<< Chapter < Page Chapter >> Page >
Се прикажуваат повеќе смени на променливата во решавање на неопределениот интеграл. The method of substitution of the variable in non proper integral is shown.

Смена на променливата во неопределениот интеграл

Нека во интегралот

f ( x ) dx size 12{ Int {f \( x \) ital "dx"} } {}

подинтегралната функција f ( x ) size 12{f \( x \) } {} не е некоја од наведените во таблицата од основни интеграли. Ако за независната променлива x size 12{x} {} се воведе смена на променливата

x = g ( t ) size 12{x=g \( t \) } {} ,

каде t size 12{t} {} е нова независна промелива, а g ( t ) size 12{g \( t \) } {} диференцијабилна функција, тогаш ако со смена на подинтегралниот израз

f ( x ) dx = f ( g ( t ) ) g ' ( t ) dt size 12{f \( x \) ital "dx"=f \( g \( t \) \) { {g}} sup { ' } \( t \) ital "dt"} {}

се добие интеграл од основната талица, по интегрирање и враќање на првобитната променлива се добива решението на интегралот

f ( x ) d x = f ( g ( t ) ) g ' ( t ) dt = F ( t ) + C = F ( g 1 ( x ) ) + C . size 12{ Int {f \( x \) d} x= Int {f \( g \( t \) \) { {g}} sup { ' } \( t \) ital "dt"} =F \( t \) +C=F \( g rSup { size 8{ - 1} } \( x \) \) +C "." } {}

Овој метод наречен метод на смена на промеливата се користи ако по новата променлива се добие основен интеграл, а после неговото решавање по новата промелива се враќаме на првобитната променлива.

Преку различни карактеристични примери ќе го прикажеме методот на смена на променливата во решавање на интегралите.

Пример 1.

Да се реши интегралот sin 3 xdx . size 12{ Int {"sin"3 ital "xdx" "." } } {}

За решавање на овој интеграл, за кој подинтегралната функција sin 3x size 12{"sin"3ital"x"} {} не е елементарна, се воведува смената

3x = t size 12{3x=t} {}

и со нејзино диференцирање се добива

3 dx = dt dx = dt 3 . size 12{3 ital "dx"= ital "dt" drarrow ital "dx"= { { ital "dt"} over {3} } "." } {}

Затоа решението на интегралот е

sin 3 xdx = sin t dt 3 = 1 3 sin tdt = 1 3 cos t + C = 1 3 cos 3x + C . size 12{ Int {"sin"3 ital "xdx"={}} Int {"sin"t { { ital "dt"} over {3} } ={}} { {1} over {3} } Int {"sin" ital "tdt"={}} - { {1} over {3} } "cos"t+C= - { {1} over {3} } "cos"3x+C "." } {}

Пример 2.

Да се реши интегралот 1 2x 3 dx . size 12{ Int { { {1} over {2x - 3} } ital "dx" "." } } {}

Интегралот не е табличен, но линеарниот член во именителот асоцира на табличен интеграл чие решение е логаритамска функција. Се воведува смената

2x 3 = t 2 dx = dt dx = 1 2 dt size 12{2x - 3=t drarrow 2 ital "dx"= ital "dt" drarrow ital "dx"= { {1} over {2} } ital "dt"} {} ,

со која интегралот се сведува на табличен и се решава:

1 2x 3 dx = 1 2 dt t = 1 2 ln t + C = 1 2 ln 2x 3 + C size 12{ Int { { {1} over {2x - 3} } ital "dx"= { {1} over {2} } } Int { { { ital "dt"} over {t} } } = { {1} over {2} } "ln" \lline t \lline +C= { {1} over {2} } "ln" \lline 2x - 3 \lline +C} {} .

Пример 3.

Да се реши интегралот x x 2 + 3 dx . size 12{ Int {x sqrt {x rSup { size 8{2} } +3} ital "dx" "." } } {}

Во овој пример се забележува дека под знакот за квадратен корен се наоѓа квадратна функција, а во подинтегралната функција се наоѓа како множител линерна функција која е извод од квадратна функција. Затоа се корисити смената

x 2 + 3 = t 2 xdx = dt xdx = dt 2 alignl { stack { size 12{x rSup { size 8{2} } +3=t} {} #2 ital "xdx"= ital "dt" drarrow ital "xdx"= { { ital "dt"} over {2} } {} } } {}

и интегралот по новата променлива е решлив и табличен

x x 2 + 3 dx = t dt 2 = 1 2 t 3 2 3 2 + C = 1 3 t t + C = 1 3 ( x 2 + 3 ) x 2 + 3 + C . size 12{ Int {x sqrt {x rSup { size 8{2} } +3} ital "dx"={}} Int { sqrt {t} { { ital "dt"} over {2} } ={}} { {1} over {2} } { {t rSup { size 8{ { {3} over {2} } } } } over { { {3} over {2} } } } +C= { {1} over {3} } t sqrt {t} +C= { {1} over {3} } \( x rSup { size 8{2} } +3 \) sqrt {x rSup { size 8{2} } +3} +C "." } {}

Пример 4.

Да се реши интегралот tan xdx . size 12{ Int {"tan" ital "xdx" "." } } {}

Поднитегралната функција tan x size 12{"tan"x} {} не е наведена во табличните интеграли и затоа во интегралот

tan xdx = sin x cos x dx size 12{ Int {"tan" ital "xdx"= Int { { {"sin"x} over {"cos"x} } ital "dx"} } } {}

се користи смената

cos x = t sin xdx = dt size 12{"cos"x=t drarrow - "sin" ital "xdx"= ital "dt"} {}

со која интегралот е решлив

tan xdx = sin x cos x dx = dt t = ln t + C = ln cos x + C . size 12{ Int {"tan" ital "xdx"= Int { { {"sin"x} over {"cos"x} } ital "dx"} } = - Int { { { ital "dt"} over {t} } ={}} - "ln" \lline t \lline +C= - "ln" \lline "cos"x \lline +C "." } {}

Аналогно, cot xdx = ln sin x + C . size 12{ Int {"cot" ital "xdx"="ln" \lline "sin"x \lline +C "." } } {}

Пример 5.

Интегралот од облик dx a 2 + x 2 dx size 12{ Int { { { ital "dx"} over {a rSup { size 8{2} } +x rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} } {} се решава со негово сведување на табличниот интеграл dx 1 + x 2 dx = arctan x + C . size 12{ Int { { { ital "dx"} over {1+x rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} ="arctan"x+C "." } {}

За таа цел интегралот се доведува во облик

dx a 2 + x 2 dx = 1 a 2 dx 1 + x a 2 dx size 12{ Int { { { ital "dx"} over {a rSup { size 8{2} } +x rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} = { {1} over {a rSup { size 8{2} } } } Int { { { ital "dx"} over {1+ left ( { {x} over {a} } right ) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} } {}

за кој се користи смената

x a = t dx = adt size 12{ { {x} over {a} } =t drarrow ital "dx"= ital "adt"} {}

со која интегралот се решава

dx a 2 + x 2 dx = 1 a 2 dx 1 + x a 2 dx = 1 a 2 adt 1 + t 2 = 1 a dt 1 + t 2 = 1 a arctan t + C = 1 a arctan x a + C . size 12{ Int { { { ital "dx"} over {a rSup { size 8{2} } +x rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} = { {1} over {a rSup { size 8{2} } } } Int { { { ital "dx"} over {1+ left ( { {x} over {a} } right ) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} = { {1} over {a rSup { size 8{2} } } } Int { { { ital "adt"} over {1+t rSup { size 8{2} } } } = { {1} over {a} } } Int { { { ital "dt"} over {1+t rSup { size 8{2} } } } = { {1} over {a} } } "arctan"t+C= { {1} over {a} } "arctan" { {x} over {a} } +C "." } {}

Пример 6.

Со иста смена и аналогна постапка се решаваат и интегралите

dx a 2 x 2 dx = 1 2a ln a + x a x + C size 12{ Int { { { ital "dx"} over {a rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } } } ital "dx"= { {1} over {2a} } } "ln" lline { {a+x} over {a - x} } rline +C} {}

dx a 2 x 2 dx = arcsin x a + C size 12{ Int { { { ital "dx"} over { sqrt {a rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"="arcsin" { {x} over {a} } } +C} {}
dx x 2 ± a 2 dx = ln x + x 2 ± a 2 + C . size 12{ Int { { { ital "dx"} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +- a rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"="ln" lline x+ sqrt {x rSup { size 8{2} } +- a rSup { size 8{2} } } rline } +C "." } {}

Пример 7.

Да се реши интегралот 1 8 + 6x 9x 2 dx . size 12{ Int { { {1} over { sqrt {8+6x - 9x rSup { size 8{2} } } } } ital "dx" "." } } {}

Квадратниот израз под квадратен корен се доведува до полн квадрат

1 8 + 6x 9x 2 dx = 1 8 + 1 1 + 6x 9x 2 dx = 1 9 ( 1 6x + 9x 2 ) dx = 1 9 ( 1 3x ) 2 dx size 12{ Int { { {1} over { sqrt {8+6x - 9x rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"={}} Int { { {1} over { sqrt {8+1 - 1+6x - 9x rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"={}} Int { { {1} over { sqrt {9 - \( 1 - 6x+9x rSup { size 8{2} } \) } } } ital "dx"={}} Int { { {1} over { sqrt {9 - \( 1 - 3x \) rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"} } {} кој со смента

1 3x = t dx = dt 3 alignl { stack { size 12{1 - 3x=t} {} #size 12{ ital "dx"= - { { ital "dt"} over {3} } } {} } } {}

се сведува на

1 9 ( 1 3x ) 2 dx = 1 3 1 9 t 2 dt = 1 3 arcsin t 3 + C = 1 3 arcsin 1 3x 3 + C . size 12{ Int { { {1} over { sqrt {9 - \( 1 - 3x \) rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"= - { {1} over {3} } } Int { { {1} over { sqrt {9 - t rSup { size 8{2} } } } } ital "dt"= - { {1} over {3} } } "arcsin" { {t} over {3} } +C= - { {1} over {3} } "arcsin" { {1 - 3x} over {3} } +C "." } {}

Пример 8.

Да се реши интегралот 1 2 + x + 1 3 dx . size 12{ Int { { {1} over {2+ nroot { size 8{3} } {x+1} } } ital "dx" "." } } {}

Кога во подинтегралната функција се јавува корен, се воведува смена со која ќе се елиминира коренот. Затоа во овој пример се користи смента

x + 1 = t 3 dx = 3t 2 dt . size 12{x+1=t rSup { size 8{3} } drarrow ital "dx"=3t rSup { size 8{2} } ital "dt" "." } {}

Со оваа смена интегралот е решлив и

1 2 + x + 1 3 dx = 3 t 2 2 + t dt = 3 t 2 + 4 2 + t dt = 3 t 2 2 2t + 4 ln t + 2 + C = 3 2 ( x + 1 ) 2 3 6 x + 1 3 + 12 ln x + 1 3 + 2 + C , alignl { stack { size 12{ Int { { {1} over {2+ nroot { size 8{3} } {x+1} } } ital "dx"={}} 3 Int { { {t rSup { size 8{2} } } over {2+t} } ital "dt"={}} 3 Int { left (t - 2+ { {4} over {2+t} } right ) ital "dt"={}} 3 left ( { {t rSup { size 8{2} } } over {2} } - 2t+4"ln" \lline t+2 \lline right )+C={}} {} #= { {3} over {2} } nroot { size 8{3} } { \( x+1 \) rSup { size 8{2} } } - 6 nroot { size 8{3} } {x+1} +"12""ln" \lline nroot { size 8{3} } {x+1} +2 \lline +C, {} } } {}

бидејки

t 2 : ( 2 + t ) = t 2 + 4 2 + t size 12{t rSup { size 8{2} } : \( 2+t \) =t - 2+ { {4} over {2+t} } } {} .

Пример 9.

Да се реши интегралот 9 x 2 3 x 6 dx . size 12{ Int { { { sqrt { left (9 - x rSup { size 8{2} } right ) rSup { size 8{3} } } } over {x rSup { size 8{6} } } } ital "dx" "." } } {}

Интегралите од обликот f ( a 2 x 2 ) dx size 12{ Int {f \( sqrt {a rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } } \) ital "dx"} } {} се решаваат сo смената x = a sin t . size 12{x=a"sin"t "." } {}

Во дадената задача a = 3 size 12{a=3} {} и со воведување на смената

x = 3 sin t dx = 3 cos tdt alignl { stack { size 12{x=3"sin"t} {} #size 12{ ital "dx"=3"cos" ital "tdt"} {} } } {}

се добива

9 x 2 3 x 6 dx = 9 9 sin 2 t 3 3 6 sin 6 t 3 cos tdt = 3 4 3 6 ( 1 sin 2 t ) 3 sin 6 t cos tdt = 1 9 ( cos 2 t ) 3 sin 6 t cos tdt = 1 9 cos 4 t sin 6 t dt = 1 9 cos 4 t sin 4 t sin 2 t dt = 1 9 ctg 4 t sin 2 t dt = 1 9 5 ctg 5 t + C = C 1 45 ctg 5 t . alignl { stack { size 12{ Int { { { sqrt { left (9 - x rSup { size 8{2} } right ) rSup { size 8{3} } } } over {x rSup { size 8{6} } } } ital "dx"= Int { { { sqrt { left (9 - 9"sin" rSup { size 8{2} } t right ) rSup { size 8{3} } } } over {3 rSup { size 8{6} } "sin" rSup { size 8{6} } t} } 3"cos" ital "tdt"= { {3 rSup { size 8{4} } } over {3 rSup { size 8{6} } } } } } Int { { { sqrt { \( 1 - "sin" rSup { size 8{2} } t \) rSup { size 8{3} } } } over {"sin" rSup { size 8{6} } t} } } "cos" ital "tdt"= { {1} over {9} } Int { { { sqrt { \( "cos" rSup { size 8{2} } t \) rSup { size 8{3} } } } over {"sin" rSup { size 8{6} } t} } } "cos" ital "tdt"={}} {} #= { {1} over {9} } Int { { {"cos" rSup { size 8{4} } t} over {"sin" rSup { size 8{6} } t} } ital "dt"={}} { {1} over {9} } Int { { {"cos" rSup { size 8{4} } t} over {"sin" rSup { size 8{4} } t"sin" rSup { size 8{2} } t} } ital "dt"={}} { {1} over {9} } Int { { { ital "ctg" rSup { size 8{4} } t} over {"sin" rSup { size 8{2} } t} } ital "dt"={}} - { {1} over {9 cdot 5} } ital "ctg" rSup { size 8{5} } t+C=C - { {1} over {"45"} } ital "ctg" rSup { size 8{5} } t "." {} } } {}

Од смената

x = 3 sin t sin t = x 3 , cos t = 1 sin 2 t = 1 x 3 2 = 1 3 9 x 2 , alignl { stack { size 12{x=3"sin"t drarrow } {} #size 12{"sin"t= { {x} over {3} } ,} {} # size 12{"cos"t= sqrt {1 - "sin" rSup { size 8{2} } t} = sqrt {1 - left ( { {x} over {3} } right ) rSup { size 8{2} } } = { {1} over {3} } sqrt {9 - x rSup { size 8{2} } } ,} {}} } {}

и враќајки се на решението на интегралот и негово изразување преку променливата x size 12{x} {} се добива

9 x 2 3 x 6 dx = C 1 45 ctg 5 t = C 1 45 cos 5 t sin 5 t = C 1 45 1 / 3 5 ( 9 x 2 ) 5 ( x / 3 ) 5 = C 1 45 ( 9 x 2 ) 5 x 5 . size 12{ Int { { { sqrt { left (9 - x rSup { size 8{2} } right ) rSup { size 8{3} } } } over {x rSup { size 8{6} } } } ital "dx"=C - { {1} over {"45"} } ital "ctg" rSup { size 8{5} } t=C - { {1} over {"45"} } { {"cos" rSup { size 8{5} } t} over {"sin" rSup { size 8{5} } t} } } =C - { {1} over {"45"} } { {1/3 rSup { size 8{5} } sqrt { \( 9 - x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{5} } } } over { \( x/3 \) rSup { size 8{5} } } } =C - { {1} over {"45"} } { { sqrt { \( 9 - x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{5} } } } over {x rSup { size 8{5} } } } "." } {}

Questions & Answers

where we get a research paper on Nano chemistry....?
Maira Reply
nanopartical of organic/inorganic / physical chemistry , pdf / thesis / review
Ali
what are the products of Nano chemistry?
Maira Reply
There are lots of products of nano chemistry... Like nano coatings.....carbon fiber.. And lots of others..
learn
Even nanotechnology is pretty much all about chemistry... Its the chemistry on quantum or atomic level
learn
Google
da
no nanotechnology is also a part of physics and maths it requires angle formulas and some pressure regarding concepts
Bhagvanji
hey
Giriraj
Preparation and Applications of Nanomaterial for Drug Delivery
Hafiz Reply
revolt
da
Application of nanotechnology in medicine
what is variations in raman spectra for nanomaterials
Jyoti Reply
ya I also want to know the raman spectra
Bhagvanji
I only see partial conversation and what's the question here!
Crow Reply
what about nanotechnology for water purification
RAW Reply
please someone correct me if I'm wrong but I think one can use nanoparticles, specially silver nanoparticles for water treatment.
Damian
yes that's correct
Professor
I think
Professor
Nasa has use it in the 60's, copper as water purification in the moon travel.
Alexandre
nanocopper obvius
Alexandre
what is the stm
Brian Reply
is there industrial application of fullrenes. What is the method to prepare fullrene on large scale.?
Rafiq
industrial application...? mmm I think on the medical side as drug carrier, but you should go deeper on your research, I may be wrong
Damian
How we are making nano material?
LITNING Reply
what is a peer
LITNING Reply
What is meant by 'nano scale'?
LITNING Reply
What is STMs full form?
LITNING
scanning tunneling microscope
Sahil
how nano science is used for hydrophobicity
Santosh
Do u think that Graphene and Fullrene fiber can be used to make Air Plane body structure the lightest and strongest. Rafiq
Rafiq
what is differents between GO and RGO?
Mahi
what is simplest way to understand the applications of nano robots used to detect the cancer affected cell of human body.? How this robot is carried to required site of body cell.? what will be the carrier material and how can be detected that correct delivery of drug is done Rafiq
Rafiq
if virus is killing to make ARTIFICIAL DNA OF GRAPHENE FOR KILLED THE VIRUS .THIS IS OUR ASSUMPTION
Anam
analytical skills graphene is prepared to kill any type viruses .
Anam
Any one who tell me about Preparation and application of Nanomaterial for drug Delivery
Hafiz
what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Неопределен интеграл. OpenStax CNX. Dec 02, 2010 Download for free at http://legacy.cnx.org/content/col11240/1.4
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Неопределен интеграл' conversation and receive update notifications?

Ask