0.3 Trạng thái của hệ thống  (Page 3/4)

Trong đó X(t) là ma trận cột biểu diễn các biến số trạng thái gọi là các véctơ trạng thái.

R(t) là ma trận cột, biểu diễn input gọi là các véctơ input.

$\begin{array}{}{x}_1t\\ x_2t\\ ⋮\\ x_nt\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ Xt=\\ \end{array}$ và $\begin{array}{}{r}_1t\\ r_2t\\ ⋮\\ r_pt\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ Rt=\\ \end{array}$ (4.19)

A là ma trận vuông n x n :

$\begin{array}{}{a}_{\text{11}}{a}_{\mathrm{1n}}\cdots a_{\mathrm{1n}}\\ a_{\text{21}}{a}_{\text{22}}\cdots a_{\mathrm{2n}}\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{\mathrm{n1}}{a}_{\mathrm{n2}}\cdots a_{\text{nn}}\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ A=\\ \end{array}$ (4.20)

B là ma trận n x p (vì có p input r )

$\begin{array}{}{b}_{\text{11}}{b}_{\text{12}}\cdots \cdots b_{\mathrm{1p}}\\ b_{\text{21}}{b}_{\text{22}}\cdots \cdots b_{\mathrm{2p}}\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ b_{\mathrm{n1}}{b}_{\mathrm{n2}}\cdots \cdots b_{\text{np}}\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ B=\\ \end{array}$ (4.21)

Tương tự như vậy, q phương trình trong (4.2) cũng có thêû được trình bày bằng một ma trận duy nhất

$Ct=g\left[Xt+Rt\right]=\text{DX}t+\text{ER}t$ (4.22)

Trong đó D là ma trận q x n và E là ma trận q x p.

Thí dụ, các phương trình trạng thái của phương trình (4.11) được viết dưới dạng ma trận:

$\begin{array}{}n\mathrm{x1}\text{n x n n x 1 n x 1}\\ \dot{x_1}t\\ \dot{x_2}t\\ ⋮\\ ⋮\\ ⋮\\ \dot{x_n}t\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ []=\\ \\ 01000\cdots \cdots 0\\ 00100\cdots \cdots 0\\ 00010\cdots \cdots 0\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ 00000\cdots \cdots 1\\ n-1\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots -a_1\\ -a_n-a_{}\mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ []\\ \\ x_1t\\ x_1t\\ ⋮\\ ⋮\\ ⋮\\ x_nt\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ +\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ ⋮\\ ⋮\\ 1\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\begin{array}{}\left[\right]\left[\right]\left[\right]\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ \end{array}\\ \end{array}$ (4.23)

Khi so sánh phương trình (4.23) với phương trình (4.18), các ma trận A và B sẽ được đồng nhất dễ dàng. Trường hợp này, phương trình output (4.22) là một phương trình vô hướng.

$D=\left[100\cdots 0\right]$ (4.24)

Và E = 0 (ma trận không ( 4.25 )

Tương tự các ma trận A, B,C,D đối với phương trình (4.13) sẽ là

$\begin{array}{}A=\\ 01000\cdots \cdots 0\\ 00100\cdots \cdots 0\\ 00010\cdots \cdots 0\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ 00000\cdots \cdots 1\\ n-1\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots -a_1\\ -a_n-a_{}\mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\left[\right]\left[\right]\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ \end{array}$ (4.26)

$\begin{array}{}B=\\ h_1\\ h_2\\ ⋮\\ h_n\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ \end{array}$ (4.27)

$D=\left[100\cdots 0\right]$ (4.28 )

$E=\left[b_0\right]$ (4.29)

Vài thí dụ.

Thí dụ 4.1:

Xem một hệ thống tuyến tính, có hàm chuyển cho bởi:

$GS=\frac{CS}{RS}=\frac{5}{S^3+{\mathrm{8S}}^2+\mathrm{9S}+2}$ (4.30)

Phương trình vi phân tương ứng diển tả hệ thống là:

$\frac{d^{3}c}{{\text{dt}}^3}+8\frac{d^{2}c}{{\text{dt}}^2}+9\frac{\text{dc}}{\text{dt}}+\mathrm{2c}=\mathrm{5r}$ (4.31)

Các biến số trạng thái được định nghĩa:

$\begin{array}{}\begin{array}{}{x}_1t=ct\\ \dot{x_1}t=x_2t\\ \dot{x_2}t=x_3t\\ \dot{x_3}t=-{\mathrm{2x}}_1-{\mathrm{9x}}_2-{\mathrm{8x}}_3+\mathrm{5r}\end{array}\\ \end{array}$ (4.32)

Do đó hệ thống có thể được diễn tả bằng ma trận:

$\dot{X}=\text{AX}+\text{BR}$ (4.33)

và C = DX + ER (4.34)

Với

$\begin{array}{}010\\ 001\\ -2-9-8\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ A=\\ \end{array}$ ; $\begin{array}{}B=\\ 000\\ 000\\ 005\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ \end{array}$

$\begin{array}{}R=\\ 0\\ 0\\ r\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ \end{array}$ ; $\begin{array}{}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ X=\\ \end{array}$ ; $\begin{array}{}\dot{X}=\\ \dot{x_1}\\ {\dot{x}}_2\\ {\dot{x}}_3\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ \end{array}$

$D=\left[100\right]$ ; E = 0

Thí dụ 4.2:

Xem một hệ thống điều khiển như H.4.2. Hàm chuyển vòng kín của hệ là:

Hình 4.2

$\frac{CS}{RS}=\frac{2}{S^2+S+2}$ (4.35)

Phương trình vi phân tương ứng

$\frac{d^{2}c}{{\text{dt}}^2}+\frac{\text{dc}}{\text{dt}}+\mathrm{2c}=\mathrm{2r}$ (4.36)

Các biến trạng thái:

$x_1=c$

$\dot{x_1}=x_2$ (4.37)

$\begin{array}{}\dot{x_2}=-2x_1-x_2+2r\\ \end{array}$

Vậy hệ thống có thể diển tả bằng hệ thống véctơ:

$\dot{X}=\text{AX}+Br$ (4.38)

C = DX+Er

Trong đó :

$\begin{array}{}01\\ -2-1\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\end{array}\\ A=\\ \end{array}$ ; $\begin{array}{}0\\ 2\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\end{array}\\ B=\\ \end{array}$ ; $\begin{array}{}{x}_1\\ x_2\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\end{array}\\ X=\\ \end{array}$ ; $\begin{array}{}\dot{x_1}\\ {\dot{x}}_2\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\end{array}\\ \dot{X}=\\ \end{array}$ ;

$D=\left[10\right]$

Thí dụ 4.3 :

Xem một mạch RLC như H. 4.3

Trạng thái của hệ có thể mô tả bởi tập hợp các biến trạng thái

x1 = vc(t) ( 4.39)

x2 = iL(t) ( 4.40)

Đối với mạch RLC thụ động, số các biến số trạng thái cần thiết thì bằng với số các bộ phận tích trữ năng lượng độc lập. Các định luật Kirchhoff cho:

$i_c=c\frac{{\text{dv}}_c}{\text{dt}}=r(t)-i_L$ (4.41)

$L\frac{{\text{di}}_L}{\text{dt}}=-{\text{Ri}}_L+v_C$ (4.42)

Output của hệ : v0 = RiL (4.43)

$$ Viết lại(4.41) và (4.42) như là tập hợp các phương trình vi phân cấp 1:

$\stackrel{}{x_1}=\frac{{\text{dv}}_c}{\text{dt}}=-\frac{1}{C}{x}_2+\frac{1}{C}r(t)$ (4.44)

$\stackrel{}{x_2}=\frac{1}{L}{x}_1-\frac{R}{L}{x}_2$ (4.45)

Tín hiệu ra c(t) = v0 = Rx2 (4.46)

Dùng các phương trình (4.44), (4.45), (4.46) và các điều kiện đầu của mạch x1(t0), x2(t0) ta có thể xác định trạng thái tương lai của mạch và tín hiệu ra của nó.

Dưới dạng véctơ, trạng thái của hệ được trình bày:

$\stackrel{}{X}=\text{AX}+\text{Br}$

$\stackrel{}{C}=\text{DX}+\text{Er}$

Trong đó:

$A=\mid \begin{array}{cc}0& -\frac{1}{C}\\ \frac{1}{L}& -\frac{R}{L}\end{array}\mid$ ; $B=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{C}\\ 0\end{array}\right]$ ; $D=\left[\begin{array}{cc}0& \end{array}R\right]$

$X=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$ ; $$ $\stackrel{\text{.}}{X}=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\text{.}}{x}}_1\\ {\stackrel{\text{.}}{x}}_2\end{array}\right]$ ; $$ E=0

Lưu ý là các biến trạng thái của hệ thống không phải là duy nhất. Tùy theo cách chọn lựa, có thể có những tập hợp khác của các biến trạng thái.

Đồ hình trạng thái .

Đồ hình truyền tín hiệu mà ta đã nói ở chương 3 chỉ áp dụng cho các phương trình đại số. Ở đây, ta sẽ đưa vào các phương pháp đồ hình trạng thái, như là một sự mở rộng cho đồ hình truyền tín hiệu để mô tả các phương trình trạng thái ,và các phương trình vi phân. Ý nghĩa quan trọng của đồ hình trạng thái là nó tạo được một sự liên hệ kín giữa phương trình trạng thái, sự mô phỏng trên máy tính và hàm chuyển.