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El producto interno de dos vectores/señales es el mismo que en $\ell ^{2}$ el producto interno de su expansión de coeficientes.
Sea $\{{b}_{i}\}$ una base ortonormal para un Espacio de Hilbert $H$ . $x\in H$ , $y\in H$ $$x=\sum {\alpha}_{i}{b}_{i}$$ $$y=\sum {\beta}_{i}{b}_{i}$$ entonces $${x\cdot y}_{H}=\sum {\alpha}_{i}\overline{{\beta}_{i}}$$
Aplicando las Series de Fourier, podemos ir de
$f(t)$ a
$\{{c}_{n}\}$ y de
$g(t)$ a
$\{{d}_{n}\}$
$$\int_{0}^{T} f(t)\overline{g(t)}\,d t=\sum_{n=()} $$∞
$$x=\sum {\alpha}_{i}{b}_{i}$$ $$y=\sum {\beta}_{j}{b}_{j}$$ $${x\cdot y}_{H}=\sum {\alpha}_{i}{b}_{i}\cdot \sum {\beta}_{j}{b}_{j}=\sum {\alpha}_{i}({b}_{i}\cdot \sum {\beta}_{j}{b}_{j})=\sum {\alpha}_{i}\sum \overline{{\beta}_{j}}({b}_{i}\cdot {b}_{j})=\sum {\alpha}_{i}\overline{{\beta}_{i}}$$ usando las reglas del producto interno .
Si el espacio de Hillbert H tiene un ONB, los productos internos son equivalentes a los productos internos en $\ell ^{2}$ .
Todo H con ONB son de alguna manera equivalente a $\ell ^{2}$ .
La energía de una señal = suma de los cuadrados de su expansión de coeficientes.
Sea $x\in H$ , $\{{b}_{i}\}$ ONB
$$x=\sum {\alpha}_{i}{b}_{i}$$ Entonces $$(, x)^{2}=\sum \left|{\alpha}_{i}\right|^{2}$$
Directamente de Plancharel $$(, x)^{2}={x\cdot x}_{H}=\sum {\alpha}_{i}\overline{{\alpha}_{i}}=\sum \left|{\alpha}_{i}\right|^{2}$$
Series de Fourier
$\frac{1}{\sqrt{T}}e^{i{w}_{0}nt}$
$$f(t)=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum {c}_{n}\frac{1}{\sqrt{T}}e^{i{w}_{0}nt}$$
$$\int_{0}^{T} \left|f(t)\right|^{2}\,d t=\sum_{n=()} $$∞
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