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0.5 Compresión de voz por medio de transformadas  (Page 2/3)

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Propiedades de la transformada de fourier

Linealidad: la Transformada de Fourier cumple con los principios de superposición y multiplicación por constante; si X 1 (f) es la transformada de x 1 (t) y X 2 (f) es la transformada de x 2 (t) se cumple que:

α ⋅ x 1 ( t ) + β ⋅ x 2 ( t ) → F α ⋅ X 1 ( f ) + β ⋅ X 2 ( f ) size 12{α cdot x rSub { size 8{1} } \( t \) +β cdot x rSub { size 8{2} } \( t \) widevec { size 8{F} } α cdot X rSub { size 8{1} } \( f \) +β cdot X rSub { size 8{2} } \( f \) } {}

Traslación en tiempo: si X(f) es la transformada de x(t) se cumple que:

x ( t − t 0 ) → F X ( f ) ⋅ e − j2πf ⋅ t 0 size 12{x \( t - t rSub { size 8{0} } \) widevec { size 8{F} } X \( f \) cdot e rSup { size 8{ - j2πf cdot t rSub { size 6{0} } } } } {}

Traslación en frecuencia: si X(f) es la transformada de x(t) se cumple que:

x ( t ) ⋅ e j2πt ⋅ f 0 → F X ( f − f 0 ) size 12{x \( t \) cdot e rSup { size 8{j2πt cdot f rSub { size 6{0} } } } widevec {F} size 12{X \( f - f rSub {0} } size 12{ \) }} {}

Esta propiedad se conoce como Teorema de Modulación; en aplicaciones reales, la señal en tiempo se multiplica por la señal senoidal cos(2πf 0 t), la cual es representada por medio de exponenciales, quedando la ecuación de la siguiente forma:

x ( t ) ⋅ e j2πt ⋅ f 0 + e − j2πt ⋅ f 0 2 → F 1 2 X ( f − f 0 ) + X ( f + f 0 ) size 12{x \( t \) cdot left [ { {e rSup { size 8{j2πt cdot f rSub { size 6{0} } } } +e rSup { - j2πt cdot f rSub { size 6{0} } } } over { size 12{2} } } right ] widevec {F} { { size 12{1} } over { size 12{2} } } left [ size 12{X \( f - f rSub {0} size 12{ \) +X \( f+f rSub {0} } size 12{ \) }} right ]} {}

Cambio de escala: si X(f) es la transformada de x(t) se cumple que:

x ( αt ) → F 1 ∣ α ∣ X ( f / α ) size 12{x \( αt \) widevec { size 8{F} } { {1} over { lline α rline } } X \( f/α \) } {}

Teorema de Rayleigh: si X(f) es la transformada de x(t) se cumple que:

Energía = ∫ − ∞ ∞ ∣ x ( t ) ∣ 2 dt = ∫ − ∞ ∞ ∣ X ( f ) ∣ 2 df size 12{ ital "Energía"= Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } { lline x \( t \) rline rSup { size 8{2} } ital "dt"} = Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } { lline X \( f \) rline rSup { size 8{2} } ital "df"} } {}

Transformada de Fourier de la Convolución : si X 1 (f) es la transformada de x 1 (t) se y X 2 (f) es la transformada de x 2 (t) cumple que:

x 1 ( t ) ∗ x 2 ( t ) → F X 1 ( f ) ⋅ X 2 ( f ) size 12{x rSub { size 8{1} } \( t \) * x rSub { size 8{2} } \( t \) widevec { size 8{F} } X rSub { size 8{1} } \( f \) cdot X rSub { size 8{2} } \( f \) } {}

Transformada discreta de fourier

La Transformada de Fourier aplica también para señales discretas, con la condición de que las mismas tengan una duración finita. La expresión para la Transformada Discreta de Fourier de una señal discreta x[n] de longitud N es la siguiente:

X [ k ] = ∑ n = 0 N − 1 x n ⋅ e − j 2π N kn size 12{X \[ k \] = Sum cSub { size 8{n=0} } cSup { size 8{N - 1} } {x rSub { size 8{n} } cdot e rSup { size 8{ - j { {2π} over {N} } ital "kn"} } } } {}

Transformada discreta coseno

La transformada Discreta Coseno (DCT) está relacionada a la Transformada Discreta de Fourier. Se calcula como:

X [ k ] = A ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) cos πk ( 2n + 1 ) 2N A = { 1 N k = 0 2 N k = 1,2 . . . N − 1 alignl { stack { size 12{X \[ k \]=A Sum cSub { size 8{n=0} } cSup { size 8{N - 1} } {x \( n \) "cos" left ( { {πk \( 2n+1 \) } over {2N} } right )} } {} # A= left lbrace matrix {{ {1} over { sqrt {N} } } `~k=0 {} ## { {2} over { sqrt {N} } } ~~k=1,2 "." "." "." N - 1} right none ~ {} } } {}

En la fórmula anterior N es la longitud de x. La ventaja de la DCT es que compacta la información alrededor del origen de coordenadas. Por eso es usada en algunos algoritmos de compresión como el JPEG, debido a la compactación de energía es posible reconstruir una señal usando solo unos pocos coeficientes de la DCT.

Cuantificación uniforme y no uniforme de señales de voz

Cuando una señal analógica quiere digitalizarse deben realizarse varios procesos entre ellos están el muestreo y la cuantificación. El muestreo consiste en tomar muestras de la señal periódicamente; el tiempo entre muestra y muestra denominado ts. Esto discretiza la señal en el dominio del tiempo. El siguiente proceso es la cuantificación en donde la señal ya muestreada es pasada por un sistema que presenta la siguiente característica:

Cuantificación uniforme

Es decir, se observa cada muestra y se ubica en que rango de voltaje se encuentra; dependiendo de esta se le asigna un voltaje de salida. Es decir, la señal de entrada tiene infinitos valores de voltaje posibles, mientras la señal de salida tiene un número finito de voltajes posibles. Por ejemplo, si se divide el rango de entrada en 256 intervalos y a cada intervalo se le asigna un determinado voltaje de salida, a la salida se tendrán solo 256 voltajes distintos posibles; en este caso particular se necesitarían 8 bits para representarlos. Este tipo de cuantificador se le llama Cuantificador Uniforme.
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Source:  OpenStax, Señales y sistemas en matlab y labview. OpenStax CNX. Sep 23, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11361/1.4
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