rSup { size 8{T} } } {} 1 1 1 0 0 0 z 0 size 12{z rSub { size 8{0} } } {}
c ¯ 0 T size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{0} } rSup { size 8{T} } } {} 1 1 1 0 0 0 0
c B 1 size 12{c rSub { size 8{B rSub { size 6{1} } } } } {} i B 1 size 12{i rSub { size 8{B rSub { size 6{1} } } } } {} y 1 size 12{y rSub { size 8{1} } } {} y 2 size 12{y rSub { size 8{2} } } {} y 3 size 12{y rSub { size 8{3} } } {} y 4 size 12{y rSub { size 8{4} } } {} y 5 size 12{y rSub { size 8{5} } } {} y 6 size 12{y rSub { size 8{6} } } {} b ¯ 1 size 12{ {overline {b}} rSub { size 8{1} } } {}
0 4 0 18 7 size 12{ { {"18"} over {7} } } {} 32 7 size 12{ { {"32"} over {7} } } {} 1 0 3 7 size 12{ - { {3} over {7} } } {} 4 7 size 12{ { {4} over {7} } } {}
0 5 0 26 7 size 12{ - { {"26"} over {7} } } {} 37 7 size 12{ { {"37"} over {7} } } {} 0 1 5 7 size 12{ - { {5} over {7} } } {} 2 7 size 12{ { {2} over {7} } } {}
1 1 1 8 7 size 12{ { {8} over {7} } } {} 1 7 size 12{ { {1} over {7} } } {} 0 0 1 7 size 12{ { {1} over {7} } } {} 1 7 size 12{ { {1} over {7} } } {}
c T size 12{c rSup { size 8{T} } } {} 1 1 1 0 0 0 z 1 size 12{z rSub { size 8{1} } } {}
c ¯ 1 T size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{1} } rSup { size 8{T} } } {} 0 1 7 size 12{ - { {1} over {7} } } {} 6 7 size 12{ { {6} over {7} } } {} 0 0 1 7 size 12{ - { {1} over {7} } } {} 1 7 size 12{ { {1} over {7} } } {}

Questions & Answers

are nano particles real
Missy Reply
yeah
Joseph
Hello, if I study Physics teacher in bachelor, can I study Nanotechnology in master?
Lale Reply
no can't
Lohitha
where we get a research paper on Nano chemistry....?
Maira Reply
nanopartical of organic/inorganic / physical chemistry , pdf / thesis / review
Ali
what are the products of Nano chemistry?
Maira Reply
There are lots of products of nano chemistry... Like nano coatings.....carbon fiber.. And lots of others..
learn
Even nanotechnology is pretty much all about chemistry... Its the chemistry on quantum or atomic level
learn
Google
da
no nanotechnology is also a part of physics and maths it requires angle formulas and some pressure regarding concepts
Bhagvanji
hey
Giriraj
Preparation and Applications of Nanomaterial for Drug Delivery
Hafiz Reply
revolt
da
Application of nanotechnology in medicine
has a lot of application modern world
Kamaluddeen
yes
narayan
what is variations in raman spectra for nanomaterials
Jyoti Reply
ya I also want to know the raman spectra
Bhagvanji
I only see partial conversation and what's the question here!
Crow Reply
what about nanotechnology for water purification
RAW Reply
please someone correct me if I'm wrong but I think one can use nanoparticles, specially silver nanoparticles for water treatment.
Damian
yes that's correct
Professor
I think
Professor
Nasa has use it in the 60's, copper as water purification in the moon travel.
Alexandre
nanocopper obvius
Alexandre
what is the stm
Brian Reply
is there industrial application of fullrenes. What is the method to prepare fullrene on large scale.?
Rafiq
industrial application...? mmm I think on the medical side as drug carrier, but you should go deeper on your research, I may be wrong
Damian
How we are making nano material?
LITNING Reply
what is a peer
LITNING Reply
What is meant by 'nano scale'?
LITNING Reply
What is STMs full form?
LITNING
scanning tunneling microscope
Sahil
how nano science is used for hydrophobicity
Santosh
Do u think that Graphene and Fullrene fiber can be used to make Air Plane body structure the lightest and strongest. Rafiq
Rafiq
what is differents between GO and RGO?
Mahi
what is simplest way to understand the applications of nano robots used to detect the cancer affected cell of human body.? How this robot is carried to required site of body cell.? what will be the carrier material and how can be detected that correct delivery of drug is done Rafiq
Rafiq
if virus is killing to make ARTIFICIAL DNA OF GRAPHENE FOR KILLED THE VIRUS .THIS IS OUR ASSUMPTION
Anam
analytical skills graphene is prepared to kill any type viruses .
Anam
Any one who tell me about Preparation and application of Nanomaterial for drug Delivery
Hafiz
what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Quy hoạch tuyến tính. OpenStax CNX. Aug 08, 2009 Download for free at http://cnx.org/content/col10903/1.1
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Quy hoạch tuyến tính' conversation and receive update notifications?

Ask