<< Chapter < Page Chapter >> Page >
Се дефинира апсолутна вредност и нејзини својства.

Апсолутна вредност

Дефиниција.

Апсолутна вредност или модул на бројот a R size 12{a in R} {} се означу­ва со a size 12{ \lline a \lline } {} и тоа е позитивниот број определен со изразот

a = { a , a > 0 0, a = 0 a , a < 0 . size 12{ \lline a \lline = left lbrace matrix { a,~a>0 {} ## 0,~a=0 {} ##- a,~a<0 "." } right none } {}

Од дефиницијата за апсолутна вредност следува дека секогаш a 0 . size 12{ \lline a \lline>= 0 "." } {}

Пример.

25 = 25 ; 0 = 0 ; 6 = ( 6 ) = 6 . size 12{ \lline "25" \lline ="25";~ \lline 0 \lline =0;~ \lline - 6 \lline = - \( - 6 \) =6 "." } {}

За апсолутна вредност важат следните релации:

a b = a b size 12{ \lline a cdot b \lline = \lline a \lline cdot \lline b \lline } {} ,

a b = a b , ( b 0 ) , size 12{ lline ` { {a} over {b} } ` rline = { { \lline a \lline } over { \lline b \lline } } ,~ \( b<>0 \) ,} {}

a + b a + b . size 12{ \lline a+b \lline<= \lline a \lline + \lline b \lline "." } {}

Релацијата

x a size 12{ \lline x \lline<= a} {}

означува дека

a x a . size 12{ - a<= x<= a "." } {}

Согласно на претходната релација, релацијата

x p a size 12{ \lline x - p \lline<= a} {}

ќе означува дека

a x p a , size 12{ - a<= x - p<= a,} {}

односно

p a x p + a . size 12{p - a<= x<= p+a "." } {}

Задача.

Да се најдат решенијата на неравенката x 3 1 1 x . size 12{ \lline x rSup { size 8{3} } - 1 \lline>= 1 - x "." } {}

Решение.

Од разложувањето

x 3 1 = ( x 1 ) ( x 2 + x + 1 ) size 12{x rSup { size 8{3} } - 1= \( x - 1 \) \( x rSup { size 8{2} } +x+1 \) } {} и x 2 + x + 1 > 0, x R , size 12{x rSup { size 8{2} } +x+1>0,`` forall x in R,} {}

следува дека

x 3 1 = x 1 ( x 2 + x + 1 ) . size 12{ \lline x rSup { size 8{3} } - 1 \lline = \lline x - 1 \lline \( x rSup { size 8{2} } +x+1 \) "." } {}

Со примена на дефиницијата за апсолутна вредност се добива

x 1 = { x 1, x > 1 0, x = 1 x + 1, x < 1 size 12{ \lline x - 1 \lline = left lbrace matrix { x - 1,``x>1 {} ## 0,``x=1 {} ##- x+1,``x<1 } right none } {}

и затоа неравенката ќе се разгледува во следните два интервали I 1 = ( , 1 ) size 12{I rSub { size 8{1} } = \( - infinity ,1 \) } {} и I 2 = [ 1, + ) size 12{I rSub { size 8{2} } = \[ 1,+ infinity \) } {} .

  • Најпрво нека x I 1 = ( , 1 ) size 12{x in I rSub { size 8{1} } = \( - infinity ,1 \) } {} .

Во овој интервал x 1 = x + 1 = 1 x > 0 size 12{ \lline x - 1 \lline = - x+1=1 - x>0} {} и неравнката ќе го има обликот

( x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) 1 x size 12{ \( - x+1 \) \( x rSup { size 8{2} } +x+1 \)>= 1 - x} {}

и по кратење со 1 x 0 size 12{1 - x<>0} {} се добива неравенството

x 2 x 0 size 12{x rSup { size 8{2} } - x>= 0} {} кое е точно за x { ( , 1 ] [ 0, + ) } I 1 = ( , 1 ] [ 0,1 ) . size 12{x in lbrace \( - infinity , - 1 \] union \[ 0,+ infinity \) rbrace intersection I rSub { size 8{1} } = \( - infinity , - 1 \]union \[ 0,1 \) "." } {}

  • Нека x I 2 = [ 1, + ) . size 12{x in I rSub { size 8{2} } = \[ 1,+ infinity \) "." } {}

Во овој интервал x 1 = x 1 size 12{ \lline x - 1 \lline =x - 1} {} и неравнката ќе го има обликот

( x 1 ) ( x 2 + x + 1 ) 1 x size 12{ \( x - 1 \) \( x rSup { size 8{2} } +x+1 \)>= 1 - x} {}

и по аналогна постапка како во првиот интервал се добива неравенството

x 2 + x + 2 0 size 12{x rSup { size 8{2} } +x+2>= 0} {}

кое е секогаш точно, па затоа решението во овој интервал ќе биде целиот интервал, односно x [ 1, + ) . size 12{x in \[ 1,+ infinity \) "." } {}

Следува дека решението на задачата ќе биде унија од решенијата, односно

x ( , 1 ] [ 0,1 ) [ 1, + ) = ( , 1 ] [ 0, + ) . size 12{x in \( - infinity , - 1 \] union \[ 0,1 \) union \[ 1,+ infinity \) = \( - infinity , - 1 \]union \[ 0,+ infinity \) "." } {}

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Воведни поими од математичка анализа. OpenStax CNX. Nov 01, 2007 Download for free at http://legacy.cnx.org/content/col10475/1.1
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Воведни поими од математичка анализа' conversation and receive update notifications?

Ask