0.1 Phân tích tín hiệu

XEM LẠI CHUỖI FOURRIER.

Một hàm bất kỳ s(t) có thể được viết: ( dạng lượng giác ).

S(t) = a0cos(0) + $\sum _{n=1}^{\yen }$ [ an cos 2 nf0t + bn sin 2f0t ](2.1)

Với t0<t<t0 + T ; T

Số hạng thứ nhất là a0 vì cos (0) = 1.

Việc chọn các hằng an và bn theo các công thức sau:

- Với n = 0 ; a0 =

- Với n  0 ;an =

bn =

Hệ thức (2.2) có được bằng cách lấy tích phân 2 vế của (2.1).

Hệ thức (2.3) và (2.4) có được bằng cách nhân cả 2 vế của (2.1) cho hàm sin và lấy tích phân.

Dùng công thức euler, có thể đưa dạng s(t) ở trên về dạng gọn hơn ( dạng hàm mũ phức ).

EULER  ej2nfot = cos 2nfot + j sin 2nfot(2.5)

S(t) = $\sum _{n\text{=-¥}}^{\yen }$ Cn e j2nfot(2.6)

Tròn đó n: Số nguyên; dương hoặc âm. Và Cn được định bởi:

Cn =

Điều này dễ kiểm chứng, bằng cách nhân hai vế của (2.5) cho e -j2nfot và lấy tích phân hai vế.

Kết quả căn bản mà ta nhận được = một hàm bất kỳ theo thời gian có thể được diễn tả bằng tổng các hàm sin và cos hoặc là tổng của các hàm mũ phức trong một khoảng.

Nếu s(t) là một hàm tuần hoàn, ta chỉ cần viết chuỗi Fourrier trong một chu kỳ, chuỗi sẽ tương đương với s(t) trong mọi thời điểm.

Ví dụ 1: Hãy xác định chuỗi Fourrier lượng giác của s(t) như hình vẽ. Chuỗi này cần áp dụng trong khoảng - /2<1</2 .

Ta dùng chuỗi Fourrier lượng giác, với T =  và fo =

s(t) = a0 +

Trong đó: a0 =

và an =

Ta định giá bn như sau:

bn =

Vì s(t) là một hàm chẵn theo thời gian, nên s(t) .sin 2nt là một hàm lẻ và tích phân từ - /2 đến /2 là zero. Vậy bn = 0 với mọi s(t) lẻ. Chuỗi Fourrier được viết :

s(t) =

Lưu ý: Chuỗi Fourrier cho bởi phương trình trên đây có cùng khai triển như của hàm tuần hoàn sp(t) như hình dưới đây:

Phổ vạch

Trong lúc tìm sự biểu diễn chuỗi Fourrier phức của 1 hàm theo thời gian, ta dùng một thừa số trọng lượng phức Cn cho mỗi trị của n. Thừa số Cn có thể được vẽ như là hàm của n. Vậy cần đến 2 đường biểu diễn. Một để biểu diễn cho suất của n và một để biểu diễn pha.

Đường biểu diễn này thì rời rạc. Nó chỉ khác zero đối với những trị gián đoạn của trục hòanh. ( Ví dụ: C1/2 thì không có ý nghĩa ).

Đường biểu diễn Cn đối với nf0 gọi là phổ Fourrier phức. Trong đó nf0 là lượng tương ứng với tần số của hàm mũ phức mà đối với nó Cn là một hệ số trọng lượng.

Ví dụ 2: Tìm phổ Fourrier phức của sóng cosin được chỉnh lưu toàn sóng, s(t) = cos t, như hình vẽ dưới đây.

Trước hết ta phải tìm khai triển chuỗi Fourrier theo dạng hàm mũ phức.

Với F0 =

Tuy nhiên ở ví dụ 1, ta đã khai triển chuỗi Fourrier dưới dạng lượng giác rồi, nên có thể khai triển hàm cos để đưa về dạng hàm mũ phức bằng cách dùng công thức Euler:

s(t) =

Với cos 2nt =

Vậy chuỗi Fourrier dạng hàm mũ:

s(t) =