0.11 La transformada ondícula y sus aplicaciónes

La Transformada de Fourier puede ser vista como la proyección de la señal x(t) sobre las bases ortogonales exponenciales (senos y cosenos). También puede verse como el análisis de la señal en bandas de frecuencias uniformes:

Figura

La Transformada Continua de Ondícula ( Continuos Wavelet Transform ) se define como:

Se observa que se hace la proyección de la señal x(t) sobre versiones escaladas y desplazadas de una ondícula madre llamada w(t). Basado en el ejemplo anterior se puede inferir que la transformada ondícula parece más apropiada que la de Fourier para señales abruptas, cambiantes, no repetitivas, en fin casi todas las señales del mundo real.

Si en vez de pensar en una transformada continua se plantea una discreta limitando los valores de a y b a potencias de 2, aparece la Transformada Ondícula Discreta o DWT la cual, en el dominio de la frecuencia se plantea como:

Una técnica utilizada para realizar la Transformada Ondícula Discreta es la descomposición en bandas no uniformes (descomposición en octavas), utilizando filtros pasabajos y pasaaltos específicos que dividen toda la gama de frecuencias en bandas no uniformes. Por ejemplo, si se usa una descomposición de profundidad 3 el sistema luciría como muestra la figura 2. Se incluyen diezmadores (el ‘2’ en el recuadro) que eliminan una de cada dos muestras, esto es para no aumentar el número de puntos a la salida.

Figura

Para ilustrar la labor de los diezmadores, supóngase que la señal original x(n) tiene 1000 puntos, la señal en la banda 4 es diezmada una vez, por lo que su longitud será de 500 puntos; la señal en la banda 3 se diezma 2 veces por lo que su longitud será de 250 puntos (1000/2 ² ), y las señales en las bandas 1 y 2 se diezman 3 veces, quedando con una longitud de 125 (1000/2 ³ ).

Utilizando este esquema no uniforme se puede reconstruir la señal invirtiendo el proceso de filtraje, es decir, utilizando filtros de reconstrucción apropiados, se filtran las señales de salida de cada rama pasaaltos, y la salida de la última rama pasabajos, para obtener la señal original. Esquemáticamente para hacer la descomposición en ondículas se usa un árbol como el siguiente:

Figura

La señal S se pasa por filtros pasaaltos y pasabajos; las salidas de los pasaaltos reciben el nombre de detalles (cD ₁ , cD ₂ , etc...), a las de los pasabajos se les llama cA _k .

Por ejemplo. Una señal S se descompone usando un árbol como el anterior y las salidas serían:

Figura

Este tipo de análisis permite hacer algún procesamiento en la salida de los filtros de descomposición (por ejemplo, eliminar un detalle que no aporte información relevante o con mucho ruido ruido, o simplemente analizarlo para identificar un evento determinado), para una vez invertido el proceso simplificar el análisis. De esta misma forma, se puede realizar compresión de datos y supresión de ruido.