<< Chapter < Page Chapter >> Page >

Inleiding

In graad 10 het jy geleer van rekenkundige rye, waar die verskil tussen opeenvolgende terme konstant was. In hierdie hoofstuk leer ons van kwadratiese rye.

Wat is 'n kwadratiese ry ?

Kwadratiese ry

'n Kwadratiese ry is 'n ry waar die tweede verskille tussen opeenvolgende terme met dieselfde hoeveelheid verskil. Dit word 'n gemene tweede verskil genoem.

Byvoorbeeld

1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 11 ; ...

is 'n kwadratiese ry. Kom ons stel vas hoekom ...

Indien ons die verskil tussen opeenvolgende terme neem, is

a 2 - a 1 = 2 - 1 = 1 a 3 - a 2 = 4 - 2 = 2 a 4 - a 3 = 7 - 4 = 3 a 5 - a 4 = 11 - 7 = 4

dan werk ons die tweede verskille uit, wat bloot gekry word deur die verskille tussen opeenvolgende verskille { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... } te neem:

2 - 1 = 1 3 - 2 = 1 4 - 3 = 1 ...

Ons sien dan dat die tweede verskille gelyk is aan "1". Dus is [link] 'n kwadratiese ry .

Let op dat die verskille tussen opeenvolgende terme (met ander woorde, die eerste verskille) van 'n kwadratiese ry, 'n ry vorm waar daar 'n konstante verskil is tussen opeenvolgende terme. In die voorbeeld hier bo, het die ry { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... }, wat gevorm is die die verskille tussen opeenvolgende terme van [link] te neem, 'n linêere formule van die vorm a x + b .

Kwadratiese rye

Die volgende is ook voorbeelde van kwadratiese rye:

3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; ... 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; ... 7 ; 17 ; 31 ; 49 ; 71 ; ... 2 ; 10 ; 26 ; 50 ; 82 ; ... 31 ; 30 ; 27 ; 22 ; 15 ; ...

Kan jy die gemene tweede verskille vir elk van die voorbeelde hier bo bereken?

Skryf neer die volgende twee terme en vind 'n formule vir die n de term in die ry 5 , 12 , 23 , 38 , . . . , . . . ,

  1. i.e. 7 , 11 , 15

  2. die tweede verskil is 4.

    As ons die ry voortsit, sal die verskille tussen terme die volgende wees:

    15 + 4 = 19

    19 + 4 = 23

  3. Dus sal die volgende twee terme in die reeks die volgende wees:

    38 + 19 = 57

    57 + 23 = 80

    Dus sal die ry die volgende wees: 5 , 12 , 23 , 38 , 57 , 80

  4. Ons weet dat die tweede verskil 4 is. Die begin van die formule sal dus 2 n 2 wees.

  5. Indien n = 1 , moet jy die volgende waarde in die ry kry, wat "5" vir hierdie spesifieke ry is. Die verskil tussen 2 n 2 = 2 en die oorspronklike getal (5) is 3, wat lei tot n + 2 .

    Kyk of dit werk vir die tweede terme, d.i. wanneer n = 2 .

    Dan is 2 n 2 = 8 . Die verskil tussen term twee en (12) en 8 is 4, wat geskryf kan word as n + 2 .

    Dus vir die ry 5 , 12 , 23 , 38 , . . . is die formule vir die n de term 2 n 2 + n + 2 .

Algemene geval

Indien die ry kwadraties is, moet die n de term T n = a n 2 + b n + c wees

TERME a + b + c 4 a + 2 b + c 9 a + 3 b + c
1 ste verskil 3 a + b 5 a + b 7 a + b
2 de verskil 2 a 2 a

In elke geval is die tweede verskil 2 a . Hierdie feit kan gebruik word om a te vind, dan b en dan c .

Die volgende ry is kwadraties: 8 , 22 , 42 , 68 , . . . Vind die formule.

  1. TERME 8 22 42 68
    1 ste verskil 14 20 26
    2 de verskil 6 6 6
  2. Dan is 2 a = 6 wat gee a = 3 En 3 a + b = 14 9 + b = 14 b = 5 En a + b + c = 8 3 + 5 + c = 8 c = 0
  3. Die formule is dus:     n de t e r m = 3 n 2 + 5 n

  4. Vir

    n = 1 , T 1 = 3 ( 1 ) 2 + 5 ( 1 ) = 8 n = 2 , T 2 = 3 ( 2 ) 2 + 5 ( 2 ) = 22 n = 3 , T 3 = 3 ( 3 ) 2 + 5 ( 3 ) = 42

Bepaling van die n de -term van 'n kwadratiese ry

Laat die n d e -term vir 'n kwadratiese ry gegee word deur

a n = A · n 2 + B · n + C

waar A , B and C konstantes is wat bepaal moet word.

a n = A · n 2 + B · n + C a 1 = A ( 1 ) 2 + B ( 1 ) + C = A + B + C a 2 = A ( 2 ) 2 + B ( 2 ) + C = 4 A + 2 B + C a 3 = A ( 3 ) 2 + B ( 3 ) + C = 9 A + 3 B + C
Laat d = a 2 - a 1 d = 3 A + B
B = d - 3 A

Die gemene tweede verskil word gekry vanaf

D = ( a 3 - a 2 ) - ( a 2 - a 1 ) = ( 5 A + B ) - ( 3 A + B ) = 2 A
A = D 2

Dus, vanuit [link] ,

B = d - 3 2 · D

Vanuit [link] ,

C = a 1 - ( A + B ) = a 1 - D 2 - d + 3 2 · D
C = a 1 + D - d

Uiteindelik word die algemene formule vir die n d e term van 'n kwadratiese ry gegee deur

a n = D 2 · n 2 + ( d - 3 2 D ) · n + ( a 1 - d + D )

Bestudeer die volgende patroon: 1; 7; 19; 37; 61; ...

  1. Wat is die volgende getal in die ry?
  2. Gebruik veranderlikes om 'n algebraïese formula op te stel wat die patroon veralgemeen.
  3. Wat sal die 100 ste term van die ry wees?
  1. Die getalle vermeerder met veelvoude van 6

    1 + 6 ( 1 ) = 7 , dan is 7 + 6 ( 2 ) = 19

    19 + 6 ( 3 ) = 37 , dan is 37 + 6 ( 4 ) = 61

    Dus is 61 + 6 ( 5 ) = 91

    Die volgende getal in die ry is 91.

  2. TERME 1 7 19 37 61
    1 ste verskil 6 12 18 24
    2 de verskil 6 6 6 6

    Die patroon sal 'n kwadratiese patroon opbring, aangesien die tweede verskille konstant is.

    Dus is a n 2 + b n + c = y

    Vir die eerste term: n = 1 , dan is y = 1

    Vir die tweede term: n = 2 , dan is y = 7

    Vir die derde term: n = 3 , dan is y = 19

    ensovoorts....

  3. a + b + c = 1 4 a + 2 b + c = 7 9 a + 3 b + c = 19
  4. verg. ( 2 ) - verg. ( 1 ) : 3 a + b = 6 verg. ( 3 ) - verg. ( 2 ) : 5 a + b = 12 verg. ( 5 ) - verg. ( 4 ) : 2 a = 6 a = 3 , b = - 3 e n c = 1
  5. Die algemene formule vir die patroon is 3 n 2 - 3 n + 1

  6. Vervang n met 100:

    3 ( 100 ) 2 - 3 ( 100 ) + 1 = 29 701

    Die waarde van die 100 ste term is 29 701.

Teken 'n grafiek van die terme van 'n kwadratiese ry

Die plot van a n vs. n lewer 'n paraboliese grafiek vir 'n kwadratiese ry,

gegee die kwadratiese ry

3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; ...

Indien ons elke van die terme teenoor die ooreenstemmende indeks teken, kry ons die grafiek van 'n parabool.

Oefeninge

  1. Vind die eerste 5 terme van die kwadratiese ry gedefinieer deur:
    a n = n 2 + 2 n + 1
  2. Bepaal watter van die volgende rye kwadraties is deur die gemene tweede verskille te bereken:
    1. 6 ; 9 ; 14 ; 21 ; 30 ; ...
    2. 1 ; 7 ; 17 ; 31 ; 49 ; ...
    3. 8 ; 17 ; 32 ; 53 ; 80 ; ...
    4. 9 ; 26 ; 51 ; 84 ; 125 ; ...
    5. 2 ; 20 ; 50 ; 92 ; 146 ; ...
    6. 5 ; 19 ; 41 ; 71 ; 109 ; ...
    7. 2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18 ; ...
    8. 3 ; 9 ; 15 ; 21 ; 27 ; ...
    9. 10 ; 24 ; 44 ; 70 ; 102 ; ...
    10. 1 ; 2 , 5 ; 5 ; 8 , 5 ; 13 ; ...
    11. 2 , 5 ; 6 ; 10 , 5 ; 16 ; 22 , 5 ; ...
    12. 0 , 5 ; 9 ; 20 , 5 ; 35 ; 52 , 5 ; ...
  3. Gegee a n = 2 n 2 , vind die waarde van n , a n = 242
  4. Gegee a n = ( n - 4 ) 2 , vind vir watter waarde van n , a n = 36
  5. Gegee a n = n 2 + 4 , vind die waarde van n , a n = 85
  6. Gegee a n = 3 n 2 , vind a 11
  7. Gegee a n = 7 n 2 + 4 n , vind a 9
  8. Gegee a n = 4 n 2 + 3 n - 1 , vind a 5
  9. Gegee a n = 1 , 5 n 2 , vind a 10
  10. Vir elke van die kwadratiese rye, vind die gemene tweede verskil, die formule vir die algemene term en gebruik dan die formule om a 100 te vind.
    1. 4 , 7 , 12 , 19 , 28 , ...
    2. 2 , 8 , 18 , 32 , 50 , ...
    3. 7 , 13 , 23 , 37 , 55 , ...
    4. 5 , 14 , 29 , 50 , 77 , ...
    5. 7 , 22 , 47 , 82 , 127 , ...
    6. 3 , 10 , 21 , 36 , 55 , ...
    7. 3 , 7 , 13 , 21 , 31 , ...
    8. 3 , 9 , 17 , 27 , 39 , ...

Questions & Answers

How we are making nano material?
LITNING Reply
what is a peer
LITNING Reply
What is meant by 'nano scale'?
LITNING Reply
What is STMs full form?
LITNING
scanning tunneling microscope
Sahil
what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
anyone know any internet site where one can find nanotechnology papers?
Damian Reply
research.net
kanaga
sciencedirect big data base
Ernesto
Introduction about quantum dots in nanotechnology
Praveena Reply
what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
how to know photocatalytic properties of tio2 nanoparticles...what to do now
Akash Reply
it is a goid question and i want to know the answer as well
Maciej
characteristics of micro business
Abigail
for teaching engĺish at school how nano technology help us
Anassong
How can I make nanorobot?
Lily
Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
there is no specific books for beginners but there is book called principle of nanotechnology
NANO
how can I make nanorobot?
Lily
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
fullerene is a bucky ball aka Carbon 60 molecule. It was name by the architect Fuller. He design the geodesic dome. it resembles a soccer ball.
Tarell
what is the actual application of fullerenes nowadays?
Damian
That is a great question Damian. best way to answer that question is to Google it. there are hundreds of applications for buck minister fullerenes, from medical to aerospace. you can also find plenty of research papers that will give you great detail on the potential applications of fullerenes.
Tarell
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
Mostly, they use nano carbon for electronics and for materials to be strengthened.
Virgil
is Bucky paper clear?
CYNTHIA
carbon nanotubes has various application in fuel cells membrane, current research on cancer drug,and in electronics MEMS and NEMS etc
NANO
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11). OpenStax CNX. Sep 20, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11339/1.4
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11)' conversation and receive update notifications?

Ask