<< Chapter < Page Chapter >> Page >

. Biến của bài toán max có dấu tùy ý thì ràng buộc đối ngẫu trong bài toán min có dấu = .

. Biến của bài toán max có dấu £ 0 thì ràng buộc trong bài toán đối ngẫu min có dấu £ ( cùng chiều )

Xét các ràng buộc dạng ma trận của một bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát như sau :

a i T a 11 a 12 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i1 a i2 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 . . . a mj . . . a mn x 1 x 2 . . . x j . . . x n b 1 . . . b i . . . b m A j alignl { stack { size 12{a rSub { size 8{i} } rSup { size 8{T} } rightarrow " " left [ matrix {a rSub { size 8{"11"} } {} # a rSub { size 8{"12"} } {} # "." "." "." {} # a rSub { size 8{ ital "1j"} } {} # "." "." "." {} # a rSub { size 8{1n} } {} ## "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} ##a rSub { size 8{ ital "i1"} } {} # a rSub { size 8{ ital "i2"} } {} # "." "." "." {} # a rSub { size 8{ ital "ij"} } {} # "." "." "." {} # a rSub { size 8{ ital "in"} } {} ## "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} ##a rSub { size 8{m1} } {} # a rSub { size 8{m2} } {} # "." "." "." {} # a rSub { size 8{ ital "mj"} } {} # "." "." "." {} # a rSub { size 8{ ital "mn"} } {} } right ]left [ matrix { x rSub { size 8{1} } {} ##x rSub { size 8{2} } {} ## "." "." "." {} ##x rSub { size 8{j} } {} ## "." "." "." {} ##x rSub { size 8{n} } } right ]matrix { ={} {} ##<= {} {} ##>= {} } left [ matrix {b rSub { size 8{1} } {} ## "." "." "." {} ##b rSub { size 8{i} } {} ## "." "." "." {} ##b rSub { size 8{m} } } right ]} {} # " " uparrow " A" rSub { size 8{j} } {}} } {}

Ký hiệu :

a i T size 12{a rSub { size 8{i} } rSup { size 8{T} } } {} là dòng thứ i(i=1,2,...,m)

Aj là cột thứ j(j=1,2,...,n)

Khi đó, mối liên hệ giữa hai bài toán đối ngẫu có thể được trình bày như sau :

z(x) = cTx ® min w(y) = yTb ® max Ràng buộc / Dấu
a i T x = b i size 12{a rSub { size 8{i} } rSup { size 8{T} } x=b rSub { size 8{i} } } {} yi tự do
a i T x b i size 12{a rSub { size 8{i} } rSup { size 8{T} } x<= b rSub { size 8{i} } } {} yi £ 0
a i T x b i size 12{a rSub { size 8{i} } rSup { size 8{T} } x>= b rSub { size 8{i} } } {} yi ³ 0
Cùng chiều
xj ³ 0 yTAj £ cj
xj £ 0 yTAj ³ cj
xj tự do yTAj = cj
Trái chiều

Ví dụ

a- Hai bài toán sau đây là đối ngẫu :

max z ( x ) = 30x 1 + 10 x 2 2x 1 + x 2 4 2x 1 + 2x 2 6 x 1 , x 2 0 { alignl { stack { size 12{"max z" \( x \) ="30x" rSub { size 8{1} } +"10"x rSub { size 8{2} } } {} #alignl { stack { left lbrace "2x" rSub { size 8{1} } +x rSub { size 8{2} }<= 4 {} # right none left lbrace "2x" rSub { size 8{1} } +2x rSub { size 8{2} }<= 6 {} # right no } } lbrace {} #x rSub { size 8{1} } ,x rSub { size 8{2} }>= 0 {} } } {} (P)

min w ( y ) = 4y 1 + 6y 2 2y 1 + 2y 2 30 y 1 + 2y 2 10 y 1 , y 2 0 { alignl { stack { size 12{"min"" w" \( y \) ="4y" rSub { size 8{1} } +6y rSub { size 8{2} } } {} #alignl { stack { left lbrace "2y" rSub { size 8{1} } +2y rSub { size 8{2} }>= "30" {} # right none left lbrace y rSub { size 8{1} } +2y rSub { size 8{2} }>= "10" {} # right no } } lbrace {} #y rSub { size 8{1} } ,y rSub { size 8{2} }>= 0 {} } } {} (D)

b- Hai bài toán sau đây là đối ngẫu :

min w ( x ) = x 1 x 2 + x 3 + 2x 4 x 1 + 2x 2 x 3 + 5x 4 6 2x 1 3x 2 + 3x 3 4x 4 7 3x 1 2x 2 + 5x 3 = 9 7x 1 + x 3 2x 4 5 x 1 , x 2 0, x 3 tuy y , x 4 0 { { { alignl { stack { size 12{"min"" w" \( x \) =x rSub { size 8{1} } - x rSub { size 8{2} } +x rSub { size 8{3} } +2x rSub { size 8{4} } } {} #alignl { stack { left lbrace x rSub { size 8{1} } +2x rSub { size 8{2} } - x rSub { size 8{3} } +5x rSub { size 8{4} }<= 6 {} # right none left lbrace "2x" rSub { size 8{1} } - 3x rSub { size 8{2} } +3x rSub { size 8{3} } - 4x rSub { size 8{4} }>= 7 {} # right none left lbrace "3x" rSub { size 8{1} } - 2x rSub { size 8{2} } +5x rSub { size 8{3} } =9 {} #right none left lbrace "7x" rSub { size 8{1} } +x rSub { size 8{3} } - 2x rSub { size 8{4} }>= 5 {} # right no } } lbrace {} #x rSub { size 8{1} } ,x rSub { size 8{2} }>= 0, x rSub { size 8{3} } " tuy y , "x rSub { size 8{4} }<= 0 {} } } {} (D)

max z ( y ) = 6y 1 + 7y 2 + 9y 3 + 5y 4 y 1 + 2y 2 + 3y 3 + 7y 4 1 2y 1 3y 2 2y 3 1 -y 1 + 3y 2 + 5y 3 + y 4 = 1 5y 1 4y 2 2y 4 2 y 1 0, y 2 0, y 3 tuy y, y 4 0 { { { alignl { stack { size 12{"max"" z" \( y \) ="6y" rSub { size 8{1} } +7y rSub { size 8{2} } +9y rSub { size 8{3} } +5y rSub { size 8{4} } } {} #alignl { stack { left lbrace y rSub { size 8{1} } +2y rSub { size 8{2} } +3y rSub { size 8{3} } +7y rSub { size 8{4} }<= 1 {} # right none left lbrace "2y" rSub { size 8{1} } - 3y rSub { size 8{2} } - 2y rSub { size 8{3} }<= - 1 {} # right none left lbrace "-y" rSub { size 8{1} } +3y rSub { size 8{2} } +5y rSub { size 8{3} } +y rSub { size 8{4} } =1 {} #right none left lbrace "5y" rSub { size 8{1} } - 4y rSub { size 8{2} } - 2y rSub { size 8{4} }>= 2 {} # right no } } lbrace {} #y rSub { size 8{1} }<= 0,y rSub { size 8{2} }>= 0,y rSub { size 8{3} } " tuy y, "y rSub { size 8{4} }>= 0 {} } } {} (P)

Ðối với cặp bài toán đối ngẫu (P) và (D) chỉ xảy ra một trong ba trường hợp sau :

- Cả hai bài toán đều không có phương án tối ưu .

- Cả hai bài toán đều có phương án, lúc đó chúng đều có phương án tối ưu và giá trị hàm mục tiêu đối với hai phương án tối ưu là bằng nhau.

- Một trong hai bài toán không có phương án, còn bài toán kia thì có phương án, khi đó bài toán có phương án không có phương án tối ưu.

Các định lý về sự đối ngẫu

a- Định lý 1 ( đối ngẫu yếu )

Xét hai bài toán đối ngẫu :

( P ) max z ( x ) = c T x Ax = b x 0 { { size 12{ \( P \) " "alignl { stack { left lbrace "max z" \( x \) =c rSup { size 8{T} } "x " {} #right none left lbrace "Ax"=" b " {} # right none left lbrace x>= "0 " {} # right no } } lbrace } {} ( D ) min w ( y ) = b T y A T y c y tùy ý { { size 12{ \( D \) " "alignl { stack { left lbrace "min w" \( y \) =" b" rSup { size 8{T} } "y " {} #right none left lbrace A rSup { size 8{T} } y>= "c " {} # right none left lbrace "y tùy ý " {} #right no } } lbrace } {}

Nếu x ¯ size 12{ {overline {x}} } {} là phương án của bài toán (P)

y ¯ size 12{ {overline {y}} } {} là phương án của bài toán (D)

thì z ( x ¯ ) w ( y ¯ ) size 12{z \( {overline {x}} \)<= w \( {overline {y}} \) } {}

nghĩa là giá trị hàm mục tiêu của bài toán max không vượt quá giá trị hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫu min trên các phương án bất kỳ của mỗi bài toán .

Chứng minh

x ¯ size 12{ {overline {x}} } {} là phương án của (P) nên : A x ¯ = b size 12{A {overline {x}} =b" "} {}

Þ y ¯ T A x ¯ = y ¯ T b = b T y ¯ = w ( y ¯ ) size 12{ {overline {y}} rSup { size 8{T} } A {overline {x}} = {overline {y}} rSup { size 8{T} } " b"=b rSup { size 8{T} } {overline {y}} =w \( {overline {y}} \) } {}

y ¯ size 12{ {overline {y}} } {} là phương án của (D) nên : A T y ¯ c size 12{A rSup { size 8{T} } {overline {y}}>= c} {}

Þ y ¯ T A c T size 12{ {overline {y}} rSup { size 8{T} } A>= c rSup { size 8{T} } } {}

Þ y ¯ T A x ¯ c T x ¯ = z ( x ¯ ) size 12{ {overline {y}} rSup { size 8{T} } A {overline {x}}>= c rSup { size 8{T} } {overline {x}} =z \( {overline {x}} \) } {}

Vậy z ( x ¯ ) w ( y ¯ ) size 12{z \( {overline {x}} \)<= w \( {overline {y}} \) } {}

Định lý này được phát biểu và chứng minh cho hai bài toán đối ngẫu trong trường hợp tổng quát .

b- Định lý 2

Xét hai bài toán đối ngẫu :

( P ) max z ( x ) = c T x Ax = b x 0 { { size 12{ \( P \) " "alignl { stack { left lbrace "max z" \( x \) =c rSup { size 8{T} } x {} #right none left lbrace "Ax"=" b " {} # right none left lbrace x>= "0 " {} # right no } } lbrace } {} ( D ) min w ( y ) = b T y A T y c y tùy ý { { size 12{ \( D \) " "alignl { stack { left lbrace "min w" \( y \) =" b" rSup { size 8{T} } y {} #right none left lbrace A rSup { size 8{T} } y>= "c " {} # right none left lbrace "y tùy ý " {} #right no } } lbrace } {}

x ¯ size 12{ {overline {x}} } {} là phương án khả thi của bài toán (P)

y ¯ size 12{ {overline {y}} } {} là phương án khả thi của bài toán (D)

Nếu z ( x ¯ ) = w ( y ¯ ) size 12{z \( {overline {x}} \) =w \( {overline {y}} \) } {} thì x ¯ size 12{ {overline {x}} } {} , y ¯ size 12{ {overline {y}} } {} lần lượt là phương án tối ưu tương ứng của (P và (D).

Chúng minh

- Nếu x ¯ size 12{ {overline {x}} } {} không là phương án tối ưu của bài toán (P) thì tồn tại một phương án x sao cho :

z ( x ¯ ) < z ( x ) size 12{z \( {overline {x}} \)<z \( x \) } {}

Þ w ( y ¯ ) < z ( x ) size 12{w \( {overline {y}} \)<z \( x \) } {} : điều này mâu thuẩn với định lý 1.

- Nếu y ¯ size 12{ {overline {y}} } {} không là phương án tối ưu của bài toán (D) thì tồn tại một phương án y sao cho :

w ( y ) < w ( y ¯ ) size 12{w \( y \)<w \( {overline {y}} \) } {}

Þ w ( y ) < z ( x ¯ ) size 12{w \( y \)<z \( {overline {x}} \) } {} : điều này mâu thuẩn với định lý 1.

Vậy x ¯ size 12{ {overline {x}} } {} y ¯ size 12{ {overline {y}} } {} lần lượt là phương án tối ưu của (P) và (D).

c- Định lý 3

Xét hai bài toán đối ngẫu :

( P ) max z ( x ) = c T x Ax = b x 0 { { size 12{ \( P \) " "alignl { stack { left lbrace "max z" \( x \) =c rSup { size 8{T} } "x " {} #right none left lbrace "Ax"=" b " {} # right none left lbrace x>= "0 " {} # right no } } lbrace } {} ( D ) min w ( y ) = b T y A T y c y tùy ý { { size 12{ \( D \) " "alignl { stack { left lbrace "min w" \( y \) =" b" rSup { size 8{T} } y {} #right none left lbrace A rSup { size 8{T} } y>= "c " {} # right none left lbrace "y tùy ý " {} #right no } } lbrace } {}

Nếu x* là phương án tối ưu của bài toán (P) đối với cơ sở B thì phương án tối ưu y* của bài toán (D) được tính bởi công thức :

y T = c B T B 1 size 12{ left (y* right ) rSup { size 8{T} } =c rSub { size 8{B} } rSup { size 8{T} } B rSup { size 8{ - 1} } } {}

Chứng minh

Do x* là phương án tối ưu của (P) với cơ sở B nên thoả dấu hiệu tối ưu

Questions & Answers

what is variations in raman spectra for nanomaterials
Jyoti Reply
I only see partial conversation and what's the question here!
Crow Reply
what about nanotechnology for water purification
RAW Reply
please someone correct me if I'm wrong but I think one can use nanoparticles, specially silver nanoparticles for water treatment.
Damian
yes that's correct
Professor
I think
Professor
what is the stm
Brian Reply
is there industrial application of fullrenes. What is the method to prepare fullrene on large scale.?
Rafiq
industrial application...? mmm I think on the medical side as drug carrier, but you should go deeper on your research, I may be wrong
Damian
How we are making nano material?
LITNING Reply
what is a peer
LITNING Reply
What is meant by 'nano scale'?
LITNING Reply
What is STMs full form?
LITNING
scanning tunneling microscope
Sahil
how nano science is used for hydrophobicity
Santosh
Do u think that Graphene and Fullrene fiber can be used to make Air Plane body structure the lightest and strongest. Rafiq
Rafiq
what is differents between GO and RGO?
Mahi
what is simplest way to understand the applications of nano robots used to detect the cancer affected cell of human body.? How this robot is carried to required site of body cell.? what will be the carrier material and how can be detected that correct delivery of drug is done Rafiq
Rafiq
what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
anyone know any internet site where one can find nanotechnology papers?
Damian Reply
research.net
kanaga
sciencedirect big data base
Ernesto
Introduction about quantum dots in nanotechnology
Praveena Reply
what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Quy hoạch tuyến tính. OpenStax CNX. Aug 08, 2009 Download for free at http://cnx.org/content/col10903/1.1
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Quy hoạch tuyến tính' conversation and receive update notifications?

Ask