Bổ túc toán  (Page 3/3)

. P có 2 lớp tương đương khác nhau: [0] = [2]= {0, 2} và [1] = [3]= {1, 3}

Bao đóng của quan hệ

Giả sử P là tập hợp một số tính chất của các quan hệ, bao đóng P (P - closure) của một quan hệ R trên tập S là quan hệ nhỏ nhất có chứa tất cả các cặp của R thoả mãn các tính chất trong P.

 Bao đóng bắc cầu R+ của R được xác định như sau :

i) Nếu (a,b) thuộc R thì (a,b) thuộc R+.

ii) Nếu (a,b) thuộc R+ và (b,c) cũng thuộc R thì (a,c) thuộc R+.

iii) Không còn gì thêm trong R+.

 Bao đóng phản xạ và bắc cầu R* của R được xác định như sau :

R* = R+  {(a, a) a  S}

Thí dụ 1.11 :Cho quan hệ R = {(1, 2), (2, 2), (2, 3)} trên tập hợp S = {1, 2, 3}

Khi đó ta có :

R+ = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (1, 3)}

R* = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}

Phép chứng minh quy nạp

Phần lớn các định lý trong giáo trình sẽ được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học :

Giả sử ta cần chứng minh một mệnh đề P(n) với n là một số nguyên không âm. Nguyên lý quy nạp toán học cho P(n) được chứng minh theo 2 bước như sau :

i) P (0) , và

ii) P( n - 1) kéo theo P (n), n  1.

Bước (i) được gọi là cơ sở quy nạp, bước (ii) được gọi là bước quy nạp với P(n-1) là giả thiết quy nạp.

Thí dụ 1.12 :Dùng quy nạp, chứng minh biểu thức :

$\sum _{i=0}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(\mathrm{2n}+1)}{6}$

Cơ sở quy nạp : Thay n = 0 trong vế phải của biểu thức và nhận thấy cả 2 vế đều bằng 0  P (0) luôn đúng.

Bước quy nạp : Thay n bởi n - 1 để có được giả thiết quy nạp P(n-1), sau đó tìm cách để chứng minh P(n), tức chứng minh n  1, ta có :

$\sum _{\text{i}=\text{0}}^{\text{n - 1}}{i}^2=\frac{(\text{n - 1})\text{n}(\text{2n -1})}{6}\Rightarrow \sum _{\text{i}=\text{0}}^n{i}^2=\frac{\text{n}(n+1)(\text{2n}+1)}{6}$

Ta có nhận xét rằng :

$\sum _{\text{i}=\text{0}}^n{i}^2=\sum _{\text{i}=\text{0}}^{\text{n - 1}}{i}^2+n^2$

$\frac{(\text{n -1})\text{n}(\text{2n -1})}{6}+n^{\text{2}}=\frac{\text{n}(\text{n}+1)(\text{2n}+1)}{6}$ Vậy nếu ta vận dụng giả thiết quy nạp thì chỉ còn phải chứng minh biểu thức :

Với một vài phép biến đổi đại số đơn giản, biểu thức trên có thể được chứng minh dễ dàng. Hay P(n) được chứng minh, n.

Đồ thị và cây

Đồ thị (graph)

Một đồ thị, ký hiệu G = (V, E), bao gồm một tập hữu hạn các đỉnh V (còn gọi là nút) và một tập các cạnh E nối giữa 2 nút.

Thí dụ 1.13 :Đồ thị cho bởi :V = {1, 2, 3, 4, 5}

và E = {(n, m)  n + m = 4 hoặc n + m = 7}

Hình 1.1 - Ví dụ về đồ thị

Một đường đi (path) trên một đồ thị là dãy các đỉnh v1, v2 , . . ., vk, k  1, sao cho trong đó có một cạnh (vi ,vi +1) cho mỗi i, 1  i<k. Độ dài của đường đi là k - 1. Nếu v1 = vk thì đường đi là một chu trình.

Chẳng hạn : 1, 3, 4 là một đường đi trong đồ thị trên.

Đồ thị có hướng (directed graph)

Một đồ thị có hướng cũng là dạng đồ thị được xác định bởi G = (V, E), trong đó V là tập các đỉnh, còn E là tập các đỉnh có thứ tự gọi là các cung (hay các đường nối có hướng giữa 2 đỉnh). Ký hiệu một cung từ v đến w có dạng v  w.

Thí dụ 1.14 : Đồ thị có hướng G = ({1, 2, 3, 4 }, { i  j  i<j })

Hình 1.2 - Một đồ thị có hướng

Một đường đi trên một đồ thị có hướng là dãy các đỉnh v1, v2 , . . ., vk, k  1, sao cho với mỗi i, 1  i<k, có một cung từ vi đến vi +1. Chẳng hạn 1  2  3  4 là một đường đi trên đồ thị định hướng trên (từ 1 đến 4).

Cây (trees)

Cây (cây định hướng có thứ tự) là một đồ thị có hướng với các tính chất sau :

i) Có một nút đỉnh gọi là nút gốc

ii) Mỗi nút còn lại đều được dẫn ra từ một nút cha ở trên nó :

- Các nút có dẫn ra nút con sau nó được gọi là nút trung gian hay nút trong.

- Các nút không dẫn ra nút con gọi là nút lá.

iii) Thứ tự duyệt trên cây là từ trái sang phải.

Trong một cây, người ta thường dùng các khái niệm nút cha và nút con để lần lượt chỉ thứ tự trước và sau của sự phát sinh nút từ nút gốc trên cây. Nếu có một đường đi từ nút v1 đến nút v2 thì v1 được gọi là nút cha của v2 và ngược lại, v2 sẽ là nút con của nút v1.

Ta thường vẽ cây với nút gốc ở trên cùng và các cung chỉ xuống phía dưới, do vậy các ký hiệu mũi tên trở nên không còn cần thiết nữa. Các nút con của mỗi nút trên cây sẽ được vẽ lần lượt từ trái qua phải theo thứ tự đã xác định.

Thí dụ 1.15 : Cây minh họa cấu trúc cú pháp của một câu đơn trong ngôn ngữ tiếng Việt "An là sinh viên giỏi"

Hình 1.3 - Cây minh họa một câu đơn

BÀI TẬP CHƯƠNG I

1.1. Nếu không gian tập hợp là tập các số nguyên dương nhỏ hơn 20. Hãy viết rõ các phần tử trong các tập hợp được xác định như sau :

1. { x  x + 2<10}
2. { x  x là số nguyên tố }
3. { x  x = x2}
4. { x  2x = 1}
5. { x  3x<20}

1.2. Cho tập hợp S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Hãy viết rõ các phần tử trong các tập hợp được xác định như sau :

1. { x  x  S và x chẳn }
2. { x  x  S và x  x2 + 1 }

1.3. Cho A = {0, 1, 2} và B = {0, 3, 4}. Hãy viết rõ các tập hợp sau :

A  B ; A  B ; A \ B ; A x B và 2A

1.4. Cho ví dụ về quan hệ :

a) Phản xạ và đối xứng, nhưng không bắc cầu.

b) Phản xạ và bắc cầu, nhưng không đối xứng.

c) Đối xứng và bắc cầu, nhưng không phản xạ.

Trong mỗi trường hợp trên, chỉ rõ tập hợp trên đó quan hệ được xác định.

1.5. Chứng minh các quan hệ sau đây là các quan hệ tương đương và cho các lớp tương đương của chúng.

a) Quan hệ R1 trên các số nguyên định nghĩa bởi : iR1j khi và chỉ khi i = j.

b) Quan hệ R2 trên một tập thể người định nghĩa bởi : pR2q khi và chỉ khi p, q sinh cùng ngày và cùng năm.

1.6. Cho tập hữu hạn A. Hãy tìm những quan hệ tương đương trên A có số các lớp tương đương là lớn nhất hay nhỏ nhất.

1.7. Cho hai tập hợp sau A = {2, 3, 4, 5} và B = {1, 3, 5, 7, 9}. Giả sử R là quan hệ :

R = {(x, y)  A  B  x<y}

Hãy liệt kê các cặp quan hệ thứ tự trong R.

1.8. Tìm bao đóng bắc cầu, bao đóng phản xạ và bắc cầu của quan hệ được cho như sau trên S = { 1, 2, 3, 4, 5}:

{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 4)}

1.9. Cho S = {0, 1, 2} và R = {(0, 1), (1, 2)}. Tìm R* và R+.