<< Chapter < Page Chapter >> Page >

. Biến của bài toán max có dấu tùy ý thì ràng buộc đối ngẫu trong bài toán min có dấu = .

. Biến của bài toán max có dấu £ 0 thì ràng buộc trong bài toán đối ngẫu min có dấu £ ( cùng chiều )

Xét các ràng buộc dạng ma trận của một bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát như sau :

a i T a 11 a 12 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i1 a i2 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 . . . a mj . . . a mn x 1 x 2 . . . x j . . . x n b 1 . . . b i . . . b m A j alignl { stack { size 12{a rSub { size 8{i} } rSup { size 8{T} } rightarrow " " left [ matrix {a rSub { size 8{"11"} } {} # a rSub { size 8{"12"} } {} # "." "." "." {} # a rSub { size 8{ ital "1j"} } {} # "." "." "." {} # a rSub { size 8{1n} } {} ## "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} ##a rSub { size 8{ ital "i1"} } {} # a rSub { size 8{ ital "i2"} } {} # "." "." "." {} # a rSub { size 8{ ital "ij"} } {} # "." "." "." {} # a rSub { size 8{ ital "in"} } {} ## "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} ##a rSub { size 8{m1} } {} # a rSub { size 8{m2} } {} # "." "." "." {} # a rSub { size 8{ ital "mj"} } {} # "." "." "." {} # a rSub { size 8{ ital "mn"} } {} } right ]left [ matrix { x rSub { size 8{1} } {} ##x rSub { size 8{2} } {} ## "." "." "." {} ##x rSub { size 8{j} } {} ## "." "." "." {} ##x rSub { size 8{n} } } right ]matrix { ={} {} ##<= {} {} ##>= {} } left [ matrix {b rSub { size 8{1} } {} ## "." "." "." {} ##b rSub { size 8{i} } {} ## "." "." "." {} ##b rSub { size 8{m} } } right ]} {} # " " uparrow " A" rSub { size 8{j} } {}} } {}

Ký hiệu :

a i T size 12{a rSub { size 8{i} } rSup { size 8{T} } } {} là dòng thứ i(i=1,2,...,m)

Aj là cột thứ j(j=1,2,...,n)

Khi đó, mối liên hệ giữa hai bài toán đối ngẫu có thể được trình bày như sau :

z(x) = cTx ® min w(y) = yTb ® max Ràng buộc / Dấu
a i T x = b i size 12{a rSub { size 8{i} } rSup { size 8{T} } x=b rSub { size 8{i} } } {} yi tự do
a i T x b i size 12{a rSub { size 8{i} } rSup { size 8{T} } x<= b rSub { size 8{i} } } {} yi £ 0
a i T x b i size 12{a rSub { size 8{i} } rSup { size 8{T} } x>= b rSub { size 8{i} } } {} yi ³ 0
Cùng chiều
xj ³ 0 yTAj £ cj
xj £ 0 yTAj ³ cj
xj tự do yTAj = cj
Trái chiều

Ví dụ

a- Hai bài toán sau đây là đối ngẫu :

max z ( x ) = 30x 1 + 10 x 2 2x 1 + x 2 4 2x 1 + 2x 2 6 x 1 , x 2 0 { alignl { stack { size 12{"max z" \( x \) ="30x" rSub { size 8{1} } +"10"x rSub { size 8{2} } } {} #alignl { stack { left lbrace "2x" rSub { size 8{1} } +x rSub { size 8{2} }<= 4 {} # right none left lbrace "2x" rSub { size 8{1} } +2x rSub { size 8{2} }<= 6 {} # right no } } lbrace {} #x rSub { size 8{1} } ,x rSub { size 8{2} }>= 0 {} } } {} (P)

min w ( y ) = 4y 1 + 6y 2 2y 1 + 2y 2 30 y 1 + 2y 2 10 y 1 , y 2 0 { alignl { stack { size 12{"min"" w" \( y \) ="4y" rSub { size 8{1} } +6y rSub { size 8{2} } } {} #alignl { stack { left lbrace "2y" rSub { size 8{1} } +2y rSub { size 8{2} }>= "30" {} # right none left lbrace y rSub { size 8{1} } +2y rSub { size 8{2} }>= "10" {} # right no } } lbrace {} #y rSub { size 8{1} } ,y rSub { size 8{2} }>= 0 {} } } {} (D)

b- Hai bài toán sau đây là đối ngẫu :

min w ( x ) = x 1 x 2 + x 3 + 2x 4 x 1 + 2x 2 x 3 + 5x 4 6 2x 1 3x 2 + 3x 3 4x 4 7 3x 1 2x 2 + 5x 3 = 9 7x 1 + x 3 2x 4 5 x 1 , x 2 0, x 3 tuy y , x 4 0 { { { alignl { stack { size 12{"min"" w" \( x \) =x rSub { size 8{1} } - x rSub { size 8{2} } +x rSub { size 8{3} } +2x rSub { size 8{4} } } {} #alignl { stack { left lbrace x rSub { size 8{1} } +2x rSub { size 8{2} } - x rSub { size 8{3} } +5x rSub { size 8{4} }<= 6 {} # right none left lbrace "2x" rSub { size 8{1} } - 3x rSub { size 8{2} } +3x rSub { size 8{3} } - 4x rSub { size 8{4} }>= 7 {} # right none left lbrace "3x" rSub { size 8{1} } - 2x rSub { size 8{2} } +5x rSub { size 8{3} } =9 {} #right none left lbrace "7x" rSub { size 8{1} } +x rSub { size 8{3} } - 2x rSub { size 8{4} }>= 5 {} # right no } } lbrace {} #x rSub { size 8{1} } ,x rSub { size 8{2} }>= 0, x rSub { size 8{3} } " tuy y , "x rSub { size 8{4} }<= 0 {} } } {} (D)

max z ( y ) = 6y 1 + 7y 2 + 9y 3 + 5y 4 y 1 + 2y 2 + 3y 3 + 7y 4 1 2y 1 3y 2 2y 3 1 -y 1 + 3y 2 + 5y 3 + y 4 = 1 5y 1 4y 2 2y 4 2 y 1 0, y 2 0, y 3 tuy y, y 4 0 { { { alignl { stack { size 12{"max"" z" \( y \) ="6y" rSub { size 8{1} } +7y rSub { size 8{2} } +9y rSub { size 8{3} } +5y rSub { size 8{4} } } {} #alignl { stack { left lbrace y rSub { size 8{1} } +2y rSub { size 8{2} } +3y rSub { size 8{3} } +7y rSub { size 8{4} }<= 1 {} # right none left lbrace "2y" rSub { size 8{1} } - 3y rSub { size 8{2} } - 2y rSub { size 8{3} }<= - 1 {} # right none left lbrace "-y" rSub { size 8{1} } +3y rSub { size 8{2} } +5y rSub { size 8{3} } +y rSub { size 8{4} } =1 {} #right none left lbrace "5y" rSub { size 8{1} } - 4y rSub { size 8{2} } - 2y rSub { size 8{4} }>= 2 {} # right no } } lbrace {} #y rSub { size 8{1} }<= 0,y rSub { size 8{2} }>= 0,y rSub { size 8{3} } " tuy y, "y rSub { size 8{4} }>= 0 {} } } {} (P)

Ðối với cặp bài toán đối ngẫu (P) và (D) chỉ xảy ra một trong ba trường hợp sau :

- Cả hai bài toán đều không có phương án tối ưu .

- Cả hai bài toán đều có phương án, lúc đó chúng đều có phương án tối ưu và giá trị hàm mục tiêu đối với hai phương án tối ưu là bằng nhau.

- Một trong hai bài toán không có phương án, còn bài toán kia thì có phương án, khi đó bài toán có phương án không có phương án tối ưu.

Các định lý về sự đối ngẫu

a- Định lý 1 ( đối ngẫu yếu )

Xét hai bài toán đối ngẫu :

( P ) max z ( x ) = c T x Ax = b x 0 { { size 12{ \( P \) " "alignl { stack { left lbrace "max z" \( x \) =c rSup { size 8{T} } "x " {} #right none left lbrace "Ax"=" b " {} # right none left lbrace x>= "0 " {} # right no } } lbrace } {} ( D ) min w ( y ) = b T y A T y c y tùy ý { { size 12{ \( D \) " "alignl { stack { left lbrace "min w" \( y \) =" b" rSup { size 8{T} } "y " {} #right none left lbrace A rSup { size 8{T} } y>= "c " {} # right none left lbrace "y tùy ý " {} #right no } } lbrace } {}

Nếu x ¯ size 12{ {overline {x}} } {} là phương án của bài toán (P)

y ¯ size 12{ {overline {y}} } {} là phương án của bài toán (D)

thì z ( x ¯ ) w ( y ¯ ) size 12{z \( {overline {x}} \)<= w \( {overline {y}} \) } {}

nghĩa là giá trị hàm mục tiêu của bài toán max không vượt quá giá trị hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫu min trên các phương án bất kỳ của mỗi bài toán .

Chứng minh

x ¯ size 12{ {overline {x}} } {} là phương án của (P) nên : A x ¯ = b size 12{A {overline {x}} =b" "} {}

Þ y ¯ T A x ¯ = y ¯ T b = b T y ¯ = w ( y ¯ ) size 12{ {overline {y}} rSup { size 8{T} } A {overline {x}} = {overline {y}} rSup { size 8{T} } " b"=b rSup { size 8{T} } {overline {y}} =w \( {overline {y}} \) } {}

y ¯ size 12{ {overline {y}} } {} là phương án của (D) nên : A T y ¯ c size 12{A rSup { size 8{T} } {overline {y}}>= c} {}

Þ y ¯ T A c T size 12{ {overline {y}} rSup { size 8{T} } A>= c rSup { size 8{T} } } {}

Þ y ¯ T A x ¯ c T x ¯ = z ( x ¯ ) size 12{ {overline {y}} rSup { size 8{T} } A {overline {x}}>= c rSup { size 8{T} } {overline {x}} =z \( {overline {x}} \) } {}

Vậy z ( x ¯ ) w ( y ¯ ) size 12{z \( {overline {x}} \)<= w \( {overline {y}} \) } {}

Định lý này được phát biểu và chứng minh cho hai bài toán đối ngẫu trong trường hợp tổng quát .

b- Định lý 2

Xét hai bài toán đối ngẫu :

( P ) max z ( x ) = c T x Ax = b x 0 { { size 12{ \( P \) " "alignl { stack { left lbrace "max z" \( x \) =c rSup { size 8{T} } x {} #right none left lbrace "Ax"=" b " {} # right none left lbrace x>= "0 " {} # right no } } lbrace } {} ( D ) min w ( y ) = b T y A T y c y tùy ý { { size 12{ \( D \) " "alignl { stack { left lbrace "min w" \( y \) =" b" rSup { size 8{T} } y {} #right none left lbrace A rSup { size 8{T} } y>= "c " {} # right none left lbrace "y tùy ý " {} #right no } } lbrace } {}

x ¯ size 12{ {overline {x}} } {} là phương án khả thi của bài toán (P)

y ¯ size 12{ {overline {y}} } {} là phương án khả thi của bài toán (D)

Nếu z ( x ¯ ) = w ( y ¯ ) size 12{z \( {overline {x}} \) =w \( {overline {y}} \) } {} thì x ¯ size 12{ {overline {x}} } {} , y ¯ size 12{ {overline {y}} } {} lần lượt là phương án tối ưu tương ứng của (P và (D).

Chúng minh

- Nếu x ¯ size 12{ {overline {x}} } {} không là phương án tối ưu của bài toán (P) thì tồn tại một phương án x sao cho :

z ( x ¯ ) < z ( x ) size 12{z \( {overline {x}} \)<z \( x \) } {}

Þ w ( y ¯ ) < z ( x ) size 12{w \( {overline {y}} \)<z \( x \) } {} : điều này mâu thuẩn với định lý 1.

- Nếu y ¯ size 12{ {overline {y}} } {} không là phương án tối ưu của bài toán (D) thì tồn tại một phương án y sao cho :

w ( y ) < w ( y ¯ ) size 12{w \( y \)<w \( {overline {y}} \) } {}

Þ w ( y ) < z ( x ¯ ) size 12{w \( y \)<z \( {overline {x}} \) } {} : điều này mâu thuẩn với định lý 1.

Vậy x ¯ size 12{ {overline {x}} } {} y ¯ size 12{ {overline {y}} } {} lần lượt là phương án tối ưu của (P) và (D).

c- Định lý 3

Xét hai bài toán đối ngẫu :

( P ) max z ( x ) = c T x Ax = b x 0 { { size 12{ \( P \) " "alignl { stack { left lbrace "max z" \( x \) =c rSup { size 8{T} } "x " {} #right none left lbrace "Ax"=" b " {} # right none left lbrace x>= "0 " {} # right no } } lbrace } {} ( D ) min w ( y ) = b T y A T y c y tùy ý { { size 12{ \( D \) " "alignl { stack { left lbrace "min w" \( y \) =" b" rSup { size 8{T} } y {} #right none left lbrace A rSup { size 8{T} } y>= "c " {} # right none left lbrace "y tùy ý " {} #right no } } lbrace } {}

Nếu x* là phương án tối ưu của bài toán (P) đối với cơ sở B thì phương án tối ưu y* của bài toán (D) được tính bởi công thức :

y T = c B T B 1 size 12{ left (y* right ) rSup { size 8{T} } =c rSub { size 8{B} } rSup { size 8{T} } B rSup { size 8{ - 1} } } {}

Chứng minh

Do x* là phương án tối ưu của (P) với cơ sở B nên thoả dấu hiệu tối ưu

Questions & Answers

What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
anyone know any internet site where one can find nanotechnology papers?
Damian Reply
research.net
kanaga
sciencedirect big data base
Ernesto
Introduction about quantum dots in nanotechnology
Praveena Reply
what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
how to know photocatalytic properties of tio2 nanoparticles...what to do now
Akash Reply
it is a goid question and i want to know the answer as well
Maciej
characteristics of micro business
Abigail
for teaching engĺish at school how nano technology help us
Anassong
Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
there is no specific books for beginners but there is book called principle of nanotechnology
NANO
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
fullerene is a bucky ball aka Carbon 60 molecule. It was name by the architect Fuller. He design the geodesic dome. it resembles a soccer ball.
Tarell
what is the actual application of fullerenes nowadays?
Damian
That is a great question Damian. best way to answer that question is to Google it. there are hundreds of applications for buck minister fullerenes, from medical to aerospace. you can also find plenty of research papers that will give you great detail on the potential applications of fullerenes.
Tarell
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
Mostly, they use nano carbon for electronics and for materials to be strengthened.
Virgil
is Bucky paper clear?
CYNTHIA
carbon nanotubes has various application in fuel cells membrane, current research on cancer drug,and in electronics MEMS and NEMS etc
NANO
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
Do you know which machine is used to that process?
s.
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
what's the easiest and fastest way to the synthesize AgNP?
Damian Reply
China
Cied
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Quy hoạch tuyến tính. OpenStax CNX. Aug 08, 2009 Download for free at http://cnx.org/content/col10903/1.1
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Quy hoạch tuyến tính' conversation and receive update notifications?

Ask