<< Chapter < Page Chapter >> Page >

Inleiding

In graad 10 het jy geleer van rekenkundige rye, waar die verskil tussen opeenvolgende terme konstant was. In hierdie hoofstuk leer ons van kwadratiese rye.

Wat is 'n kwadratiese ry ?

Kwadratiese ry

'n Kwadratiese ry is 'n ry waar die tweede verskille tussen opeenvolgende terme met dieselfde hoeveelheid verskil. Dit word 'n gemene tweede verskil genoem.

Byvoorbeeld

1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 11 ; ...

is 'n kwadratiese ry. Kom ons stel vas hoekom ...

Indien ons die verskil tussen opeenvolgende terme neem, is

a 2 - a 1 = 2 - 1 = 1 a 3 - a 2 = 4 - 2 = 2 a 4 - a 3 = 7 - 4 = 3 a 5 - a 4 = 11 - 7 = 4

dan werk ons die tweede verskille uit, wat bloot gekry word deur die verskille tussen opeenvolgende verskille { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... } te neem:

2 - 1 = 1 3 - 2 = 1 4 - 3 = 1 ...

Ons sien dan dat die tweede verskille gelyk is aan "1". Dus is [link] 'n kwadratiese ry .

Let op dat die verskille tussen opeenvolgende terme (met ander woorde, die eerste verskille) van 'n kwadratiese ry, 'n ry vorm waar daar 'n konstante verskil is tussen opeenvolgende terme. In die voorbeeld hier bo, het die ry { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... }, wat gevorm is die die verskille tussen opeenvolgende terme van [link] te neem, 'n linêere formule van die vorm a x + b .

Kwadratiese rye

Die volgende is ook voorbeelde van kwadratiese rye:

3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; ... 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; ... 7 ; 17 ; 31 ; 49 ; 71 ; ... 2 ; 10 ; 26 ; 50 ; 82 ; ... 31 ; 30 ; 27 ; 22 ; 15 ; ...

Kan jy die gemene tweede verskille vir elk van die voorbeelde hier bo bereken?

Skryf neer die volgende twee terme en vind 'n formule vir die n de term in die ry 5 , 12 , 23 , 38 , . . . , . . . ,

  1. i.e. 7 , 11 , 15

  2. die tweede verskil is 4.

    As ons die ry voortsit, sal die verskille tussen terme die volgende wees:

    15 + 4 = 19

    19 + 4 = 23

  3. Dus sal die volgende twee terme in die reeks die volgende wees:

    38 + 19 = 57

    57 + 23 = 80

    Dus sal die ry die volgende wees: 5 , 12 , 23 , 38 , 57 , 80

  4. Ons weet dat die tweede verskil 4 is. Die begin van die formule sal dus 2 n 2 wees.

  5. Indien n = 1 , moet jy die volgende waarde in die ry kry, wat "5" vir hierdie spesifieke ry is. Die verskil tussen 2 n 2 = 2 en die oorspronklike getal (5) is 3, wat lei tot n + 2 .

    Kyk of dit werk vir die tweede terme, d.i. wanneer n = 2 .

    Dan is 2 n 2 = 8 . Die verskil tussen term twee en (12) en 8 is 4, wat geskryf kan word as n + 2 .

    Dus vir die ry 5 , 12 , 23 , 38 , . . . is die formule vir die n de term 2 n 2 + n + 2 .

Algemene geval

Indien die ry kwadraties is, moet die n de term T n = a n 2 + b n + c wees

TERME a + b + c 4 a + 2 b + c 9 a + 3 b + c
1 ste verskil 3 a + b 5 a + b 7 a + b
2 de verskil 2 a 2 a

In elke geval is die tweede verskil 2 a . Hierdie feit kan gebruik word om a te vind, dan b en dan c .

Die volgende ry is kwadraties: 8 , 22 , 42 , 68 , . . . Vind die formule.

  1. TERME 8 22 42 68
    1 ste verskil 14 20 26
    2 de verskil 6 6 6
  2. Dan is 2 a = 6 wat gee a = 3 En 3 a + b = 14 9 + b = 14 b = 5 En a + b + c = 8 3 + 5 + c = 8 c = 0
  3. Die formule is dus:     n de t e r m = 3 n 2 + 5 n

  4. Vir

    n = 1 , T 1 = 3 ( 1 ) 2 + 5 ( 1 ) = 8 n = 2 , T 2 = 3 ( 2 ) 2 + 5 ( 2 ) = 22 n = 3 , T 3 = 3 ( 3 ) 2 + 5 ( 3 ) = 42

Bepaling van die n de -term van 'n kwadratiese ry

Laat die n d e -term vir 'n kwadratiese ry gegee word deur

a n = A · n 2 + B · n + C

waar A , B and C konstantes is wat bepaal moet word.

a n = A · n 2 + B · n + C a 1 = A ( 1 ) 2 + B ( 1 ) + C = A + B + C a 2 = A ( 2 ) 2 + B ( 2 ) + C = 4 A + 2 B + C a 3 = A ( 3 ) 2 + B ( 3 ) + C = 9 A + 3 B + C
Laat d = a 2 - a 1 d = 3 A + B
B = d - 3 A

Die gemene tweede verskil word gekry vanaf

D = ( a 3 - a 2 ) - ( a 2 - a 1 ) = ( 5 A + B ) - ( 3 A + B ) = 2 A
A = D 2

Dus, vanuit [link] ,

B = d - 3 2 · D

Vanuit [link] ,

C = a 1 - ( A + B ) = a 1 - D 2 - d + 3 2 · D
C = a 1 + D - d

Uiteindelik word die algemene formule vir die n d e term van 'n kwadratiese ry gegee deur

a n = D 2 · n 2 + ( d - 3 2 D ) · n + ( a 1 - d + D )

Bestudeer die volgende patroon: 1; 7; 19; 37; 61; ...

  1. Wat is die volgende getal in die ry?
  2. Gebruik veranderlikes om 'n algebraïese formula op te stel wat die patroon veralgemeen.
  3. Wat sal die 100 ste term van die ry wees?
  1. Die getalle vermeerder met veelvoude van 6

    1 + 6 ( 1 ) = 7 , dan is 7 + 6 ( 2 ) = 19

    19 + 6 ( 3 ) = 37 , dan is 37 + 6 ( 4 ) = 61

    Dus is 61 + 6 ( 5 ) = 91

    Die volgende getal in die ry is 91.

  2. TERME 1 7 19 37 61
    1 ste verskil 6 12 18 24
    2 de verskil 6 6 6 6

    Die patroon sal 'n kwadratiese patroon opbring, aangesien die tweede verskille konstant is.

    Dus is a n 2 + b n + c = y

    Vir die eerste term: n = 1 , dan is y = 1

    Vir die tweede term: n = 2 , dan is y = 7

    Vir die derde term: n = 3 , dan is y = 19

    ensovoorts....

  3. a + b + c = 1 4 a + 2 b + c = 7 9 a + 3 b + c = 19
  4. verg. ( 2 ) - verg. ( 1 ) : 3 a + b = 6 verg. ( 3 ) - verg. ( 2 ) : 5 a + b = 12 verg. ( 5 ) - verg. ( 4 ) : 2 a = 6 a = 3 , b = - 3 e n c = 1
  5. Die algemene formule vir die patroon is 3 n 2 - 3 n + 1

  6. Vervang n met 100:

    3 ( 100 ) 2 - 3 ( 100 ) + 1 = 29 701

    Die waarde van die 100 ste term is 29 701.

Teken 'n grafiek van die terme van 'n kwadratiese ry

Die plot van a n vs. n lewer 'n paraboliese grafiek vir 'n kwadratiese ry,

gegee die kwadratiese ry

3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; ...

Indien ons elke van die terme teenoor die ooreenstemmende indeks teken, kry ons die grafiek van 'n parabool.

Oefeninge

  1. Vind die eerste 5 terme van die kwadratiese ry gedefinieer deur:
    a n = n 2 + 2 n + 1
  2. Bepaal watter van die volgende rye kwadraties is deur die gemene tweede verskille te bereken:
    1. 6 ; 9 ; 14 ; 21 ; 30 ; ...
    2. 1 ; 7 ; 17 ; 31 ; 49 ; ...
    3. 8 ; 17 ; 32 ; 53 ; 80 ; ...
    4. 9 ; 26 ; 51 ; 84 ; 125 ; ...
    5. 2 ; 20 ; 50 ; 92 ; 146 ; ...
    6. 5 ; 19 ; 41 ; 71 ; 109 ; ...
    7. 2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18 ; ...
    8. 3 ; 9 ; 15 ; 21 ; 27 ; ...
    9. 10 ; 24 ; 44 ; 70 ; 102 ; ...
    10. 1 ; 2 , 5 ; 5 ; 8 , 5 ; 13 ; ...
    11. 2 , 5 ; 6 ; 10 , 5 ; 16 ; 22 , 5 ; ...
    12. 0 , 5 ; 9 ; 20 , 5 ; 35 ; 52 , 5 ; ...
  3. Gegee a n = 2 n 2 , vind die waarde van n , a n = 242
  4. Gegee a n = ( n - 4 ) 2 , vind vir watter waarde van n , a n = 36
  5. Gegee a n = n 2 + 4 , vind die waarde van n , a n = 85
  6. Gegee a n = 3 n 2 , vind a 11
  7. Gegee a n = 7 n 2 + 4 n , vind a 9
  8. Gegee a n = 4 n 2 + 3 n - 1 , vind a 5
  9. Gegee a n = 1 , 5 n 2 , vind a 10
  10. Vir elke van die kwadratiese rye, vind die gemene tweede verskil, die formule vir die algemene term en gebruik dan die formule om a 100 te vind.
    1. 4 , 7 , 12 , 19 , 28 , ...
    2. 2 , 8 , 18 , 32 , 50 , ...
    3. 7 , 13 , 23 , 37 , 55 , ...
    4. 5 , 14 , 29 , 50 , 77 , ...
    5. 7 , 22 , 47 , 82 , 127 , ...
    6. 3 , 10 , 21 , 36 , 55 , ...
    7. 3 , 7 , 13 , 21 , 31 , ...
    8. 3 , 9 , 17 , 27 , 39 , ...

Questions & Answers

how can chip be made from sand
Eke Reply
is this allso about nanoscale material
Almas
are nano particles real
Missy Reply
yeah
Joseph
Hello, if I study Physics teacher in bachelor, can I study Nanotechnology in master?
Lale Reply
no can't
Lohitha
where is the latest information on a no technology how can I find it
William
currently
William
where we get a research paper on Nano chemistry....?
Maira Reply
nanopartical of organic/inorganic / physical chemistry , pdf / thesis / review
Ali
what are the products of Nano chemistry?
Maira Reply
There are lots of products of nano chemistry... Like nano coatings.....carbon fiber.. And lots of others..
learn
Even nanotechnology is pretty much all about chemistry... Its the chemistry on quantum or atomic level
learn
Google
da
no nanotechnology is also a part of physics and maths it requires angle formulas and some pressure regarding concepts
Bhagvanji
hey
Giriraj
Preparation and Applications of Nanomaterial for Drug Delivery
Hafiz Reply
revolt
da
Application of nanotechnology in medicine
has a lot of application modern world
Kamaluddeen
yes
narayan
what is variations in raman spectra for nanomaterials
Jyoti Reply
ya I also want to know the raman spectra
Bhagvanji
I only see partial conversation and what's the question here!
Crow Reply
what about nanotechnology for water purification
RAW Reply
please someone correct me if I'm wrong but I think one can use nanoparticles, specially silver nanoparticles for water treatment.
Damian
yes that's correct
Professor
I think
Professor
Nasa has use it in the 60's, copper as water purification in the moon travel.
Alexandre
nanocopper obvius
Alexandre
what is the stm
Brian Reply
is there industrial application of fullrenes. What is the method to prepare fullrene on large scale.?
Rafiq
industrial application...? mmm I think on the medical side as drug carrier, but you should go deeper on your research, I may be wrong
Damian
How we are making nano material?
LITNING Reply
what is a peer
LITNING Reply
What is meant by 'nano scale'?
LITNING Reply
What is STMs full form?
LITNING
scanning tunneling microscope
Sahil
how nano science is used for hydrophobicity
Santosh
Do u think that Graphene and Fullrene fiber can be used to make Air Plane body structure the lightest and strongest. Rafiq
Rafiq
what is differents between GO and RGO?
Mahi
what is simplest way to understand the applications of nano robots used to detect the cancer affected cell of human body.? How this robot is carried to required site of body cell.? what will be the carrier material and how can be detected that correct delivery of drug is done Rafiq
Rafiq
if virus is killing to make ARTIFICIAL DNA OF GRAPHENE FOR KILLED THE VIRUS .THIS IS OUR ASSUMPTION
Anam
analytical skills graphene is prepared to kill any type viruses .
Anam
Any one who tell me about Preparation and application of Nanomaterial for drug Delivery
Hafiz
what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11). OpenStax CNX. Sep 20, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11339/1.4
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11)' conversation and receive update notifications?

Ask